第二十三章旋轉(zhuǎn)拓展題

1、第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形1. RtABC中，已知/C=90，/B=50°,點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD(如圖).把ABC繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)m(0vRK180)度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始RtABC的邊上，那么m=2.平行四邊形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，/AOB60。，A(=1,AC=2,把平行四邊形AOBC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在y軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.3.如圖，四邊形EFGH是由四邊形ABCD§過旋轉(zhuǎn)得到的如果用有序數(shù)對(2,1)表示方格紙上A點(diǎn)的位置，用(1,2)表示B點(diǎn)的位置，那么四邊形ABCD轉(zhuǎn)得到四邊形EFG時的旋轉(zhuǎn)中

2、心用有序數(shù)對表示是4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，坐標(biāo)為(a,b),直線I的解析式為y=2x-4.(1) 畫出點(diǎn)P以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點(diǎn)P'(2) 猜想點(diǎn)P'的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；(3) 求出直線l繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的直線I'的解析式.專題三利用旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)判定三角形形狀、線段之間位置與數(shù)量關(guān)系5. 如圖，在口ABCD中，過點(diǎn)C作CE±CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至U線段EF.當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)(P不與C重合)時，連接EP;繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°

3、;得到線段EG判斷直線FG與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明.6.已知：如圖1,O為正方形ABCD勺中心，分別延長0A到點(diǎn)F,0D到點(diǎn)E,使OP2OAOE=20D連接EF,將厶FOE繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)a角得到F'OE'(如圖2).(1) 探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2) 當(dāng)a=30°時，求證：AOE為直角三角形.7.(1)如圖，在正方形ABCDKAAEF的頂點(diǎn)E,F分別在BCCD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求/EAF的度數(shù).(2) 如圖，在RtAABD中，/BAD90。，AB=AD點(diǎn)MN是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且/MAN45°,將厶ABM繞點(diǎn)A逆時

4、針旋轉(zhuǎn)90°至厶ADH位置，連接NH試判斷MNNDDH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3) 在圖中，連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)MN,若EG4,GF=6,BMf唧，求AGMN的長.i團(tuán)3知識要點(diǎn)：1. 旋轉(zhuǎn)的定義：把一個圖形繞著某一點(diǎn)0轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)2. 旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向3. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段間的夾角為旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等溫馨提示：1. 旋轉(zhuǎn)可以得到相等的角、邊，所以為證明三角形全等提供了有力的條件2. 旋轉(zhuǎn)可以將分散的邊角集中于一點(diǎn)或集中于同一個三角形.同理，旋轉(zhuǎn)也可以

5、將集中的條件分散.方法技巧：1. 確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心2. 旋轉(zhuǎn)出等腰三角形；旋轉(zhuǎn)90°出等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)60°出等邊三角形.3. 圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°前后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系：橫變縱，縱變橫，符號看象限.即:P（a，b）繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°P（b，-a）；P（a,b）繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°P（b,a）.參考答案1. 80°或120°【解析】(1)如圖，點(diǎn)B恰好落在邊AB上的點(diǎn)B'時，有DB=DB./旋轉(zhuǎn)角m=ZBDB=180°-ZDB'BZB=1

6、80°2ZB=80°(2)如圖，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)B時，有DB=DB.在RtBCD中，TDB=DB=2CP/-ZCDB=60°旋轉(zhuǎn)角/BDB=180°/CDB=120°.ZAOB=60，把平行四邊形AOBC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在y軸上,ZAEC=90°.ZAC'B=60o,/ZAC'E=30°/AE=1,AC'=2,/EC=.3,AE=1,/C'(.3,2).同理可得點(diǎn)C'(-3,-2).3.(5,2)【解析】連接CG作其垂直平分線；連接EA,作其垂直平分線；兩垂直平分線的

7、交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心垂線，垂足分別為B'、AZPOP=90°,/ZAOPZAOP又OP=OP,RtAO磴RtAOP.OA=OA,AP=AP'OA=OA=aOB=P'A'=PA=OB=b.P在第二象限，P'的坐標(biāo)為(一b,a);(3) 由圖象知直線|與x軸交點(diǎn)為M(2,0),與y軸交點(diǎn)為N(0,4).由(2)得：點(diǎn)M(2,0)、N(0,4)繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)分別是M(0,2)、N'(4,0),直線MN'就是直線I繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)直線，1解得直線I的解析式為y=x+2.25.【解】直線

