概率論與數理統(tǒng)計知識點總結

1、第1章隨機事件及其概率(1)排列組合公式P：m!從m個人中挑出n個人進行排列的可能數。(m n)!cm m 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數。n!(m n)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第一種方7i可由 n種方法來元成，則這件事可由 m+n種方法來元 成。乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：mx n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第一個步3M可由n種方法來元成，則這件事可由 mx n種方法來 完成。(3)一些常見排列重復排列和非重復排列(有序)對立事件(至少有一個)順序問題(4)隨機

2、試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件卜可以重復進行，而每次試驗的可能 結果不止 個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現哪個 結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。(5)基本事件、樣在 個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這4組事件，它具有如下性質：本空間和事件（6）事件的關系與運算每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用 表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件，它們是的

3、子集。為必然事件，為不可能事件。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為 1,而概率為1的事件 也不一定是必然事件。關系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：A B如果同時有A B, B A,則稱事件A與事件B等價，或稱A 等于B: A=BA B中至少有一個發(fā)生的事件： A B,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為 A與B的差，記 為A-B,也可表不為 A-AB或者AB ,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生 的事件。A、B同時發(fā)生：A B,或者AR A B=,則表示A與B不可能 同時發(fā)生，稱事件 A與事件B

4、互不相容或者互斥。基本事件是 互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為了。它 表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結合率：A(BC)=(AB)C A U(BU C)=(A U B) U C分酉己率：(AB) U C=(AU C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)AA _ _ _ _德摩根率：i 1i 1AB AB, AB AB(7)概率的公理化定義設 為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實 數P(A),若滿足卜列三個條件：1 ° 0 < P(A) < 1 ,2° P( Q) =13 對于兩兩互不相

5、容的事件 A1, A2,有常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典概型101, 2n ,c。12P( 1) P( 2)P( n)。n設任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)(9)幾何概型若隨機試驗的結果為無限不可數并且每個結果出現的可能性均 勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域 來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件 A,P(A)其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L()(10)力口法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當 AB不相容 P(AB) = 0 時，

6、P(A+B)=P(A)+P(B)當 AB獨立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當 B A時，P(A-B)=P(A)-P(B)當 A=Q 時，P( B)=1- P(B)(12)條件概率定義 設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)P(A)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A) £幽。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如 P( Q/B)=1P( B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/

7、A)更一般地，對事件 A, A,A,若P(AAA-1)>0 ,則有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An| A1A2.An 1)。(14)獨立性兩個事件的獨立性設事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B),則稱事件A、B是相 互獨立的。若事件A、B相互獨立，且P(A) 0,則有若事件A、B相互獨立，則可得到入與B、A與后、入與后也 都相互獨立。必然事件和不可'能事件與任何事件都相互獨立。與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設ABC是二個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(C

8、A)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、R C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概公式設事件B1，B2, ，Bn滿足1。B1,B2, ,Bn 兩兩互不相容,P(Bi) 0(i 1,2, ,n), nABi2°i 1，則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2) P(A| B2)P(Bn)P(A | Bn)。全概率公式解決的是多個原因造成的結果問題，全概率公式的(16)貝葉斯公式(17)伯努利概型題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；設事件B1, B2,，Bn及A滿足1° Bl, B2,

9、，Bn兩兩互不相容，P(Bi)>0, i 1, 2, n,nABi2。i 1 P(A) 0則P(Bi/A) nP(Bi)P(A/Bi)，i=1, 2,n。P(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即為貝葉斯公式。P(Bi) , ( i 1,2,，n),通常叫先驗概率。P(B"A), (i 1 , 2,，n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果” 的概率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。將試驗可看成分 為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的 概率，就用貝葉斯公式。我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結果，A發(fā)生或A不發(fā)生；門次試驗是重復進行的，即

