初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練專題

1、初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題01二次根式的化簡(jiǎn)與求值閱讀與思考二次根式的化簡(jiǎn)與求值問題常涉及最簡(jiǎn)根式、同類根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、換元等技巧.有條件的二次根式的化簡(jiǎn)與求值問題是代數(shù)變形的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，這類問題包含了整式、分式、二次根式等眾多知識(shí)，又聯(lián)系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：1、直接代入直接將已知條件代入待化簡(jiǎn)求值的式子.2、變形代入適當(dāng)?shù)刈儣l件、適當(dāng)?shù)刈兘Y(jié)論，同時(shí)變條件與結(jié)論，再代入求值數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)中充滿了矛盾，如正與負(fù)，加與減，乘與除，數(shù)與形，有理數(shù)與無理數(shù)，常量與變量、有理式與無理式，相等與不等，正面與反面、有限與無限，

2、分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數(shù)學(xué)就是在矛盾中產(chǎn)生，又在矛盾中發(fā)展.想一想：若.x、yn（其中x,y,n都是正整數(shù)），則/x,jy,jn都是同類二次根式，為什么?例題與求解1.200232003【例1】當(dāng)x-時(shí)，代數(shù)式（4x2005x2001）的值是（）A、0B、-1C、1D、22003（紹興市競(jìng)賽試題）【例2】化簡(jiǎn)a、bb、.a.b一abOTb-1-),ab（黃岡市中考試題）1014.1521;1014、1521（五城市聯(lián)賽試題）上6_4二3_3工2_(,.6.3)(.3.2)（北京市競(jìng)賽試題）315102.63,32218.52、31（陜西省競(jìng)賽試題）解題思路：若一開始把分母有理

3、化，則計(jì)算必定繁難，仔細(xì)觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過分解、分析等方法尋找它們白聯(lián)系，問題便迎刃而解思想精髓：因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式而言的，在整式，分母中應(yīng)用非常廣泛，但是因式分解的思想也廣泛應(yīng)用于解二次根式的問題中，恰當(dāng)?shù)刈黝愃朴谝蚴椒纸獾淖冃危山档鸵恍┒胃絾栴}的難度【例3】比（而J5）6大的最小整數(shù)是多少?（西安交大少年班入學(xué)試題）解題思路：直接展開，計(jì)算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設(shè)x、6,一5,y65,想一想：設(shè)x4-3-2Cc三小x6x2x18x23田力士V198V3,求32的值.x7x5x15（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）形如：JaJB的根式為復(fù)合二次根式,常用配方，引

4、入?yún)?shù)等方法來化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式【例4】設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足（xJx21）（y521）1,求x+y的值.（“宗瀘杯”競(jìng)賽試題）解題思路：從化簡(jiǎn)條件等式入手，而化簡(jiǎn)的基本方法是有理化【例5】（1）代數(shù)式以24J（12x）29的最小值.（2）求代數(shù)式Jx28x41Jx24x13的最小值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1）,目前運(yùn)用代數(shù)的方法很難求此式的最小值，Ja2b2的幾何意義是直角邊為a,b的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，從構(gòu)造幾何圖形入手，對(duì)于（2）,設(shè)y7（x4）2527（x2）232，設(shè)A（x,0）,B（4,5）,C（2,3）相當(dāng)于求AB+AC的最小值，以下可用對(duì)稱分析法解決.方法精髓：解決根

5、式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式【例6】設(shè)m4a_2Ja1Ta2n_1（1a2）,求m10m9m8m7m47的值.解題思路：配方法是化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對(duì)應(yīng)式子的值能力訓(xùn)練A級(jí)1.化簡(jiǎn):771004(3)220082008二)82008(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題).-200820087352.若xy43而夜,xyJ3J2二百，則xy=（北京市競(jìng)賽試題）,1997,19993計(jì)管(#997>999)(7199772001)(J199972001)(7199971997)_2001(,2001.1997)(,20011999

6、)(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)4 .若滿足0vxvy及J1088&J7的不同整數(shù)對(duì)（x,v）是（上海市競(jìng)賽試題）5 .如果式子J（x1）2T（x2）2化簡(jiǎn)結(jié)果為2x-3,則x的取值范圍是（）A.x<1B.x>2C.1<x<2D.x>06、計(jì)算Jl46#兇46君的值為（）A.1B.而C,275D,5（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7.a,b,c為有理數(shù)，且等式ab，2C，3，52娓成立,則2a+999b+1001c的值是（）A.1999B.2000C.2001D.不能確定（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8、有下列三個(gè)命題甲：若a,§是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；乙：若

