動量守恒之彈簧及圓弧模型

1、彈簧與圓弧軌道問題知識點睛相互作用的兩個物體在很多情況下運動特征與碰撞問題類似，可以運用動量、能量守恒來分析， 物塊彈簧模型是一類典型的問題。我們首先結(jié)合下面的例子，說明如何分析物塊彈簧模型的運動情景?！締栴}】如圖所示，物塊B左端固定一輕彈簧，靜止在光滑的水平面上，A物體以速度v向B運動，假設(shè)A與彈簧接觸之后立即與彈簧 粘連在一起不再分開，那么此后A、B與彈簧相互作用的過程中，運動情景如何呢？【分析】A、B的運動涉及追及相遇問題，重點要把握?。簝晌矬w距離最近（彈簧最短）或最遠（彈 簧最長）時二者的速度相等。 彈簧剛開始被壓縮的過程中，B受到彈簧的彈力向右做加速運動，A受到彈力做減速 運動，開始

2、時A的速度大于B的速度，彈簧一直被壓縮；當A、B的速度相等時，彈簧縮 短到最短，此時彈簧的彈性勢能最大；此后由于A繼續(xù)減速，B繼續(xù)加速，B的速度開始 大于A的速度，彈簧壓縮量逐漸減??；當彈簧恢復至原長時，彈性勢能為零，A的速度減 至最小，B的速度增至最大； 此后彈簧開始伸長，A做加速運動，B做減速運動；當 彈簧伸長至最長時，A、B的速度再次相等，彈簧的彈性勢能最大；此后A繼續(xù)加速，B繼 續(xù)減速，彈簧逐漸縮短至原長；當彈簧再恢復至原長時，彈性勢能為零，A的速度增至最 大，B的速度減至最小。此后將重復上述過程。上面我們從受力和運動的角度，分析了彈簧的運動情景。如果兩物體是在光滑水平面上 運動，系統(tǒng)

3、的動量守恒；在這個過程中只有兩物體的動能和彈簧彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化；因此， 我們可以從動量和能量的角度來分析問題。設(shè)任意時刻A、B的速度分別為v、v，彈簧的彈性勢能為E p。A B由動量守恒可得： m v = m v + m v ；由能量守恒可得：m v2 = m v2 + m v2 + E ；2 A 02 AA 2 B B p由此可以求解整個運動過程中各種速度及彈性勢能的極值問題，具體結(jié)果 請同學們自己分析。對比碰撞模型，我們會發(fā)現(xiàn)：從初始到彈簧壓縮到最短的過程, 實際上是一個完全非彈性碰撞的過程；從初始到彈簧第一次恢復原 長過程，實際上是一個彈性碰撞的過程；兩個模型所列出的動量、 能量守恒方

4、程類似（只是非彈性碰撞過程中損失的能量表現(xiàn)為彈性 勢能），因此我們可以直接套用上一講碰撞問題中得出的結(jié)果。例題精講*1* *1*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個例題說明：例1、例2側(cè)重對運動過程的分析，可以利用碰撞模型的結(jié)論對結(jié)果進行分析；例3結(jié)合圖 象分析運動過程并進行簡單計算，此題只要求會讀取有用信息即可，不要求學生明白為什么圖象是這 樣的，因此不涉及簡諧振動內(nèi)容；例4計算速度

5、及彈性勢能等的極值；例5是簡單變式，但本質(zhì)仍是 動量能量雙守恒；例6、例7是涉及多物體多過程的問題。挑戰(zhàn)極限部分的兩道題難度較大，例8設(shè)問 比較特別，需要通過假設(shè)進行推理；例9是豎直方向的彈簧模型，運動情景比較復雜，需要分析清楚運動過程才能正確求解。*1* *1*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*1*i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*i*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個【例1】如圖所示，a

6、、b兩物體質(zhì)量相等，b上連有一輕質(zhì)彈簧，且靜 止在光滑的水平面上，當a以速度v通過彈簧與b正碰，則包*XQ【答案】【例2】【答案】A.B.C.D.當彈簧壓縮量最大時，。的動能恰好為零當彈簧壓縮量最大時，彈簧具有的彈性勢能等于物體a碰前動能的一半碰后a離開彈簧，a被彈回向左運動，b向右運動碰后a離開彈簧，a、 b都以-的速度向右運動2二在足夠大的光滑水平面上放有兩物塊A和B ,已知m >m , A物塊連接一個輕彈簧并處 于靜止狀態(tài)，B物體以初速度v向著A物塊運動，在B物塊與彈簧作用過程中（B與彈簧接 觸后不再分開），兩物塊在同一條直線上運動，下列判斷正確的是A.B.C.D.D彈簧恢復原長時

