電磁場與電池波第4章

1、湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場1 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 4.1 波動方程波動方程 4.2 電磁場的位函數(shù)電磁場的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定理電磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時諧電磁場時諧電磁場湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場24.1 波動方程波動方程 在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無損耗的均勻媒在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無源區(qū)的波動方程無源區(qū)的波動方程 波動方程波動方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性揭示電磁場的波動性 麥克斯韋方

2、程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場與磁場一階矢量微分方程組，描述電場與磁場 間的相互作用關(guān)系間的相互作用關(guān)系 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動方程波動方程 問題的提出問題的提出電磁波動方程電磁波動方程2220EEt2220HHt湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場3同理可得同理可得 推證推證 問題問題 若為有源空間，結(jié)果如何？若為有源空間，結(jié)果如何？ 若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？00HtHtH ()EHt22()HHHt 22220HHt2220EEt湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場44.2 電磁場的位

3、函數(shù)電磁場的位函數(shù) 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場5引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。 引入位函數(shù)的意義引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義0BBA Bt ()0AtAEt 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場6 位函數(shù)的不確定性位函數(shù)的不確定性）、（A 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和和 能

4、描述同能描述同一個電磁場問題。一個電磁場問題。即即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。不同位也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換A 原因：未規(guī)定原因：未規(guī)定 的散度的散度為任意可微函數(shù)為任意可微函數(shù)AAt ()()()AAAAAAtttt A（ 、 ）A（ 、 ）A湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場7除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即 位

5、函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。以簡化。AAAA0At0A湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場8 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程BDEHDHJtEBJtABAEt ()AAJtt2()AAA 222()AAJAtt 222AAJt 0At湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場9同樣同樣D()At 222t ADEEt 、0

6、At湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場10 說明說明 若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程? 具有什么特點具有什么特點? 問題問題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點：應(yīng)用洛侖茲條件的特點： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱 的，且比較簡單，易求解；的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁場具有有限的傳遞速度；反映出電磁場具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標(biāo)，標(biāo) 量位只決定于量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出這對求解方程特別有利

7、。只需解出A，無需，無需 解出解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。 電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位和標(biāo)量位 的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。222AAJt 222t 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場114.3 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量坡印廷

8、矢量湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場12 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量內(nèi)損耗的能量電場能量密度電場能量密度：磁場能量密度磁場能量密度：電磁能量密度電磁能量密度：空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量： 特點特點：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動時間改變，從而引起電磁能量流動 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWtVS12ew E D 12mw H B1122em

9、wwwE DH B11d()d22VVWw VE DVH B湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場13 其中其中： 單位時間內(nèi)體積單位時間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的電磁能量的電磁能量 單位時間內(nèi)電場對體積單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所作的功；中的電流所作的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率內(nèi)總的損耗功率 通過曲面通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率的電磁功率 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：積分形式： 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：11()()22tE HE DH BE J d11()

10、 d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J d11()dd22VVtE DH B dVVE J () dSE HS湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場14 在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時間變化時，則有在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到將以上兩式相減，得到由由 推證推證DHJtBt DH JtBHHt DBHH JHtt 1()1()22D Dtttt 1()1()22BHH HHHH Btttt湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場15即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理

11、的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式 物理意義：物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面單位時間內(nèi)，通過曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。()HHH 11()()22H DH B Jt d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時

12、變電磁場16 定義：定義： ( W/m2 ) 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较?的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率 描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E SHSS湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場17 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間，其間填

13、充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過的電，導(dǎo)體中流過的電流為流為I 。（。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)模┰趯?dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；（功率；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場18電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源向負(fù)電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源向負(fù)載，如圖所示。

14、載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）2d2d2ln()bzSaUIPS e SUIb a 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場19 解：解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理

15、，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量,ln()UEeb a2IHe()ab2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場20 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場向的電場內(nèi)內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為內(nèi)磁

16、場則仍為磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）2zJIEeazzEE 外2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場21式中式中 是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功

17、率為由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。向分量，如圖所示。 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)模瑢?dǎo)體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。22122320()d2d2SaIIPSSa zRIaa外e21Ra湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變