7、a,§是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；丙：若a,B是不相等的無理數(shù)，則。是無理數(shù)；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9、化簡(jiǎn)：X后座2庭x百yVX亞x0亞展幣5上74367"7-66、，42(4)_5、24103,615（天津市競(jìng)賽試題）(5二53.6,10.15（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）33510、設(shè)x，求代數(shù)式(x1)(x2)(x3)(x4)的值.211、已知v；7x29x13，7x25x137x,求x的值.12、設(shè)x.n1JnZn,x'n1_噌（n為自然數(shù)），當(dāng)n為何值，代數(shù)式19x2123xy

8、19y2的,n1n值為1985?1.已知x1=,y2.3，貝1Jx312xyy32.3.（四川省競(jìng)賽試題）2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(xJx22008)(yJy22008)2008,貝U3x22y23x3y2007=_（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3.已知x4"，那么3x42xx21（重慶市競(jìng)賽試題）4.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5.a,b為有理數(shù),且滿足等式b3、.61：42.3則a+b=(6.7.8.A.2B.C.D.8（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知aAab已知1.XA.a1,b那么a,b,c的大小關(guān)系是B.b<a<cC.c<b<cD.ca<b（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試

9、題）1"a若a表示實(shí)數(shù)A.19.把(a1)C.a的整數(shù)部分，則B.2的值是（1,166.7C.3D.不能確定等于（）D.4（陜西省競(jìng)賽試題）1，I,一，I,，L中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，則原式應(yīng)等于（A.1aB.aC.alD.J""a10、化簡(jiǎn):/.、19981999200020011°二413.22,31100x9999.100（武漢市調(diào)考題）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（新加坡中學(xué)生競(jìng)賽試題）（山東省競(jìng)賽試題）（太原市競(jìng)賽試題）82.15.W.6532(4) 2(62325；15)11、設(shè)0x1,求證而7x21小(1x)21后.（“五羊杯”競(jìng)賽試題）12

10、、求Jx28x41Jx24x13的最大值.b22cJ為整數(shù).3aba13、已知a,b,c為正整數(shù)，且岸b為有理數(shù),證明：一3bc初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題02從求根公式談起閱讀與思考一元二次方程是解數(shù)學(xué)問題的重要工具，在因式分解、代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值，應(yīng)用題，各種代數(shù)方程，幾何問題、二次函數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用初學(xué)一元二次方程，需要注意的是：1、熟練求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基礎(chǔ)，它體現(xiàn)了“降次求解”的基本設(shè)想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，對(duì)于各項(xiàng)系數(shù)較大的一元二次方程，可以先從分析方程的各項(xiàng)系數(shù)特征入手，通過探求方程的特殊根來求解，常用的兩個(gè)結(jié)論是：若a

11、bc0,則方程ax2bxc0（a0）必有一根為1.若abc0,則方程ax2bxc0（a0）必有一根為1.2、善于變形解有些與一元二次方程相關(guān)的問題時(shí)，直接求解常給解題帶來諸多不便，若運(yùn)用整體思想，構(gòu)造零值多項(xiàng)式，降次變形等相關(guān)思想方法，則能使問題獲得簡(jiǎn)解思想精髓bb24ac一兀二次萬程的求根公式為x1,2這個(gè)公式形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富：公式展示了數(shù)學(xué)的抽象性，一般性與簡(jiǎn)潔美；公式包含了初中階段所學(xué)過的全部六種代數(shù)運(yùn)算；公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個(gè)問題，方程有沒有實(shí)數(shù)根？有實(shí)根時(shí)共有幾個(gè)？如何求出實(shí)根？例題與求解例1閱讀下列的例題解方程：x2|x|20解：當(dāng)x>0時(shí)，原方程化為x2

