規(guī)模經(jīng)濟和壟斷競爭下的D-S模型

1、精選課件1規(guī)模經(jīng)濟和壟斷競爭下的DS模型第三組：張曉 袁璐 余佳瑩 黃蓉 田銀歡 王立斌精選課件2 一、模型的微觀基礎一、模型的微觀基礎精選課件31.已知效用函數(shù) ,預算約束 ,證明：在約束效用最大點，價格比率 / 一定等于邊際效用比率 。bayAxUByxPPyxPxPyyxMUMU /證 (1.1) (1.2)(1.1)中的 , 及（1.2）中的由（1.1） 01xbaxyxbaPyaAxUyPxPByAxU01ybayPbbAxU0yPxPBUyxXxbaMUuyaAx1yybaMUuybAx1xxxbaPMUPyaAx1精選課件4 由（1.2）， 于是，yyybaPMUPybAx1yy

2、xxPMUPMUyxyxPPMUMU精選課件52.給定一個柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) .預算約束證明成本最小時的輸入比率為證：利用拉格朗日函數(shù)法， 由 (2.1)及 (2.2)整理，LAKq BLPKPLKKLPPLK0)(1KKLKPLAKQLPKPBLAKQ01LLPLAKQ0LPKPBQLKLKPLAKPLAK11LAKLAKPPKL11（2.2）（2.1）精選課件6由于 及 ,所以， (2.3)LLL1KKK11LKPPKLKLPPLK精選課件73.對于一個線性的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) ,證明： (資本產(chǎn)出彈性)， (勞動產(chǎn)出彈性)。證 由產(chǎn)出彈性定義， 及 因為求邊際函數(shù)，LAKQQKQ

3、LKQKQQKLQLQQL。則及，令LKk -11LAkLLKALAKQ)(1AkLKALAKLQAkLKALAKLAKKQ)1 ()()1 ()1 ()(11) 1(111精選課件8 求平均函數(shù), 然后，用平均函數(shù)分別去除邊際函數(shù)，得到彈性，AkLLAkLQAkkAkKLAkKQ11)1 (11AkAkLQLQAkAkKQKQQLQK精選課件94. 方程 2.3（ 及 ） 給出了廣義柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)最小成本輸出比率。證明：任何廣義柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)有單一替代彈性，即 =1。證 替代彈性被定義為：由于價格比 微小的變化率所引起的最低成本比 的變化率。 (4.1)LKPPKLKLPPL

4、KKLPPLKKLKLKLKLPPLKPPdLKdPPPPdLKLKd)()()()()()(KLPPdLKd 因為（2.3）中的和為常數(shù)，而PK和PL為自變量，K/L可以視為PK/PL的函數(shù)注意到（4.1）的第二個比率中，=邊際函數(shù)、平均函數(shù)，首先（2.3）的邊際函數(shù)為精選課件10然后，兩邊同時除以 ，求（2.3）的平均函數(shù)，代入（4.1），KLPPKLPPLK1)()(KLKLPPLKPPdLKd精選課件115.利用（2.3）給出的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的最低成本比率（ ）檢驗答案，其中 證 因為 ，由（2.3） 資本和勞動必須以16K：15L的比率使用。KLPPLK43,5 . 04 .

5、 0LKPPLKq及0.50.4，1.51.630.540.4LK）（）（精選課件12 二、 CES 生產(chǎn)函數(shù)精選課件13CES生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)(Constant Elasticity of Substitution，縮寫為，縮寫為CES)，是指在生產(chǎn)要素投入之間，是指在生產(chǎn)要素投入之間具有不變的替代彈性這樣一類生產(chǎn)函數(shù)。其一般形式為具有不變的替代彈性這樣一類生產(chǎn)函數(shù)。其一般形式為 式中式中，Q代表代表產(chǎn)出產(chǎn)出,K為為資本投入資本投入,L為為勞動投入勞動投入。A、為參數(shù)，為參數(shù)，它們滿足它們滿足A0、01、-1的條件。的條件。1)1 (LKAQ精選課件

6、14CES生產(chǎn)函數(shù)有兩個重要特性：（1）它是一次齊次的；（2）它有不變的替代彈性。精選課件151)1 (LKAQ1.已知CES函數(shù) 回憶問題1的結(jié)論：如果函數(shù)達到最優(yōu)，則價格比等于邊際產(chǎn)品之比。（a）證明CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性為常數(shù)，（b）確定的取值范圍。證明：（證明：（a）根據(jù)提示，函數(shù)達到最優(yōu)投入的條件是價格比等于）根據(jù)提示，函數(shù)達到最優(yōu)投入的條件是價格比等于 邊際產(chǎn)量邊際產(chǎn)量之比之比 KLKLPPKQLQMPMP/11111111111111)1(1111)1(KLKAKLKAKQLLKALLKALQ 利用廣義冪函數(shù)法則求利用廣義冪函數(shù)法則求式的一階導數(shù)，式的一階導數(shù)，精選課件16KL

7、PPLKKLKLKALLKAKQLQ1111111111111/1111111KLKLPPLKPPLK為了計算方便，令為了計算方便，令111h11KLPPhLK則 根據(jù)式，函數(shù)達到函數(shù)達到最優(yōu)投入的條件是最優(yōu)投入的條件是價格比等于邊際產(chǎn)量價格比等于邊際產(chǎn)量之比之比 精選課件17由于由于和和為常數(shù)，正如問題為常數(shù)，正如問題4一樣，將一樣，將K/L視為視為PL/PK的函數(shù)。我們知的函數(shù)。我們知道函數(shù)的邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比為替代彈性，道函數(shù)的邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比為替代彈性，KLKLKLKLPPLKPPdLKdPPPPdLKLKd/)/()/(/)/(/)/(則邊際函數(shù)為則邊際函數(shù)為11111)/