18、電磁場224. 4 惟一性定理惟一性定理 在以閉曲面在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域內(nèi)為邊界的有界區(qū)域內(nèi)V，如果給定如果給定t0時刻的電場強度和磁場強度時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 時，給定邊界面時，給定邊界面S上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在 t 0 時，區(qū)域時，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊

19、界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題?？怂鬼f方程的解的惟一問題。 惟一性問題惟一性問題VS湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場23 惟一性定理的證明惟一性定理的證明 利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解一的，那么至少存在兩組解 、 和和 、 滿足同樣的麥克斯韋滿足同樣的麥克斯韋

20、方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。令方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。令則在區(qū)域則在區(qū)域V 內(nèi)內(nèi) 和和 的初始值為零；在邊界面的初始值為零；在邊界面S 上電場強度上電場強度 的的切向分量為零或磁場強度切向分量為零或磁場強度 的切向分量為零，且的切向分量為零，且 和和 滿足麥滿足麥克斯韋方程克斯韋方程012EEE012HHH000EHEt00HEt 0()0H0()0E1E2E0E0E0E0H 0H 0H 1H 2H 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場24根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以，得所以，得由于的初始值為零，將上式兩邊對由于的初始值為零，

21、將上式兩邊對 t 積分，可得積分，可得根據(jù)根據(jù) 和和 的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為22200000d11()d()ddd22nSVVEHe SHEVEVt000000()()()0nnnSSSEHeeEHHeE222000d11()dd0d22VVHEVEVt222000011()d(d )d022tVVHEVEVt 0E0H 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場25上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證畢）（證畢）即即 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須

22、滿足的條件，為電磁場惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場 問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的 應(yīng)用。應(yīng)用。 00E 00H 12,EE12HH湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場264. 5 時諧電磁場時諧電磁場 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁

23、場27 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念 如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。 研究時諧電磁場具有重要意義研究時諧電磁場具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信廣播、電視和通信 的載波等都是時諧電磁場。的載波等都是時諧電磁場。 任意的時變場在

24、一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不任意的時變場在一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不 同頻率的時諧場的疊加。同頻率的時諧場的疊加。湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場284.5.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示 時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題得分析得以簡化。題得分析得以簡化。 設(shè)設(shè) 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間隨時間t t 作正弦變化的場量，它作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電

25、荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成它與時間的關(guān)系可以表示成其中其中時間因子時間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0為振幅、為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實數(shù)表示法或?qū)崝?shù)表示法或瞬時表示法瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtr( )r ( )0( , )ReRe ( )ejtrj tA r tA eA r( )0( )ejrA rA湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場29 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不

26、代表真實的場 真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達(dá)式真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達(dá)式 由于時間因子是默認(rèn)的，有時它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān)由于時間因子是默認(rèn)的，有時它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān) 的部份就可表示復(fù)矢量的部份就可表示復(fù)矢量照此法，矢量場的各分量照此法，矢量場的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，電場強度為各分量合成以后，電場強度為 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明復(fù)矢量復(fù)矢量( )( , )Re( )eReijtrj tiiimE r tE rE e( , )Re( )ej tmE r tEr( )( )( )( )( )(

27、 )( )yxzjrjrjrmxxmyymzzmEre Er ee Er ee Er e湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場30 例例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（解：（1）由于）由于（1）所以所以( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()Reeeyxjt

28、 kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee jE e湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場31（2）因為）因為 故故 所以所以 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza200( , )()sin()ecos()

29、ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場32 例例4.5.2 已知電場強度復(fù)矢量已知電場強度復(fù)矢量解解其中其中kz和和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量( )cos()mxxmzEze jEk z()2( , )Recos()eRecos()ej txxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek ztcos()sin()xxmze Ek zt 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場33以電場旋度方程以電場旋

30、度方程 為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得t Re 將將 、 交換次序，得交換次序，得上式對任意上式對任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程令令t/2 ，得，得即即BEt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBj Bt ReRemmEj B ReRe ()mmjEjj BImIm()mmEj BmmEj B Ret與湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場34從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要把微分算子 用用 代替，就

