等差等比數(shù)列復(fù)習(xí)含答案

1、等差等比數(shù)列復(fù)習(xí)1等差數(shù)列的有關(guān)定義(1) 一般地，如果一個數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為(nN*,d為常數(shù))數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的等價(jià)條件是，其中A叫做a,b的2等差數(shù)列的有關(guān)公式*(1) 通項(xiàng)公式：an=,an=am+(m,nN).(2) 前n項(xiàng)和公式：Sn=.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=務(wù)2+ai學(xué)門.,數(shù)列an是等差數(shù)列的等價(jià)條件是其前n項(xiàng)和公式Sn=4 等差數(shù)列的性質(zhì)*(1)若m+n=p+q(m,n,p,qN),則有，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，等差數(shù)列中，Sm,S2mSm,S3mS2m成等差數(shù)列.等差數(shù)列的單調(diào)

2、性：若公差d>0,則數(shù)列為;若d<0,則數(shù)列為若d=0，則數(shù)列為5.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的，通常用字母表示(q工0)6等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an=.7.等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).&等比數(shù)列的常用性質(zhì)*(1) 通項(xiàng)公式的推廣：an=am(n,mN)(2) 若an為等比數(shù)列，且k+1=m+n(k,l,m,nN)，則若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則入a(將0

3、),a；,anbn,詈仍是等比數(shù)列.(4)單調(diào)性:a1>0，亠a1<0小,仁或0<q<1?an是數(shù)列;®>0,0<q<1a1<0或&>1?an是數(shù)列；q=1?an是數(shù)列；q<0?an是數(shù)列.9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(qz0)，其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na;Sn=a1q1.a1(1qn=a1(qn-1=agn1-qq1q110.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為-1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S?n-Sn,S3nS2n仍成等比數(shù)列,其公比為探究點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算例1等差數(shù)

4、列an的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10=30,a?0=50,(1)求通項(xiàng)an；(2)若Sn=242，求n.例1解題導(dǎo)引(1)等差數(shù)列an中，a1和d是兩個基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列方程組解a1和d,是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1,d,n,an,Sn這五個量中的三個量可求出其余兩個量，需選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠探M觀點(diǎn)求解.解(1)由an=a1+(n1)d,a10=30,a2o=50,a1+9d=30,得方程組|a1+19d=50,所以an=2n+10.a1=12,解得d=2.n(n1)由Sn=na1+2d,Sn=242.n(n1)得

5、12n+X2=242.解得n=11或n=22(舍去).探究點(diǎn)二等差數(shù)列的判定3例2已知數(shù)列an中，a1=5，an=21*1*(n>2,nN),數(shù)列bn滿足bn=二(nN).an-1anI(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大值和最小值，并說明理由.例2解題導(dǎo)引1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法:第一種是利用定義，即anan1=d(常數(shù))(n2)，第二種是利用等差中項(xiàng)，即2an=an+1+an1(n2).2.解選擇、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷.(1)通項(xiàng)法：若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an=An+B，則an是等差數(shù)列.前n項(xiàng)和法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和S

6、n是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an為等差數(shù)列.3.若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可.1*1(1)證明tan=2(n2,nN),bn=an1an111.當(dāng)n2時(shí)，bnbn1=an1an111an1112-丄1an13n11_=1.an11an11又b1=2.a1125二數(shù)列bn是以一為首項(xiàng)，以解由(1)知，bn=n7,則1為公差的等差數(shù)列.an=1+bn2=1+，設(shè)函數(shù)f(x)=1+,2n72x7m,7和7，+m內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值一1；當(dāng)n=4時(shí)，an取得最大值3.探究點(diǎn)三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用易知f(x)在區(qū)間例3若一個等差數(shù)

7、列的前5項(xiàng)之和為34,最后5項(xiàng)之和為146，且所有項(xiàng)的和為360,求這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù).變式遷移已知數(shù)列an是等差數(shù)列.前四項(xiàng)和為21,末四項(xiàng)和為67，且前n項(xiàng)和為286,求n；若Sn=20,S2n=38,求S3n；(3) 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44,偶數(shù)項(xiàng)和為33,求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).例3解題導(dǎo)引本題可運(yùn)用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q(m,n,p,qN*),貝Uam+an=ap+aq,從中我們可以體會運(yùn)用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷，應(yīng)注n1意運(yùn)用；也可用整體思想(把a(bǔ)i+一廠d看作整體).解方法一設(shè)此等差數(shù)列為an共n項(xiàng)，依題意有a1+a2+a3+a4+a5=34,an+

