為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)

1、為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍在人教版普通高中實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4·必修（A版）（簡稱“人教A版”）中，三角函數(shù)采用了如下定義（簡稱“單位圓定義法”）：“如圖1，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：（1）y叫做的正弦，記作sin，即sin=y；（2）x叫做的余弦，記作cos，即cos=x；（3）叫做的正切，記作tan，即tan=（x0）可以看出，當(dāng)=(kZ)時(shí)，的終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x等于0，所以無意義除此之外，對于確定的角，上述三個值都是唯一確定的所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)

2、的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)”1部分教師的疑惑和意見由于種種原因，實(shí)驗(yàn)區(qū)有的教師對上述定義不理解，認(rèn)為該定義不如以往教材采用的定義，即在角的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r，比值，分別定義為角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)（簡稱“終邊定義法”）其理由主要有以下幾點(diǎn)：第一，“單位圓定義法”中，“交點(diǎn)是特殊的，缺乏一般性，不符合數(shù)學(xué)定義的要求”；“終邊定義法”中，“所取得點(diǎn)是任意的，具有一般性，符合數(shù)學(xué)定義的要求”有的老師說，“單位圓上的點(diǎn)畢竟是特殊點(diǎn)，用它定義三角函數(shù)有失一般性”第二，“單位圓定義法”不利于將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)；“終邊定義

3、法”有利于這種推廣有的老師說，“用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦、余弦函數(shù)帶來了不少便利，其根本原因是它化簡了三角函數(shù)的比值而用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正切函數(shù)，由于它未能化簡三角函數(shù)的比值，所以它就沒有什么特別的意義”第三，“單位圓定義法”不利于解題有的老師說，在解“已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3a,4a）,求角的三角函數(shù)值”時(shí)，用“終邊定義法”非常方便，而用“單位圓定義法”很不方便為了解答老師們的疑問，我們首先從回顧三角函數(shù)的發(fā)展歷史開始2對三角函數(shù)發(fā)展歷史的簡單回顧回顧三角學(xué)發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)它的起源、發(fā)展與天文學(xué)密不可分，它是一種對天文觀察結(jié)果進(jìn)行推算的方法1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，這是

4、航海、立法推算以及天文觀測等人類實(shí)踐活動的需要，同時(shí)也是宇宙的奧秘對人類的巨大吸引力所至，這種“量天的學(xué)問”確實(shí)太誘人了后來，由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來的標(biāo)志是德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，14361476）于1464年出版論各種三角形，這部著作首次對三角學(xué)做出了完整、獨(dú)立的闡述其中采用印度人的正弦，即圓弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)，討論了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長的代數(shù)解法，給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理這部著作為三角學(xué)在平面與球面幾何中的應(yīng)用奠定了牢固基礎(chǔ)后來，哥白尼的學(xué)生雷提庫斯（G. J.

5、Rhaeticus，15141576）將傳統(tǒng)的圓中的弧與弦的關(guān)系改進(jìn)為角的三角函數(shù)關(guān)系，把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立出來，并采用了六個函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F. Vieta，15401603）總結(jié)了前人的三角學(xué)研究成果，將解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式，如正切公式、和差化積公式等，并將解斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題等，這是對三角學(xué)的進(jìn)一步系統(tǒng)化總之，16世紀(jì)，三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來，成為數(shù)學(xué)的一個獨(dú)立分支不過，值得注意的是，這時(shí)所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù)

6、，而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算任意角的三角函數(shù)的研究，與圓周運(yùn)動的研究有直接關(guān)系17世紀(jì)，“數(shù)學(xué)從運(yùn)動的研究中引出了一個基本概念在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)或變量間的關(guān)系的概念” “正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運(yùn)動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性）的直接反映” 任意角的三角函數(shù)的系統(tǒng)化是在18世紀(jì)的微積分研究中完成的“微積分的一般工作的結(jié)果是：初等函數(shù)被充分地認(rèn)識了，并實(shí)際已將它們發(fā)展成為我們今天所見到的樣子”“三角函數(shù)的數(shù)學(xué)也

7、系統(tǒng)化了Newton和Leibniz給出了這些函數(shù)的級數(shù)展開式兩個角的和與差的三角函數(shù)sin(xy)，sin(xy)的公式的發(fā)展應(yīng)歸功于一批人最后，Euler于1748年在關(guān)于木星和土星運(yùn)動中的不等式的一篇得獎文章中給出了三角函數(shù)的一個十分系統(tǒng)的處理在Euler1748年的引論中已經(jīng)搞清了三角函數(shù)的周期性，并引入了角的弧度制” 3任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關(guān)系從上述簡單回顧可以看到，任意角的三角函數(shù)雖然與三角學(xué)（銳角三角函數(shù)）有淵源關(guān)系，某種意義上可以把前者看成是后者的進(jìn)一步發(fā)展，但它們研究的是兩類不同的問題“三角學(xué)所討論的課題是三角形的各種各樣的幾何量之間的函數(shù)關(guān)系” ，銳角三角函數(shù)是

8、解三角形的工具；而任意角的三角函數(shù)卻不限于此，它是一個周期函數(shù)，是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”另外，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，任意角的三角函數(shù)在18世紀(jì)之所以得到系統(tǒng)研究（其中很重要的是函數(shù)的三角級數(shù)展開式問題），一個主要原因是三角函數(shù)具有周期性，這一特殊屬性在天文學(xué)、物理學(xué)中有大量的應(yīng)用三角級數(shù)“在天文學(xué)中之所以有用，顯然是由于它們是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都是周期的” ，而這種應(yīng)用又與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究的中心工作微積分緊密結(jié)合，人們在研究行星運(yùn)動的各種問題時(shí)，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式（三角級數(shù)）的系數(shù)是用定積分表示的所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之