12、x20,解得x12,x21（舍）當(dāng)x0時(shí)，原方程化為x2x20,解得x11（舍），x22請(qǐng)參照例題解方程：2x|x3|30,則方程的根是（晉江市中考試題）解題思路：通過討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解例2方程|x21|(42j3)(x2)的解的個(gè)數(shù)為()A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)解題思路：通過去絕對(duì)值，將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解例3已知m,n是二次方程x21999x70的兩個(gè)根，求(m2+1998m6)(n22000n8)的值.(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思路：若求出m,n值或展開待求式，則計(jì)算繁難，由方程根的定義可得關(guān)于m

13、,n的等式，不妨從變形等式入手.反思：一元二次方程常見的變形方法有：把a(bǔ)x2bxc0(a0)變形為ax2bxc把a(bǔ)x2bxc0(a0)變形為ax2bxc2c把a(bǔ)xbxc0(a0)變形為ax-bx其中體現(xiàn)了“降次”代換的思想；則是構(gòu)造倒數(shù)關(guān)系作等值代換例4解關(guān)于x的方程：(m1)x2(2m1)xm30解題思路：因未指明關(guān)于x的方程的類型，故首先分m10及m10兩種情況，當(dāng)m10時(shí)，還考慮就b24ac的值的三種情況加以討論.例5已知三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc3,方程x2ax10和x2bxc0,有22一個(gè)相同的頭根，方程xxa0和xcxb0也有一個(gè)相同白實(shí)根，求a,b,c的值.解題思路：這是

14、一個(gè)一元二次方程有公共根的問題，可從求公共根入手方法指導(dǎo)：公共根問題是一元二次方程常見問題，解這類問題的基本方法是：若方程便于求出簡(jiǎn)單形式的根，則利用公共根相等求解設(shè)出公共根，設(shè)而不求，消去二次項(xiàng).例6已知a是正整數(shù)，如果關(guān)于x的方程x3（a17）x2（38a）x560的根都是整數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：本題有兩種解法，由方程系數(shù)特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)1為隱含的根，從而將試題進(jìn)行降次處理，或變更主元，將原方程整理為關(guān)于a的較低次數(shù)的方程.能力訓(xùn)練A級(jí)22一21、已知方程x6xq0可以配成xp7的形式，那么x6xq2可以配成的形式.（杭州市中考試題）x2x2,2、若分式的值

15、為0,則x的值等于.x22x1（天津市中考試題）3、設(shè)方程x21993x19940,和（1994x）219931995x10的較小的根分別為a,B,貝U4、方程|x24x5|62x的解應(yīng)是（上海市競(jìng)賽試題）5、方程（x2x1）x31的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是.A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)（山東省選拔賽試題）6、若關(guān)于x的一元二次方程（m1）x25xm23m20的常數(shù)項(xiàng)為0,則m的值等于A、1B、2C、1或2D、0（德州市中考試題）一-1117、已知a,b都是負(fù)實(shí)數(shù)，且ababA、1.52B、D、（江蘇省競(jìng)賽試題）8、方程x2|x|10的解是（）C、3或D、222229、已知a是萬程x1999x1_.

16、20的一個(gè)根，求a1998a1999a21的值.10、已知a24a142amac32ama12a（荊州市競(jìng)賽試題）11、是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m,使得方程x22mx20和x2xm0有且只有一個(gè)公共根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說明理由12、已知關(guān)于x的方程（4k)(8k)x2（8012k）x320的解都是整數(shù),求整數(shù)k的值.1、已知a、3是方程x2(m2)x12、若關(guān)于x的方程x2px0與x23、設(shè)a,b是整數(shù)，方程ax4、用x表示不大于x的最大整數(shù),5、A、1個(gè)已知1|a|aB、2個(gè)/F，一，11,那么代數(shù)式一a6、7、8、共實(shí)根,A、B、方程x|x|3|x|2A、

17、1個(gè).2已知x5xA、1996已知三個(gè)關(guān)于22則a-bbccaA、0B、1991B、2、0的兩根，則（1m）（1mqxp0只有一個(gè)公共根，則（p則方程x22x0解的個(gè)數(shù)為C、|a|C、,5D、4個(gè)D、而0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（C、3個(gè)D、4個(gè)0,則代數(shù)式(x2)4(x1)21997.次方程ax22c的值為（）abB、1(xC、bx1)(x2)1998C、2D、1999c0,bx2cxa0,D、32cx22）的值為1999q)ax（全國(guó)通訊賽試題）b0恰有一個(gè)公（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）432“-fqx6x2x18x23鉆/古9、已知xJl98百,求2的值.x8x15(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)、一、一2