8、FG與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.證明：如圖，設(shè)直線FG與直線CD的交點(diǎn)為H.E逆時針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段EF、EG/PEG/CEF=90,EG=EPEF=EC /GEF=90-/PEF,/PEC=90-/PEF,GEF=ZPEC GEFAPECGFE=/PCE/EC丄CDPCE=90.GFE=90./EFH=90./FHC=90.FG丄CD6.【解】(1)AE=BF.證明：如圖2,在正方形ABCD中,AC丄BD,/F'OE'=/AOD=/AOB=90°.即/AOE+/AOF=/BOF+/AOF.AOE=/BOF./OA=OB=ODOE=2ODOF=2O

9、A,OE=OF.OAEOBF.AE'=BF.(2)作厶AOE的中線AM,如圖3.貝UOE=2OM=2OD=2OA.OA=OM. a=30°,/AOIM=60°.AOM為等邊三角形. MA=MO=ME,/AE'M=/E'AM./AE'M+/E'AM=/AMO即2/AE'M=60°./AE'M=30°.AE'M+/AOE=30°+60°=90°, AOE為直角三角形.7.【解】(1)在RtABE和RtAGE中,ABAG,AEAE,ABEAAGEBAEGAE.同理，G

10、AFDAF.EAF(2)MN1BAD452ND2DH2BAMDAH,BAMDAN45,HANDAHDAN45.二HANMAN./AMAH,ANAN，：AMEAHN/MNHN.BAD90,ABAD，二ABDADB45.HDNHDAADB90.二NH2ND2DH2.aMN2ND2DH(3)如圖，由(1)知，BEEG,DFFG.設(shè)AGx，則CEx4,CFx6.CE2CF2EF2(x4)2(x6)2102.解這個方程，得x112,x22(舍去負(fù)根).aAG12.BD.AB2AD2.2AG212.2.在(2)中，MN2ND2DH2,BMDH,MN2ND2BM2.設(shè)MNa，則a2(12、.23、2a)2(

11、32)2.aa5.2.即MN5.2.23.2中心對稱2b1點(diǎn)P（ac,）在第二象限，點(diǎn)Q（a,b）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)在（）aA.第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2. 一天，上九年級的聰聰和明明在一起下棋，這時聰聰靈機(jī)一動，象棋中也有很多數(shù)學(xué)知識，如圖，我們給中國象棋棋盤建立一個平面直角坐標(biāo)系（每個小正方形的邊長均為1），根據(jù)象棋中“馬”走“日”的規(guī)定，若“馬”的位置在圖中的點(diǎn)P.（1）寫出下（2）明明想了想，我還有兩個問題： 如果順次連接（1）中的所有點(diǎn)，得到的圖形是圖形（填“中心對稱”、“旋轉(zhuǎn)對稱”、“軸對稱”）； 指出（1）中關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱的點(diǎn)專題二利用中心對稱的性質(zhì)判定線段之間的

12、關(guān)系3. 如圖，正方形ABCD與正方形AB'CD'關(guān)于點(diǎn)0中心對稱，若正方形ABCD勺邊長為1,設(shè)圖形重合部分的面積為y,線段0B的長為x,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.4. 課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：（1）如圖1,在厶ABC中，若AB=5,AC=3求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,使得DE=AD再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD,把ABAC2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2VAEV8,則1vACX4.感悟解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)

13、為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.（2）解決問題：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2,在厶ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEIDF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.求證：BE+CF>EF,若/A=90°，探索線段BECF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.專題三利用中心對稱的性質(zhì)畫圖或游戲5. 如圖，AB/CD/EF,AF/ED/BC若畫一條直線將這個圖形分成面積相等的兩個部分，則符合要求的直線可以畫（）A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條6. 兩個人輪流在一張桌面（長方形或正方形或圓形）上擺放硬幣規(guī)則是每人每次擺一