7、，B物塊的速度為零彈簧恢復原長時，B物塊的速度不為零，且方向向右在彈簧壓縮過程中，B物塊動能先減小后增大在與彈簧相互作用的整個過程中，B物塊的動能先減小后增大fl uTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTm【例3】.如圖甲所示，一輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別為m和m的兩物塊A、B相連接，并靜止在光 滑的水平面上?，F(xiàn)使A瞬時獲得水平向右的速度3m/8 /以此刻為計時起點，兩物塊的速度隨 時間變化的規(guī)律如圖乙所示，從圖象信息可得z z/zz/z/zz/zx/zz/zz/，/ §乙【答案】A.B.C.D.CD在（、q時刻兩物塊達到共同速度1m/s，且彈簧都是處于壓縮狀態(tài) 從11至卜3

8、時刻彈簧由壓縮狀態(tài)恢復到原長兩物體的質(zhì)量之比為m :m = 1:2在t時刻A與B的動能之比為E : E = 1:8k1 k2*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt* 1* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*例題說明：例3只要求會讀取有用信息即可，不要求學

9、生理解為什么圖象是這樣的。如果有的學生理 解能力較強，老師可以再補充一道物塊彈簧模型的v-1圖象的題，此題完全講白有難度，老師根據(jù)情 況選用。【補充1】如圖所示，在足夠大的光滑水平面上放有質(zhì)量相等的物塊A和B，其中A物塊連接一個輕 彈簧并處于靜止狀態(tài)，物塊B以速度v 0向著物塊A運動。當物塊與彈簧作用時，兩物塊在同一條直線上運動。則物塊A、B與彈簧相互作用的過程中， 兩物塊A和B的v-1圖象正確的是【答案】D*1* *1*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*1* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*

10、*i* *i* *i* *i*i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個【例4】 匕如圖所示，A車質(zhì)量為m，沿光滑水平面以速度V1向質(zhì)量為3m的靜止的B車運動，A車 撞上B車后面的彈簧將彈簧壓縮并與彈簧連接在一起，求在此后的運動過程中：彈簧的最大彈性勢能；B車的

11、最大速度。3- 1【答案】E = -mv2 v p 8 i 2 i*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*1*i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*【補充2】如圖所示，在光滑的水平面上，物體B原來靜止，在物體B上固定一個輕彈簧，物體A以某 一速度沿水平方向向右運動，通過彈簧與物體B發(fā)生作用，若兩物體的質(zhì)量相等，在作用過7777777777777777777777777777程中彈簧獲得的最大彈性勢能為£；現(xiàn)將B的質(zhì)量加 倍，再使物體A以同樣的速度通過p彈簧與

12、物體B發(fā)生 作用（作用前物體B仍靜止），在作用過程中彈簧獲得的最大彈性勢能為E'p那么A.C.【答案】BE :E' = 2:1p pE : E' = 4:3p pB.D.E : E' = 3:4E :E' = 1:2p p*1* *1*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*1* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *

13、i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i* *i*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個【例5】【答案】*如圖所示，A、B兩滑塊的質(zhì)量均為m，分別穿在光滑的足夠長的水平固 定導桿上，兩導桿平行，間距為d。用自然長度也為d的輕彈簧連接兩滑塊。 開始時兩滑塊均處于靜止狀態(tài)，今給滑塊B一個向右的瞬時沖量/,求以后 滑塊A的最大速度。I【例6】*如圖，A、B、C三個木塊的質(zhì)量均為m，置于光滑的 水平面上。B、 C之間有一輕質(zhì)彈簧，彈

14、簧的兩端與木塊 接觸但不相接，將彈簧壓緊到不能再壓縮時，用細線把B、 C緊連，使彈簧不能伸展，以至于B、 C可視為一個整體。,4現(xiàn)A以速度v0沿BC的連線方向【答案】朝B運動，與B相碰并粘合在一起，以后細線突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A、B分離。 已知C離開彈簧后的速度恰為,求彈簧釋放的勢能。1-V2V 23 o【例7】"如圖所示，物塊A、B、C靜止在光滑的水平面上，三者的質(zhì)量均為m = 2kg。輕彈簧的左 端與A連接，右端與B連接。彈簧處于原長，B和C緊靠在一起（不粘連）?，F(xiàn)給物塊A方 向水平向右、大小為v = 6m/s的初速度，在以后的運動過程中物塊A、B沒有相碰，求彈簧被拉伸