18、一一,一一、一一、一10、設(shè)方程x|2x1|40,求滿足該方程的所有根之和(重慶市競(jìng)賽試題)11、首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)二次方程22_2_(a1)x(a2)x(a2a)0及(b1)x2(b22)x(b22b)0(其中a,b為正整數(shù))有一個(gè)公共根，求ba的值.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)12、小明用下面的方法求出方程2&30的解，請(qǐng)你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解,并把你的解答過程填寫在下面的表格中.方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解2H30令Vxt,則2t30t32t§02L3.9xx一,x24x2G30xx/x240初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題04根與系數(shù)關(guān)系

19、閱讀與思考根與系數(shù)的關(guān)系稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，是由16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)所發(fā)現(xiàn)的.韋達(dá)定理形式簡(jiǎn)單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1 .求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；2 .求代數(shù)式的值；3 .結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；4 .構(gòu)造一元二次方程；5 .證明代數(shù)等式、不等式.當(dāng)所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個(gè)一元二次方程的根時(shí)，可先利用根與系數(shù)的關(guān)系找到這些字母間的關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關(guān)系解題的基本思路，需要注意的是，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，必須滿足判

20、別式4>0.例題與求解【例1】設(shè)關(guān)于x的二次方程（m24）x2（2m1）x10（其中m為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為s,則s的取值范圍是.2_【例2】如果方程(x1)(x2xm)值范圍是.3A.0m1B.m-40的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么，實(shí)數(shù)m的取3,3,C.-m1D.-m144【例3】已知，是方程x27x80的兩根，且.不解方程，求232的值.st4s1.【例4】設(shè)實(shí)數(shù)s,t分別?t足19s99s10,t99t190并且st1,求的值.b1a1,【例5】(1)若實(shí)數(shù)a,b滿足a258a,b258b,求代數(shù)式的值；a1b13x2vza(2)關(guān)于x,y,z的萬程組y有實(shí)數(shù)解

21、(x,y,z),求正實(shí)數(shù)a的最小值；xy2yz3zx6(3)已知x,y均為實(shí)數(shù)，且滿足xyxy17,x2yxy266,求x4x3yx2y2xy3y4的值.【例6】a,b,c為實(shí)數(shù)，ac0,且信點(diǎn)bJ5c0,證明一元二次方程ax2bxc0有大于3而小于1的根.能力訓(xùn)練A級(jí)1 .已知m,n為有理數(shù)，且方程x2mxn0有一個(gè)根是痣2,那么mn=2 .已知關(guān)于x的方程x23xm0的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則m的值為.223.當(dāng)m=時(shí)，關(guān)于x的方程8x(2mm6)x2m10的兩根互為相反數(shù)；2一2時(shí)，關(guān)于X的方程x2mxm40的兩根都是正數(shù)；當(dāng)時(shí)，關(guān)于m的方程3x22xm80有兩個(gè)大于2的根.4.對(duì)于一

22、切不小于222的自然數(shù)n.關(guān)于x的一兀二次萬程x(n2)x2n0的兩根記為an,bn(n2)則(a22)(b22)(a32)(b32)1(a20072)(b20072)5.設(shè)xi,x2是方程x22(k1)x(k22)0的兩個(gè)實(shí)根，且(xi1)(x>1)8,則k的值為()A.M1B.C.D.k1_一的一切實(shí)數(shù)26.設(shè)x1,x2是關(guān)于次方程2mx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且0,x23x10,則m1B.C.A.n27.設(shè)x1，x2是方程2xk0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則2Xi2x22是(C.負(fù)數(shù)A.正數(shù)8.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5,兩對(duì)角線交于。點(diǎn)，且2_x(2m1)x0的根，那么m的值是(A.3B.5C

23、.5或39.已知關(guān)于x的方程:2/x(m2)x2m0.4(1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;AO,(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)根是xi,x2,且滿足x2x,2,求m的值及相應(yīng)的xi,x2.24x30的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.10.已知Xi,X2是關(guān)于x的一兀二次萬程kx(1)求k的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使2x12x2二一2成立？若存在，求k的值；若不存在，說明理x/x2由.11.如圖，已知在ABC中，/ACB=90°,過C點(diǎn)作CDLAB于D,設(shè)AD=m,BD=n,且AC2：BC2=2:1;又關(guān)于x的方程2(n1)x120兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192,求整