14、個，硬幣不能互相重疊，也不能有一部分在桌面邊緣之外，擺好之后不許移動.這樣經(jīng)過多次擺放，直到誰最先擺不下硬幣誰就認(rèn)輸按照這個規(guī)則你用什么方法才能取勝呢？知識要點(diǎn)：1中心對稱的定義：同一平面內(nèi)，一個圖形繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形能互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做它的對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后重合的兩個點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)2. 中心對稱的性質(zhì)： 中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分； 中心對稱的兩個圖形是全等形3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'(

15、-x,-y).溫馨提示：1. 軸對稱圖形的對稱軸可以有多條，中心對稱圖形的對稱中心只有1個.2. 對稱中心平分中心對稱圖形內(nèi)通過該點(diǎn)的任意線段且使中心對稱圖形的面積被平分.方法技巧：1. 畫一條直線將一個不規(guī)則圖形分成面積相等的兩個部分的方法：利用割補(bǔ)法將該圖形轉(zhuǎn)化為兩個中心對稱圖形，連接兩個對稱中心的直線就是所求的直線.2. 中心對稱可以將分散的邊角集中于一點(diǎn)或集中于同一個三角形.同理，中心對稱也可以將集中的條件分散.參考答案1. A【解析】點(diǎn)P(ac2,-)在第二象限，ac2v0,->0,aaav0,bvO.點(diǎn)Q(a,b)在第三象限.點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)(-a,-b)在第一

16、象限.2. 【解】(1)根據(jù)分析可得，下一步“馬”可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)：(0,0),(0,2),(1,3),(3,3),(4,2),(4,0);(2)軸對稱(0,0)點(diǎn)和(4,2)點(diǎn)，(0,2)點(diǎn)和(4,0)點(diǎn)3. 【解】如圖，設(shè)AD與CD'交于點(diǎn)F,CD與AD'交于點(diǎn)E.正方形ABCD與正方形AB'CD'關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，.四邊形DEDF是正方形.正方形ABCD的邊長為1,二BD=2./OB=xOD=BD-OB=2-x.DE=2(,2-x)=2-2x.y=S正方形DED=D=(2-”2x)2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=(2-_2x)24. 【解】延長FD到G使

17、得DG=DF連接BGEG(或把CFD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到BGD,CF=BG,DF=DG./DEIDF,.EF=EG在厶BEG中,BE+BG>EG即BE+CF>EF.若/A=90°，則/EBCVFCB=90.由(1)知/FCD=/DBGEF=EQ/EBC+ZDBG=90，即/EBG=90.在RtEBG中，bE+bG=eG,.BE2+cF=EF2.5. C【解析】如圖所示，能把圖形分成面積相等的兩個部分的直線共有3條.6. 【解】如果我先放，我就把第一枚放在桌中央，在他擺完后我再在他的中心對稱的位置擺因為中心對稱是成對的，只要他能擺我就能擺，直到他輸.當(dāng)兩人

18、都知道這個規(guī)則后誰先擺不下誰贏.23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計專題一根據(jù)旋轉(zhuǎn)、中心對稱、軸對稱的性質(zhì)設(shè)計圖案1. 如圖所示是一塊破損的正八邊形窗戶玻璃的圖形，請你利用對稱或其它有關(guān)知識補(bǔ)全圖形.(用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(1)2.認(rèn)真觀察4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題:請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征.特征1:;特征2:.(2)請在圖中設(shè)計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征專題二禾I用旋轉(zhuǎn)、中心對稱的性質(zhì)證明線段之間的關(guān)系3. 【2012濟(jì)寧】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一RtABC,且A1,3,B3,1,C3,3，已知A1AC1是由ABC旋轉(zhuǎn)變換得到的.(

19、1) 請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角是度；(2) 以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出A1AC1順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形；(3)設(shè)RtABC兩直角邊BC=a、ACb、斜邊ABc,利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理.4. 【2012漳州】利用對稱性可設(shè)計出美麗的圖案，在邊長為1的方格紙中，有如圖所示的四邊形(頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)(1)先作出該四邊形關(guān)于直線I成軸對稱圖形，再作出你所作的圖形連同原四邊形繞O點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；(2)完成上述設(shè)計后，整個圖案的面積等于.知識要點(diǎn)：1. 軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的定義2. 軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的性質(zhì)溫馨提示：1. 當(dāng)