8、an-1+an2+an3+an4=146.根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得a5+an4=a4+an3=a3+an2=a2+an1=a1+an.將兩式相加，得(a1+an)+(a2+an1)+(a3+an2)+(a4+an3)+5+an-4)=5(a1+an)=180,a1+an=36.由Sn=n(a1+an)236n=360,得n=20.所以該等差數(shù)列有20項(xiàng).方法二設(shè)此等差數(shù)列共有n項(xiàng)，首項(xiàng)為a1,公差為d,5X4-則S5=5a1+d=34,SnSn5=n(n1)d2+na1(n5)a1+(n5)(n6)2d=5a1+(5n15)d=146.兩式相加可得10a1+5(n1)d=180,n1a1+2d=1

9、8,、n(n1)代入Sn=na1+2d(n-1=na1+廠d=360，得18n=360,n=20.所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng).變式遷移3解(1)依題意，知a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,a1+a2+a3+a4+an3+an2+an1+an=88.88a1+an=22.4n(a1+an)Sn=286,n26.(2)/Sn,S2nSn,S3nS2n成等差數(shù)列，&n=3(S2nSn)=54.設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n1(nN*)，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n1項(xiàng)，中間項(xiàng)為an,則(a1+a2n1)nS奇=nan44,(a2+a2n2)(n1)2n4n13S偶=(n1)a

10、n33,n=4,an11.數(shù)列的中間項(xiàng)為11,項(xiàng)數(shù)為7.探究點(diǎn)四等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例4在等差數(shù)列an中，a16+a17+a?36，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值.求Tnp1|+|a2|+|an|.變式遷移4解(1)設(shè)等差數(shù)列a*的首項(xiàng)為,公差為d,a16+a17+a18=3a17=36,a17a9a仃=一12,d=3,179-an=a9+(n9)d3n63,an+13n60,an=3n63w0令，得20wnW21,|an+13n60>0-S20S21=630,n=20或21時(shí)，Sn最小且最小值為一630.由(1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0,以后各

11、項(xiàng)均為正數(shù).Z32123當(dāng)nw21時(shí)，Tn=Sn2門+n.32當(dāng)n>21時(shí)，Tn=Sn2S21?n321232門+2n2123牙n+1260.(nw21,nN)綜上，Tn32123尹牙n+1260探究點(diǎn)五等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例5.在等比數(shù)列an中，a1+an66,由題意得(n>21,nN)a2an-1128,Sn=126,求n和q.a2ani=aian=128,1|ai+an=66,ai=64,ai=2,解得或Ian=2|an=64.ai=64，aianq642q若貝ySn=i26,|an=2,iqiq解得q=i，此時(shí),an=2=64gn,n=6.ai=2,264q若則Sn=i26

12、,q=2.|an=64,iqan=64=22°n=6.i綜上n=6,q=2或探究點(diǎn)六等比數(shù)列的判定例6設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知ai+2a?+3玄3+na“=(ni)Sn+2n(nN*).(i)求a2,a3的值；求證：數(shù)列Sn+2是等比數(shù)列.*解Tai+2a2+3a3+-+nan=(ni)Sn+2n(nN),當(dāng)n=i時(shí)，ai=2Xi=2;當(dāng)n=2時(shí)，ai+2a2=(ai+a2)+4,a2=4;當(dāng)n=3時(shí)，ai+2a2+3a3=2(ai+a2+a3)+6,-a3=8.(2)證明/ai+2a2+3a3+nan=(ni)Sn+2n(nN*), 當(dāng)n2時(shí)，ai+2a2+3a3+(ni)

13、ani=(n2)Sn1+2(ni).得nan=(ni)Si(n2)Sni+2=n(SnSni)一Sn+2Sni+2=nanSn+2Sni+2.Sn+2Sni+2=0,即卩Sn=2Sni+2, Sn+2=2(S1+2).Si+2=4M0,Sn1+2豐0,Sn+2=2,Sn1+2故Sn+2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.探究點(diǎn)七等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用11111例7在等比數(shù)列a*中，ai+a2+a3+a4+a5=8，且一+=2,求a3.aia2a3a4a5變式遷移(1)已知等比數(shù)列an中，有a3aii=4a?,數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7=a?,求b5+bg的值;在等比數(shù)列an中，若aia2a3a4=1