24、數(shù)m、n的值.0有正整數(shù)解，求m,n的值.212.已知m,n是正整數(shù)，關(guān)于x的方程xmnx(mn)B級(jí)2一一3.21 .設(shè)為，x2是二次萬程xx30的兩根，則X4x219=2一一一一2一一一一a2 .已知ab1,且有5a1995a80及8b1995b50貝Ub，一.一.、一一2一22_一.3 .已知關(guān)于x的一兀二次方程x6xk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2,且xix224,則4.已知Xi,X2是關(guān)于X的2二次萬程xaXa2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(Xi2X2)(X22xi)的最大值為5.如果方程X2pX10(p>0)的兩根之差為1,那么p等于(B.4二次方程mX2m10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是X1,X2

25、,且X12，、2一(X1X2)的值是A.1B.12C.13D.257.在RtAABC中,的方程X27xc70的兩根,a、那么b、c分別是/A、AB邊上的中線長(zhǎng)是b是關(guān)于B.C.58.設(shè)a2b213b且aC.91的值為(b2D.11a,b為整數(shù)，且方程3x23(ab)X4ab0的兩個(gè)根滿足關(guān)系式1)(1)(1)(1).試求所有整數(shù)點(diǎn)對(duì)(a,b).10.若方程X23x10的兩根也是方程x6px2q0的兩根，其中p,q均為整數(shù)，求p,q的值.11.設(shè)a,b是方程x23x10的兩根，是方程x24x20的兩根，已知2/、a(1)bcdb2cda2cdabd2abc7M7;3(2)bcdb3cda3cda

26、bd349Mabc12.設(shè)m是不小于1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的一元二次方程x22(m2)xm23m10有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x1,x2.(1)若x；x226,求m的值;22求必義的最大值.1x11x22213.已知關(guān)于x的一兀二次方程xcxa0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程xaxb0的兩個(gè)根都大1,求abc的值.初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題06轉(zhuǎn)化與化歸-特殊方程、方程組閱讀與思考特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）（次數(shù)高于兩次）、結(jié)構(gòu)巧妙而富有規(guī)律性的方程、方程組.降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：1、因式分解；2、換元；3、平方；4、巧取倒數(shù)；5、整體疊加、疊乘

27、等.轉(zhuǎn)化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二次方程，這也可以說是“九九歸宗”例題與求解【例1】已知方程組3Xx2yy523的兩組解是（X，y1）與（x2,y2）,則x1y2x2yl的值是（北東市競(jìng)賽題）解題思路：通過消元，將待求式用同一字母的代數(shù)式表示，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求值【例2】方程組xzyz63的正整數(shù)解的組數(shù)是（A.1組B.2組C.3組D.4組解題思路：原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手.【例3】解下列方程13xx,13x、(x)42；x1x12-2，/x3xxx411_2_2_2x22x83x29x12(3)(19

28、99x)3(x1998)31；(4)2_2_2(x3x4)(2x7x_2_2_26)(3x4x2)（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）（河南省競(jìng)賽試題）（山東省競(jìng)賽試題）（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：注意到方程左邊或右邊項(xiàng)與項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，利用換元法求解【例4】（1）（2）（3）解題思路:解下列方程組1-.x-.xy3.3,y12xy6;yx(x1)(3x5y)144,2x4x5y24;23o2yx3x2x,232xy3y2y.（山東省競(jìng)賽試題）（西安市競(jìng)賽試題）（全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題）觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個(gè)方程的特點(diǎn)和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理【例5】的解.例6若關(guān)于x的方程上二-p-x

29、1xxkx1只有一個(gè)解（相等的解也算一個(gè)）x.試求k的值與方程（江蘇省競(jìng)賽試題）方程2x2xy3xy20060的正整數(shù)解有多少對(duì)?（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識(shí)進(jìn)行解題能力訓(xùn)練21.萬程2(x1、1、,2）3（x）1的實(shí)數(shù)根是xx_222一一2.x3x42x7x6一22、人、-I，一，3x24x2,這個(gè)方程的解為3.實(shí)數(shù)x,y,z滿足63y,3y2xy2則x2yz的值為2z0,（上海市競(jìng)賽題）2,/-axbx10,bx2xa0,有實(shí)數(shù)解，則ab12xaxb0（武漢市選拔賽試題）5.使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得個(gè)數(shù)為（A.4個(gè)B.3個(gè)C.