8、()/(KLKLPPhPPdLKd平均函數(shù)為平均函數(shù)為111/KLKLPPhPPLK11KLPPhLK由式， 精選課件18（b）由（由（a） 得得 ，而，而 的取值范圍是的取值范圍是 -1， 若若-11; 若若=0， 則則=1； 若若0 , 則則1 (1)精選課件24 將預算約束代入（1）式 結(jié)論：產(chǎn)品種類越豐富，也就是說消費者偏好盡可能多的產(chǎn)品，效用也越大。11)(npE101nidyY (2)精選課件252.消費者效用最大化消費者效用最大化根據(jù)上式，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：分別對產(chǎn)品變量i和j求偏導：niiiEyptsyMaxY0.0noiiniiEypdyL101精選課件26 對于產(chǎn)品iiin

9、iipydy11110111對于產(chǎn)品jjiinipydy11110111jjjijijippyyppyy1兩式相除可得：(3)精選課件27對兩邊分別取對數(shù)：結(jié)論： 不僅是產(chǎn)品之間的替代彈性也是需求的價格彈性。)ln()ln()ln()ln(jijippyyjijippyylnln(4)(5)精選課件28 對（3）式兩邊同乘Pi為了求出j產(chǎn)品的需求函數(shù)，對產(chǎn)品i在0到n的區(qū)間上進行積分：jijiippyyp1jniiiniiipdpydyp010niijjdppEy01(6)精選課件29 結(jié)論：pj自身價格越高，這Yj的消費越少，P為綜合價格，綜合價格越高，對Yj的需求越大。1PpEPEpyyj

10、jjj，將（7）式代入（6）式，1101niidpP定義綜合價格指數(shù)：(7)(8)精選課件30 對（6）式改寫為：兩邊同時對j產(chǎn)品在0到n上進行積分：101111niijjdppEy10101101niinijinjdpdpEdy3.間接效用間接效用精選課件3111101101nijnijdpEdy1101nijdpEYPEVY(9)結(jié)論：間接效用隨著綜合價格的上升而下降。精選課件32因為對稱性假設pi=p,我們可以將（7）式改寫為：11110111npdpni1101niidpP結(jié)論：綜合價格指數(shù)隨著產(chǎn)品種類的增加而上升，進而引起間接效用的增大。精選課件33 生產(chǎn)者市場均衡假定有n個廠商生產(chǎn)

11、不同的產(chǎn)品，每個廠商對其所生產(chǎn)的產(chǎn)品具有壟斷性。對于廠商j有如下成本函數(shù)：其中wFcyTCjj)(10)FcyLj精選課件34該成本函數(shù)具有以下特征：a.勞動投入是影響產(chǎn)量的唯一因素，勞動報酬等于工資率w。b.廠商具有不變的固定成本F和邊際成本c。c.成本函數(shù)是次加性的，即存在規(guī)模經(jīng)濟。jjjjyFwcwyTCAC02jjjyFwyAC也就是說對于每一種產(chǎn)品只有唯一一個生產(chǎn)商。精選課件351.利潤最大化問題（PMP）考慮到消費者的需求，每一壟斷廠商將設定一個 價格。 對于壟斷廠商j其利潤函數(shù)為：jjjjTCyp(11)精選課件36因此，廠商j的利潤最大化問題可表示為：Maxs.t. jjjTC

12、yp1ppEyjjwFppcEppEpMaxjjjpj11精選課件37 對上式求 的導數(shù)（FOC）：jp01111ppcwEppEjjcwpj1（12）精選課件38結(jié)論：a.每個壟斷廠商面臨著同樣的均衡價格 b.當價格高于邊際成本時，廠商即可獲利。利潤隨著替代彈性的增大而減少，當替代彈性趨于無窮大時，廠商的均衡價格就等于邊際成本，也即為壟斷競爭的最優(yōu)均衡。 ppj精選課件39 而這正與我們之前所熟知的壟斷廠商的定價規(guī)則一致： 是替代彈性的絕對值。MCp111精選課件402. .均衡產(chǎn)出均衡產(chǎn)出 首先，我們用公式（12）來重新改寫公式（11）的利潤函數(shù)： 假設廠商自由進入（邊際廠商的凈收益為零）

13、，每個壟斷廠商都是零利潤經(jīng)營，即Fcywywcijj10jFcywywcjj1精選課件41 整理上式我們可得均衡產(chǎn)出式： 等式（13）表明對于所有的壟斷廠商均衡產(chǎn)出是一樣的。 由于效用函數(shù)和成本函數(shù)都是對稱的，在市場均衡時，每個廠商具有相同的均衡產(chǎn)量、面對同樣的均衡價格。cFyyj1（13）精選課件423.3.均衡產(chǎn)品種類均衡產(chǎn)品種類 為了得到均衡的產(chǎn)品種類，我們假設勞動力市場是確定的： 對（14）兩邊同乘w后作變形可得： 這個表達式可以直觀的看出，因為勞動投入是影響產(chǎn)出的唯一因素，所以總收益等于總成本。)(FcynL（14）)(TCnwL 精選課件43 將（13）帶入（14）我們可以得到：FccFnL) 1(FLn1（15）結(jié)論：當yi 增大，需求彈性減少時，企業(yè)數(shù)目增大。精選課