10、A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗是獨立的，即每次試驗 A發(fā)生與否與其他次試 驗A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗。用p表示每次試驗a發(fā)生的概率，則 其發(fā)生的概率為1 p q,用Pn(k)表示n重伯努利試驗中A出現k(0 k n)次的概率， k k n k_Pn(k) CnP q , k 0,1,2, ,n o第二章隨機變量及其分布(1)離設離散型隨機變量X的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為散型隨P(X=Xk)=pk, k=1,2,，、目則稱上式為離散型隨機變量 X的概率分布或分布律。有時也用機變量分布列的形式給出：

11、的分布律X | X1, X2, ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk,o顯然分布律應滿足下列條件:pk 1(2)連續(xù)型隨機變量的分布密度(1) pk 0 , k 12, k12、f (x)dx 1o3、P(x1 X x2) F(x2) F(x1)f (x)dxx14、P(x=a)=0,a為常數，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0(3)離 積分元f (x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與散與連 P(X xk)機在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。續(xù)型隨機變量 的關系(4)分布函數設X為隨機變量，x是任意實數，則函數稱為隨機變量X的分布函數，本質上是一個累積函數。P(a X b

12、) F(b) F(a)可以得到X落入區(qū)間(a,b的概率。分布函數F(x)表示隨機變量落入區(qū)間(-X, X內的概率。分布函數具有如下性質：1°0 F(x) 1,x；2°F(x)是單調不減的函數，即 xi x2時，有F(xi) F(x2);3°F( ) limF(x) 0,F() limF(x) 1 ;4° F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5°P(X x) F(x) F(x 0)。對于離散型隨機變量，F(x)pk ;xk xx對于連續(xù)型隨機變量，F (x) f (x) dx 。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=

13、q二項分布在n重貝努里試驗中，設事件 A發(fā)生的概率為p。事件 A發(fā)生的次數是隨機變量，設為 X ,則X可能取值為 0,1,2, ,n。P(X k) Pn(k) C：pkqnk,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n, 則稱隨機變量X服從參數為n, p的二項分布。記為 X B(n, p) o當 n 1 時，P(X k) pkq1k , k 0.1 ,這就是(0-1 ) 分布，所以(0-1)分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量X的分布律為kP(X k)e ,0, k 0,1,2,k!則稱隨機變量X服從參數為 的泊松分布，記為X ()或者 P()。泊松分布為二項分布的極限分布(np

14、=k , noo) 0幾何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p。隨機變量X服從參數為p的幾何分布，記為 G(p)0均勻分布設隨機變量X的值只落在a , b內，其密度函數f(x)在a , b上為常數,即b a1f/s 卜 J a< x< b f(x) b a其他，則稱隨機變量X在a ,b上服從均勻分布，記為XU(a, b) o分布函數為50,x<a,xxaF(x)f (x)dxb ,Q<v<h<baa<x<b當a&x1<x2&b時，XI落在區(qū)間(x1淞b。內的概率為_x2 I XiP(X

15、i X X2)0b a指數分布e x,x 0f (x),勇中 0,則稱隨機變量X服從參數為的 指數分布。X的分布函數為J 1 e x,x 0,F(X) 1曲主積分公式：x<0o正態(tài)分布設隨機變量X的密度函數為f(x)其中0為常數，則稱隨機變量 X服從參數的正態(tài)分布或高斯( 2)0Gauss)分布，記為f(x)具有如下性質:1° f(x)的圖形是關于2° 當x 時，f()若XN( ， 2x 對稱的；不二為最大值;2)，則X的分布函數為* e 1時聊正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為X成0,)箕密度函數記為、.丁2P(x1 Xx2)(6)分下分位表：P(X )=;分布函數為1

16、 X 1(x) 1 e 2 dt o(x)是.可求積函數，其函數值，已編制成表可供查 用。1(-x) = 1-(x)且(0)= 。X 2如果 X N( , 2),則N(0,1)X2xi(7)函離散型已知X的X分布列為x1, x2，xn，數的分布函數P(X xi) y g(X)YP1, P2,，Pn,的分布列(y g(xi)互不相等)如下：g(x1)，g(x2)，g(xn)，P(Y yi)9崗相差則應將翳應的Pi相加作為g(xi)的若有臬些 概率。位數上分位表：P(X )= O連續(xù)型戶】，J， = k(X)玄 y) = J fx (*”女 利用Y =4又拆分布隅數與弗度常冠之例的 關系求Y *(