30、2個(gè)D.1個(gè)6已知方程組xy:I有實(shí)數(shù)根，那么它有（）（“五羊杯”競(jìng)賽試題）A.一組解B.二組解7.設(shè)a213a,b213b且aA.5B.7C.三組解1b,則代數(shù)式aC.9D.無數(shù)組解（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）1、,2的值為（）b2D.11228.已知實(shí)數(shù)x,y滿足xyxy9,xyxy2220,則xy的值為（A.6B.17C.19.已知關(guān)于x,y的方程組22xyp,3xyp(xy)2有整數(shù)解x,y,求滿足條件的質(zhì)數(shù)PP.（四川省競(jìng)賽試題）10.已知方程組xy/c20,的兩個(gè)解為xt1,xx且x1,x2是兩個(gè)不等的正數(shù)xy0yy1,yy2.（1）求a的取值范圍；若x12x23x1x28a26a1

31、1,試求a的值.（南通市中考試題）211.已知a,b是萬程t0的兩個(gè)實(shí)根，解方程組y-by-a1x,1y.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）12.已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為p,q,且滿足關(guān)系式p2qp21c5,試求pqpq6,這個(gè)一元二次方程.（杭州市中考試題）B級(jí)xyz.xyz151.方程組xyz的解是2342.已知17x29x13V7x25x137x,貝Ux的值為3.已知實(shí)數(shù)xo,y0是方程組yy的解，則xo1y。.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）xy9,4.方程組工工x.y4的解是（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）5.若二元二次方程組1,21有唯一解,則k的所有可能取

32、值為（學(xué)習(xí)報(bào)公開賽試題）6.正數(shù)Xi,X2,X3,X4,X5,X6同時(shí)滿足X2X3X4X5X6X1X3X4X5X6I,X1X2X4X5X63,X1X2X3X5X6X1X2X3X4X66,7.8.9.X4X5方程A.XiX2X3X1X2X3X4X5X69.則X2X3X4X6的值為（上海市競(jìng)賽試題）6x20的所有根的積是（B.-3C.-6E.以上全不對(duì)（美國(guó)猶他州競(jìng)賽試題）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且滿足A.B.-1已知xyzX2X1,z2,2zB.3,110.對(duì)于實(shí)數(shù)只有和.xy個(gè)實(shí)數(shù)值1999x1999yC.yzC.x滿足等式11.解方程,x2x1x2x11則xy1,D.-2（武漢市選拔賽試題）zxD.

33、312xa2X1X210，試求所有這樣的實(shí)數(shù)a的（江蘇省競(jìng)賽試題）Ja,其中a0,并就正數(shù)a的取值，討論此方程解的情況.（陜西省競(jìng)賽試題）已知a,b,c三數(shù)滿足方程組工,8,8房48試求方程bx2exa°的根.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）13.解下列方程（組）(1)9x216;（武漢市競(jìng)賽試題）2一(2)6x73x4x16；（湖北省競(jìng)賽試題）y,z,x,4x2(3)14x24y”14y24z214z2（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題08二次函數(shù)閱讀與思考二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應(yīng)用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，主要知識(shí)與方法有：1

34、.二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxc的系數(shù)符號(hào)，確定圖象的大致位置.2bb4acb2 .二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的形狀僅僅與a有關(guān)，與（一,）決定拋2a2a4a物線對(duì)稱軸與頂點(diǎn)的位置.3 .二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式：一般式：yax2bxc；頂點(diǎn)式y(tǒng)a（xm）2n：；交點(diǎn)式：ya（xx1）（xx2）,其中x1,x2為方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設(shè)法，可使解題過程簡(jiǎn)捷例題與求解【例1】二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abmambm1.其中正確的結(jié)論有（A.1個(gè)B.2個(gè)C