31、可以把時諧電磁代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程的麥克斯韋方程t 略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)mtjjt0tt DHJBEBD0mmmmmmmmHJj DEj BBD0H J j DEj BDB 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場35 例題例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中式中 解：解：（1）因為）因為故電場的復(fù)矢量為故電場的復(fù)矢量為試求：（試求：（1）電場的復(fù)矢量）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。）磁場的復(fù)矢

32、量和瞬時值。12( , )( , )( , )E z tE z tE z t8182( , )0.03sin(10)( , )0.04cos(10/3)xxE z tetkzEz tetkz888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re 0.03e Re 0.04eRe0.03e0.04eexxxxjt kzjt kzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810t/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子

33、技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場36（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量磁場強度瞬時值磁場強度瞬時值0032054321( )( )0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexyjjjkzyjjjkzyEjH zE zejzkee k 58( , )Re( )e7.6 10sin(10)j tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場374.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)理想介質(zhì) 在時諧時情況下

34、，將在時諧時情況下，將 、 ，即可得到復(fù)矢即可得到復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量瞬時矢量復(fù)矢量復(fù)矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH()cck jt 222t 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場384.5.5 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 在時諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以在時諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程瞬時矢量瞬時

35、矢量復(fù)矢量復(fù)矢量t BAAEj BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場39 時諧場中時諧場中二次式的表示方法二次式的表示方法 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。 設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為 電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二

36、次式。關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場40則能流密度為則能流密度為 如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實部，再代入先取實部，再代入 200cos( )tSEHEHr( )( )00( )e( )ejjrrE rEH rH( )( )002( )0000Re( ee ) ReeeRe ecos 22 ( )j tj tj tj tjtt rrr

37、SEHEHEHEHr( )( )00200ReeReecos( )jtjttrrSEHEHr湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場41使用二次式時需要注意的問題使用二次式時需要注意的問題 二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式 場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可 場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘先取實后相乘” 如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電

38、磁波 第4章 時變電磁場42 二次式的時間平均值二次式的時間平均值 在時諧電磁場中，常常要在時諧電磁場中，常常要關(guān)心關(guān)心二次式二次式在一個時間周期在一個時間周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均電場能量密度平均電場能量密度平均磁場能量密度平均磁場能量密度 在時諧電磁場中，二次式在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計 算，有算，有00111dd2TTeavewwtE D tTT 00111dd2TTmavmwwtH B tTT 0011d()dTTavtEHtTTSS111Re(),Re(),Re()244avea

39、vmavEHwE DwH B S湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場43則平均能流密度矢量為則平均能流密度矢量為 如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 時間平均值與時間無關(guān)時間平均值與時間無關(guān) 例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數(shù)形式給出都用實數(shù)形式給出00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr2000000111()dcos ( )d2TTavttrtTTSEHEHEH( )0( )0( )e( )ejjrrE rEH rH001Re( e)Re(e

40、)2j tj tavavSEHEH*1Re()2avSEH( )( )000011Reee22jjrrEHEH湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場44 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它 時變電磁場；而時變電磁場；而 只適用于時諧電磁場。只適用于時諧電磁場。 在在 中，中， 和和 都是實數(shù)形式且是都是實數(shù)形式且是 時間的函數(shù)，所以時間的函數(shù)，所以 也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度 在某一個瞬時的取值；而在某一個瞬時的取值；而 中的中的 和和 都是復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以都是

41、復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以 也與時間無也與時間無 關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。( , ) tS r( )E r( )H r( )avSr 利用利用 ，可由，可由 計算計算 ，但不能直，但不能直 接由接由 計算計算 ，也就是說，也就是說( , ) tS r( )avSr( )avSr( , ) tS r( , ) tS r( )avSr 關(guān)于關(guān)于 和和 的幾點說明的幾點說明( , ) tS r( , ) tS r( , ) tS r( , ) tS r( )avSr( )avSr( )avSr( )avSr( )avSr( , ) tS r( , )( , )( , )tttS rE rH r1( )Re( )( )2avSrE rHr( , )Re( )ej tavtS rSr( , ) tE r( )E r( , ) tH r( )H r01( )( , )dTavttTSrS r湖北大學(xué) 物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院電磁場與電磁波 第4章 時變電磁場45 例例4.5.4已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復(fù)矢量已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復(fù)矢量為為 ，其中，其中k 和和 E0 為常數(shù)。