15、最長時的彈性勢能（設(shè)彈簧處 Juu.fZ湍UOL 于原長時的彈性勢能為零）。【答案】18J挑戰(zhàn)極限【例8】 心如圖所示，滑塊A、B的質(zhì)量分別為m與m，m < m，由輕 _質(zhì)彈簧相連接置于水平的氣墊導軌上，用上輕繩把兩滑塊拉至最.I,:近，使彈簧處于最大壓縮狀態(tài)后綁緊。兩滑塊一起以恒定的速率v 0向右滑動，突然輕繩斷開。當彈簧伸至本身的自然長度時，滑塊A的速度正好為0。求：繩斷開到第一次恢復自然長度的過程中彈簧釋放的彈性勢能E ； P 在以后的運動過程中，滑塊B是否會有速度為0的時刻?試通過定量分析證明你的結(jié)論【答案】E = mi（Tm2）Vo2 ; 不可能出現(xiàn)滑塊B的速度為0的情況 P2

16、 m2【例9】注質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡 時，彈簧的壓縮量為，如圖所示。一物塊從鋼板正上方距離為3x的A處 自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連。它們到達最 低點后又向上運動。已知物塊質(zhì)量也為m時，它們恰能回到。點。若物塊質(zhì) 量為2 m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到。點時，還具有向上的速 度。求物塊向上運動到達的最高點與0點的距離。【答案】*1* *1*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個

17、個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個教師版說明：下面再補充一道高考題，此題與前面講義上的類型不太一樣，知識的綜合性較強，但整 體難度不如挑戰(zhàn)極限部分的兩道題目，老師可以根據(jù)情況選用?！狙a充3】光滑水平面上放著質(zhì)量，m = 1kg的物塊A與質(zhì)量m = 2kg的物塊B，A與B均可視為質(zhì)點，A靠在豎直墻壁上，A、BB間夾一個被壓縮的輕彈簧（彈簧與A、B均不拴接），用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能E = 49J。在A、B間系一輕質(zhì)細繩，細繩長度大于彈簧 工門廣的自然長度，1如圖所示。放手后b向右運動，繩在短暫時間內(nèi)被拉| j 斷，之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道，

18、其半徑R=0.5m, B恰能到達最高點C。g = 10m/s2，求 繩拉斷后瞬間B的速度與的大小； 繩拉斷過程繩對B的沖量/的大小； 繩拉斷過程繩對A所做的功W?！敬鸢浮縱§ = 5m/s大小為4N- sW=8J*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個圓弧軌道問題知識點睛圓弧軌道模型也是一類典型的問題，本質(zhì)與碰撞問題類似。我們還是結(jié)合下面的情景說明分析方 法。如

19、圖所示，質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧面底面 與桌面相切，一個質(zhì)量為m的小球以速度v向滑塊滾來。若小球最終不會越 過滑塊，則在小球上升到最高點時（即小球在豎直方向上的速度為零），兩者 速度相等（方向均為水平方向）。在這個問題中，滑塊和小球水平方向動量守恒，整個過程中能量守恒（只有小球的重力勢能與二 段者動能的相互轉(zhuǎn)化），我們?nèi)匀豢梢粤谐鰟恿亢湍芰渴睾愕姆匠踢M行求解，具體的計算請大家結(jié)合具體 問題進行分析。對比碰撞模型，我們會發(fā)現(xiàn)：從初始狀態(tài)到小球上升到最 高點，類似完全非彈性碰撞的過程；從初始狀態(tài)到小球最終從 弧面上滾下與圓弧分離的過程類似彈性碰撞的過程；兩者動量、 能量守恒方

20、程類似（只是動量守恒的方程對應(yīng)的是水平方向的 動量守恒、非彈性碰撞過程中損失的能量表現(xiàn)為小球的重力勢 I、能），同樣可以利用之前的結(jié)論進行分析。圓弧軌道模型有時會有變式（與其它問題綜合），如在圓弧軌道之 有摩擦的水平軌道（整體仍放在光滑水平地面上），這個附加過程類似“非彈性碰撞”問題，而且動能 損失可以求解：亞損=f Ax相對。*1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1* *1*1* vt*個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個個乂"例題精講【例10】.如圖所示，質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧 面底部與桌面相切，一個質(zhì)量為m的小球以速度v向滑塊滾來，設(shè)小 球不能越過滑塊，則小球剛到達最高點時，小球的速度大小為多少？ 滑塊的速度大小為多少？【答案】mv0-M + mmv0M + m【例11】,命帶有（1/4）光滑圓弧軌道、質(zhì)量為M的滑車靜止置于光滑水平面 上，如圖所示。一質(zhì)量為m的小球以速度v水平?jīng)_上滑車，當小球 上行再返回，并脫離滑車時，以下說法可能正確的是A.B.C.D.小球一定沿水平方向向左做平拋運動 小