35、.3個(gè)D.4個(gè)（天津市中考試題）解題思路：由拋物線的位置確定a,b,c的符號(hào)，解題關(guān)鍵是對(duì)相關(guān)代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并能綜合推理.【例2】若二次函數(shù)yax2bxc（aw0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0,1）和（一1,0）,則Sabc的值的變化范圍是（）A.0vS<1B.0<Sv2C.1vSv2D.1vSv1（陜西省競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)法將S表示為只含一個(gè)字母的代數(shù)式，求出相應(yīng)字母的取值范圍，進(jìn)而確定S的值的變化范圍.【例3】某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示的坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）2在跳某

36、個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最局處距水面10米，入水處距池邊的距離3為4米，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)失誤.（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿3勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為3-米.此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由.（河北省中考試題）53解題思路：對(duì)于（2）,判斷此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，關(guān)鍵時(shí)求出距池邊的水平距離為3±米時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員5與跳臺(tái)的垂直距離.跳臺(tái)支柱mOdi【例4】如圖，在直角坐標(biāo)xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（4,

37、J3）,且在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在y軸上求作一點(diǎn)P（不寫作法），使PA+PC最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在X軸的上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q,使得以Q,A,B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由（泰州市中考試題）解題思路：對(duì)于（1）、（2）,運(yùn)用對(duì)稱方法求出A,B,P點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于（3）,由于未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，需分類討論.【例5】如圖，已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE,其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積.(遼寧省中考試題)解題思路：設(shè)DN=PM=值點(diǎn)不一定是拋物

38、線的頂點(diǎn),Ax,矩形PNDM的面積為y,建立y與x的函數(shù)關(guān)系式.解題的關(guān)鍵是：最應(yīng)注意自變量的取值范圍值；若不存在，請(qǐng)說明理由解題思路：把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)用關(guān)鍵是分類討論.y【例6】將拋物線01:y1J3x2v'3沿x軸翻折，得拋物線C2,如圖所示.(1)請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式.(2)現(xiàn)將拋物線ci向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到白新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A,B；將拋物線C2向右也平移移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D,E.當(dāng)B,D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A,N,E,M為頂點(diǎn)的四邊形是

39、矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的(江西省中考試題)m的代數(shù)式表示，由圖形性質(zhì)建立m的方程.因m值不確定，故解題的能力訓(xùn)練1.已知拋物線2/x(a2)x9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則a的值為2.已知拋物線2,xbxC與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于B,C兩點(diǎn)，且BC=2,SABC=3,ABCc的圖象如圖所示y3xyx12axyyyyyOOOOxxxxCABDy2對(duì)稱yE6m4m8mO-1AOyoBE,則下列關(guān)系式不能總成立的是根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是B.頂點(diǎn)是（2,2）D.與y軸的交點(diǎn)是（0A.過點(diǎn)（3,0）C.在x軸上截得的線段長(zhǎng)度是2bxc的圖象過點(diǎn)（1A.b0D.ac0C.

40、ac112xBx27.如圖，拋物線yaxbxc與兩坐標(biāo)軸的父點(diǎn)分別是A,B,EB.SABEc1一、一一，一,、-），且圖象與x軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則該42x（四川省中考試題）則b=iL第7題圖8.如圖，某中學(xué)的校門是第8題圖拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米處高各有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不計(jì)）（）A. 9.2米B. 9.1米C.9米D.5.1米（吉林省中考試題）9.如圖，是某防空部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖.在地面O,A兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得空中固定目標(biāo)C的仰角分別為a和B,OA=

41、1千米，tana=2,tan§=3,位于O點(diǎn)正上方5千米D2883點(diǎn)處的直升機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行到達(dá)距地面最大高度3千米時(shí)，相應(yīng)的水平距離為4千米（即圖中E點(diǎn)）.（1）若導(dǎo)彈運(yùn)行為一拋物線，求拋物線的解析式；（2）說明按（1）中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)的理由.（河北省中考試題）10 .如圖，已知ABC為正三角形，D,E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)（不在頂點(diǎn)），/BDE=60°.（1）求證：DECsBDA;（2）若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,并設(shè)DC=x,BE=y,試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求BE最短時(shí)，BDE的面積.11 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OBLOA且