9、間的關(guān)系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的它們研究的對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”4用“單位圓定義法”的理由用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)（1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)周期性采用“單位圓定義法”，對于任意角a，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角a（弧度）對應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y正弦，角a（弧度）對應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且

10、這種表示也是簡單的另外，“x= cosa，y= sina是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述”，其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角a每隔2（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點(diǎn)求距離求比值”等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； “從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無關(guān)）

11、也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系（2）有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等例如： P(x，y)在單位圓上|x|1，|y|1，即正弦、余弦函數(shù)的值域?yàn)?，1； |OP|2=1sin2a +

12、cos2a =1； 對于圓心的中心對稱性sin(+a)=sina，cos(+a)=cosa； 對于x軸的軸對稱性sin(a)=sina，cos(a)=cosa； 對于y軸的軸對稱性sin(a)=sina，cos(a)=cosa； 對于直線y=x的軸對稱性sin(a)=cosa，cos(a)=sina； sina在，內(nèi)的單調(diào)性      a： 0 x：10101 sina在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，對于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解“單位圓定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時(shí)角度和

13、半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了另外，我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實(shí)數(shù)（點(diǎn)）a被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cosa，sina)（3）符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史前述三角函數(shù)發(fā)展史已經(jīng)表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運(yùn)動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”所以，采用“單位圓定義法”能更真實(shí)地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程

14、（4）有利于后續(xù)學(xué)習(xí)前已述及，“單位圓定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)不僅如此，這一定義還能為“兩角和與差的三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)帶來方便，因?yàn)楹停ú睿┙枪綄?shí)際上是“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述 另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學(xué)習(xí)帶來方便例如，重要極限=1幾乎就是定義的一個“推論”5教科書中的任意角的三角函數(shù)的引入方式“人教A版”首先通過“思考”，提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問題，以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念，體會引進(jìn)象限角概念后，用角的終邊上點(diǎn)

15、的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前，作了如下鋪墊：直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)象限角為載體的銳角三角函數(shù)                            單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)這樣做的目的主要是為了以銳角三角函數(shù)為認(rèn)知基礎(chǔ)來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，使學(xué)生初步體會用單位圓上點(diǎn)

16、的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)所具有的簡單、方便并反映本質(zhì)的好處，從而為“單位圓定義法”做好認(rèn)知準(zhǔn)備需要注意的是，這樣做并不表明任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間有一般與特殊的關(guān)系事實(shí)上，用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯的選擇6幾點(diǎn)說明（1）“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的正因?yàn)榇耍鞣N數(shù)學(xué)出版物中，兩種定義方法都有采用例如，由蘇聯(lián)科學(xué)院院士、世界著名數(shù)學(xué)家.維諾格拉多夫主編，蘇聯(lián)百科全書出版社出版，被陳省身先生譽(yù)為“對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，將無法估計(jì)”的、具有世界性權(quán)威的數(shù)學(xué)百科全書（中譯本在2000年由科學(xué)出版社出版）中，采用了“單位圓定義法

17、”；中國大百科全書出版社的中國大百科全書·數(shù)學(xué)（1992年版）中采用了“終邊定義法”應(yīng)當(dāng)說，采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分，并不存在商榷的問題因此，“單位圓上的點(diǎn)畢竟是特殊點(diǎn)，用它定義三角函數(shù)有失一般性”的認(rèn)識是不正確的值得強(qiáng)調(diào)的是正弦、余弦和正切函數(shù)在R（正切除a=(kZ) 外）上處處有定義，而不是角a的終邊上取點(diǎn)的任意性事實(shí)上，在老師們熟悉的“終邊定義法”中，給出定義后有如下說明：“根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a，這三個比值（如果有的話）都不會隨點(diǎn)P在a的終邊上的位置的改變而改變對于確定的角a，上面三個比值都是唯一確定的這就是說，正弦、余弦、正切都是以角為自

18、變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”這恰恰說明了“以角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為比值”是不失一般性的另外，用“單位圓定義法”直截了當(dāng)、簡潔易懂，不需要這樣的說明，就更顯出其好處了（2）高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）只要求正弦、余弦和正切三個函數(shù)，其目的是削枝強(qiáng)干，是非常正確的進(jìn)一步地，三角函數(shù)中，正弦、余弦函數(shù)是“基本三角函數(shù)”，其余都是通過這兩個函數(shù)的運(yùn)算（相除、取倒數(shù)等）而得到的，或者說是從這兩個函數(shù)“派生”出來的這樣理解各三角函數(shù)的關(guān)系，那么“用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正切函數(shù)，由于它未能化簡三角函數(shù)的比值，所以它就沒有什么特別的意義”的擔(dān)心也就不必要了（3）“人教A版”在給出三角函數(shù)定義后，有如下兩個例題：例1 求的正弦、余弦和正切值例2 已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(3，4)，求角a的正弦、余弦和正切值它們的作用主要是讓學(xué)生熟悉定義例1的解答要用銳角三角函數(shù)知識，例2的解答要用一定的平面幾何知識，而許多學(xué)生的平面幾何基礎(chǔ)較差，所以有一定的困難，這是教學(xué)中需要注意的另外，例2還有讓學(xué)生研究“終邊定義法”的意