17、X)的播度夠數先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數FY(y)=P(g(X) < y),再利用變上下限積分的求導公式求出f Y(y) o(2)定理法：當Y=g(X)嚴格單調并且可導時：、 f A t/K>*)|b "V.FV/大(i>小川ro,其匕其中h' (y)是g(x)的反函數第三章二維隨機變量及其分布(1)聯合分布離散型如果二維隨機向量(X, Y)的所有可能取值為至多可列個有序對(x,y ),則稱為離散型隨機 量。設 =(X, Y)的所有可能取值為 (xi,yj)(i,j 1,2,),且事件=防)的概率為 p,稱為二(X, Y)的分布律或稱為 X

18、和Y的聯合分布律。聯合分布有時也用下面的概率分布表來表示：y1y2yjX1pnP12P1jX2P21P22P2jXP1這里pj具有下面兩個性質:(1) pij >0 (i,j=1,2,);Pij 1.連續(xù)型對于一維隨機向量(X,Y),如果存在非負函數f (x,y)(x,y)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有則稱 為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=(X, Y)的分布密度或稱為X和Y的聯合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個性質：(1) f(x,y) >0;(2) f(x, y)dxdy 1.

19、(2)二維隨機變量的本質(3)聯合 設(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實數x,y,二元函數分布函數稱為二維隨機向量(X, Y)的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數。分布函數是一個以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)l X( 1)x, Y( 2) y的概率為函數值的一個實值函數。分布函數F(x,y)具有以下的基本性質：(1) 0 F(x,y) 1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當 x2>x1時,有 F (x2,y) > F(x1,y);當 y2>y1時,有 F(x,y 2) >F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連

20、續(xù)的，即(4) F( , ) F(,y) F(x, ) 0, F( ,) 1.(5)對于 x x2, y Y2,P(x1Vx<x2M<yy2)= Fd, y2)F(x2, y1)F(x1，y2) F(x1，y1)0(4)離散型與連續(xù)型的關系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(XX)Pij(i, j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pij(i, j1,2,)0連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y) 3;fY

21、(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為(7)獨立性一型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型有零小獨立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布=0隨機變量的函數若X,X2，X,Xm+1,Xn相互獨立，h,g為連續(xù)函數，貝上h (Xi, X2,X)和 g (Xm+1,X)特例：若X與Y獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。(9)二維止態(tài)分布設隨機向量(X, Y)的分布密度函數為其中1，2, 1 0，2 0,1 I 1是5個參數，則稱(X, Y)服從二維止態(tài)分布，記為(X

22、, Y) N ( 1, 2, 12, 2,).由邊緣密度的計算公式，可以推出一維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為止態(tài)分布，即 XNI ( 1, 12),YN( 2, 2).但是若XN( 1, 12),YN( 2,介，(X, Y)未必是一維止態(tài)分布。(10)函數分布Z=X+Y根據定義計算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，f z(z) = f (x, z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12,12)。n個相互獨立的止態(tài)分布的線性組合，仍服從止態(tài)分布。Ci i ,2Ci2 2Z=max,min(X1,X2,Xn)若Xi,X2 Xn相互獨立，其分布函數分別為Fxi(x),

23、Fx2(x)Fxn(x),則 Z=max,min(X 1,X2，Xn)的分布函數為：第四章隨機變量的數字特征(1)離散型連續(xù)型一維期望設X是離散型隨機變設X是連續(xù)型隨機變量，隨機期望就是平量，其分布律為其概率密度為f（x）,變量均值P( X Xk )=Pk ,（要求絕對收斂）的數k=1,2,n ,字特（要求絕對收斂）征函數的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X )：標準差(2)(1)E(C)=C期望(2)E(CX)=CE(X)的性質(3)(4)nnE(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( CH)GE(Xj)i 1i 1E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。(3)方差 的性 質(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y獨立；充要條件：X和Y不相關。D(X± Y)=D(X)+D(Y) 土 2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4) 常見 分布 的期 望和 方