42、OB=2OA,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一1,2）.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)A,O,B的拋物線的解析式；（3）連結(jié)AB,在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P,使SabpSabo.（陜西省中考試題）212 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yxmxn經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(0,3)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)這條拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在第四象限，連結(jié)BM,AM,當(dāng)線段PMM.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t;(1)分別求直線AB和最長(zhǎng)時(shí)，求ABM的面積;(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,M,B,O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由(南

43、寧市中考試題)5,則C=1 .已知二次函數(shù)yx26xc的圖象頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x26x上.設(shè)2 .如圖，四邊形ABCD是矩形，A,B兩點(diǎn)在x的正半軸上，C,D兩點(diǎn)在拋物線yOA的長(zhǎng)為m(0vmV3).矩形ABCD的周長(zhǎng)為l,則l與m的函數(shù)解析式為(昆明市中考試題)第2題圖3 .如圖，在。O的內(nèi)接ABC中,A當(dāng)AB的長(zhǎng)等于時(shí)，OOAB+AC=12,ADXBC,垂足為D(點(diǎn)D在邊BC上)，且AD=3,的面積最大，最大面積為.4 .如圖，已知二次函數(shù)y12axbxc(a0)與一次函數(shù)y2kxm(k0)的圖象相交于點(diǎn)A(杭州市中考試題)2,4),B(8,2),則能使y1y成立的x的取值范圍時(shí)5.已

44、知函數(shù)y2axbxc的圖象如下圖所示，則函數(shù)yaxc的圖象只可能是（重慶市中考試題）yCABD6.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,則下列6個(gè)代數(shù)式:ab,ac,abc,abc,2ab,2aA.2個(gè)b中，其值為正的式子個(gè)數(shù)為（）B.3個(gè)C.4個(gè)D.4個(gè)以上（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7.已知拋物線2axbxcA.1B.08.已知二次函數(shù)八2uyaxbx函數(shù)y的值分別時(shí)yi,y2,y3,a.yy2y3B.9.已知拋物線y2mx（3m形，求拋物線的解析式.10.如圖，已知點(diǎn)M,N（aw0）的對(duì)稱軸是xC.1c（a0）的對(duì)稱軸是2,那么y1，y2,y的大小關(guān)系是（yy2y3且經(jīng)過點(diǎn)2,且當(dāng)C.y

45、2y1y3P（3,0）則aD.2Xi2,x2D.y2bc的值為（）,X30時(shí)，二次yy34、-）x4與x軸交于兩點(diǎn)a,B,與y軸交于C點(diǎn)，若ABC是等腰二角（“新世紀(jì)杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,1）,點(diǎn)P是拋物線y12,x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).4（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線y1的位置關(guān)系;12（2）設(shè)直線PM與拋物線yx的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,連結(jié)NP,NQ,求證:4/PNM=/QNM.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）11.已知函數(shù)yx2x12的圖象與x軸相交于相異兩點(diǎn)A,B,另一拋物線yax2bxc過點(diǎn)A,(天津市競(jìng)賽試題)B,頂點(diǎn)為P,且APB是等腰直角三角形，求a,b,

46、c的值.2.12.如圖1,點(diǎn)P是直線l:y2x2上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線yx于a,B兩點(diǎn).13(1)右直線m的解析式為y-x,求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；22(2)如圖2,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,t),當(dāng)PA=AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；試證明：對(duì)于直線l上任意給定的一點(diǎn)P,在拋物線上都能找到點(diǎn)A,使得PA=AB成立；(3)如圖3,設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C,若4AOB的外心在邊AB上，且/BPC=/OCP,求點(diǎn)P的坐標(biāo).(武漢市中考試題)圖1初中九年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（奧數(shù)）專題09特殊與一般二次函數(shù)與二次方程閱讀與思考二次函數(shù)的一般形式是yax2bxca0,從這個(gè)式子中可以看出，二次函數(shù)的解析式實(shí)際上是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，若令y=0,則得ax2bxc0這是一個(gè)關(guān)于1 .當(dāng)0時(shí),次方程，因此,二次函數(shù)與方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，拋物線與二次方程有著密切的聯(lián)系，表現(xiàn)為:x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)為A(xi,0),B(x2,0）,其中xi,x2是方程兩相異實(shí)根,ABb24ac；;2 .當(dāng)0時(shí),3 .當(dāng)0時(shí),方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).由于二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，所以，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問