14、,ai3ai4ai5ai6=8,求a4ia42a43a44.解題導(dǎo)引在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則aman=apaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.解由已知得iiiii+一+一+aia2a3a4a5ai+a5a2+a4a3=+2aia5a2a4a3ai+a2+a3+a4+a582a3-aT2，q,a3=2.二a2=4,a3=±若a3=-2，設(shè)數(shù)列的公比為則二二22-2q-2q2=8,qqii2即孑+i+i+q+q此式顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證，a3=2符合題意，故變式遷移3解(i)a3aii=a7=4a7,Ta70,-a7=4,-

15、b7=4,bn為等差數(shù)列，-b5+b9=2b7=8.2346(2)aia2a3a4=aiaiqaiqaiq=aiq=1.12i3i4i5ai3ai4ai5ai6=aiqaiqaiqaiq=aiq54=8:a14q6=q48=8?q16=2,aiqMM廠40414243又a4ia42a43a44=aiqaiqaiqaiq416646160,46、，16、10=aiq=aiqq=(aiq)(q)10=12=1024.作業(yè)1. 已知an是等差數(shù)列，ai=9,S3=S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是(B)A.4B.5C.6D.72. 在等差數(shù)列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a

16、9faii的值為(C)A.14B.15C.16D.173. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，ai=3,前三項(xiàng)的和&=21,則a3+a4+a5等于(C)A.33B.72C.84D.1894. 等比數(shù)列an前n項(xiàng)的積為Tn,若a3a6ai8是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列,3,丁仃,T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是(C)A.T10B.Ti3C.Ti7D.T255. 記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,&=18,則警等于（D）S5A.-3B.5C.-31D.336等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足S20=S40,下列結(jié)論中正確的是（D）A.Sso是Sn中的最大值B.Sjo是Sn中的最小值C.S30=

17、oD.Sso=07.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3=3,Ss=24,則ag=151207&設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若ai=1,=16,則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為_1279.在等比數(shù)列an中，公比q=2,前99項(xiàng)的和S99=30，則aj+as+玄仝+十a(chǎn)?9=.10 .在等比數(shù)列an中，若公比q=4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=.4n-111 .等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知am-1+am+1aJm=0,S2m-1=38,貝Vm=10.12. 已知等差數(shù)列an滿足：a3=7,a5+a?=26,an的前n項(xiàng)和為Sn.1*（1）求an及Sn；令bn=p（nN）

18、，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.an1a1+2d=7,2a1+10d=26,10.解（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d，由于a3=7,a5+a7=26,所以解得a1=3,d=2.(4分)由于an=2n+1,Sn=n(n+2).2因?yàn)閍n=2n+1,所以an-1=4n(n+1),J丄卩n+1丿所以(&分)因此bn=1=1-4n(n+1)4n(a1+an)ana1+(n1)d,Sn2,故Tn=b1+b2+bn1i；1+11+丄1=41-2+2-3+n-n+1=貞-丄U.4.n+14(n+1)所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=n4(n+1)(12-分)13. 已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)為等差

19、數(shù)列，且a1=3,a2=5.111(1)求證：數(shù)列an-1是等比數(shù)列；求一-+一-+二的值.a2-a1a3a2an+1-an證明設(shè)log2(an-1)Iog2(an-1-1)=d(n>2)，因?yàn)閍1=3,a2=5，所以d=Iog2(a2-1)Iog2(a1-1)=Iog24log22=1,(3分)所以Iog2(an1)=n,所以an1=2n,an1所以=2(n>2)，所以an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(6分)an11(2)解由(1)可得an1=(a11)2n1,所以an=2+1,（8-分）111所以+十+a2a1a3a2an+1an11122222+21111八=2+尹+2=1尹分2分）14已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列Cn對nN均有b+b+=an+1成立，求6+C2+C3+C2010.解(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,2(1+4d)=(1+d)(1+13d).解得d=2（d=0舍）.分分）an=1+（n1）=2n1.（3分）又