電子科技大學(xué) 第五章 機械波

1、1第第5章章 (Mechanical wave) (6)重點重點: 行波方程。行波方程。核心核心:位相。位相。25.1.1 機械波的產(chǎn)生和傳播機械波的產(chǎn)生和傳播5.1 波動的基本概念波動的基本概念 1.產(chǎn)生機械波的條件：產(chǎn)生機械波的條件： 波源波源產(chǎn)生機械振動；產(chǎn)生機械振動； 彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)傳播振動狀態(tài)。傳播振動狀態(tài)。波動波動振動狀態(tài)的傳播過程。振動狀態(tài)的傳播過程。up2434 沿著波的傳播方向沿著波的傳播方向, , 振動是依次落后的。振動是依次落后的。P點比點比o點時間落后：點時間落后：uxt P點比點比o點位相落后：點位相落后：uxt )2:(T 注注意意(這里：這里：u是波速是波速)

2、在波的傳播過程中，媒質(zhì)中的質(zhì)點并不在波的傳播過程中，媒質(zhì)中的質(zhì)點并不“隨波隨波逐流逐流”, , 它們在各自的平衡位置附近它們在各自的平衡位置附近振動；振動；傳播傳播的是波源的的是波源的振動狀態(tài)振動狀態(tài)。 pyuxo(波源波源)x52.波面和波線波面和波線波線波線(波射線波射線) 波的傳播方向。波的傳播方向。 波面波面(波陣面波陣面) 波動過程中，振動位相相同的點連波動過程中，振動位相相同的點連成的面。最前面的那個波面稱為波前。成的面。最前面的那個波面稱為波前。 平面波平面波波面為平面的波動。本章只討論這種波。波面為平面的波動。本章只討論這種波。 球面波球面波波面為球面的波動。波面為球面的波動。

3、 在各向同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。在各向同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。 橫波橫波質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向相互垂直。質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向相互垂直。 縱波縱波質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向相互平行。質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向相互平行。波面波面65.1.3 惠更斯原理惠更斯原理 作用：用幾何作圖的方法就能確定下一時刻作用：用幾何作圖的方法就能確定下一時刻的波陣面，從而確定波的傳播方向。的波陣面，從而確定波的傳播方向。 媒質(zhì)中波動傳播到的各點媒質(zhì)中波動傳播到的各點,都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源,其后任一時刻其后任一時刻,這些子波的包這些子波的包跡就是新的波陣

4、面。跡就是新的波陣面。 7惠更斯原理的不足：不能求出波的強度分布?；莞乖淼牟蛔悖翰荒芮蟪霾ǖ膹姸确植肌Ｇ蚯蛎婷娌ú?tt + t平面波平面波t+ t時刻波面時刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面85.2 平面簡諧行波的平面簡諧行波的波動方程波動方程 ! 注意注意這里：這里： x表示各質(zhì)點的平衡位置到坐標(biāo)原點的距離；表示各質(zhì)點的平衡位置到坐標(biāo)原點的距離； y表示各質(zhì)點對平衡位置的位移。表示各質(zhì)點對平衡位置的位移。yxouxP 一平面余弦行波在均勻無耗媒質(zhì)中沿一平面余弦行波在均勻無耗媒質(zhì)中沿x軸軸正方向傳播，波速正方向傳播，波速u，坐標(biāo)原點的振動方程為，坐標(biāo)原點的振動方程為 y

5、=Acos( t+ o)求：坐標(biāo)為求：坐標(biāo)為x的的P點的振動方程點的振動方程(波動方程波動方程)。9 因因: 均勻無耗媒質(zhì)、平面波均勻無耗媒質(zhì)、平面波, 所以所以P點的振幅仍點的振幅仍是是A。原點原點o的振動方程為的振動方程為 y=Acos( t+ o) P點比點比o點時間點時間落后落后: t=x/uyxouxP角頻率仍為角頻率仍為 。)(cosottAy 則則P點的振動方程點的振動方程(即即波動方程波動方程)為為10 則則P點比點比o點時間超前點時間超前: t=x/u，波動方程應(yīng)為，波動方程應(yīng)為)(cosouxtAy )(cosouxtAy P點的振動方程點的振動方程(即即波動方程波動方程)

6、為為yxouxPu若波沿若波沿x軸負(fù)方向傳播，軸負(fù)方向傳播，11波動方程波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:式中：式中：“ ”號表示波沿號表示波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播； “ ”號表示波沿號表示波沿x軸負(fù)方向傳播。軸負(fù)方向傳播。 o是是坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點的初相。的初相。 考慮到，考慮到， =2 /T， =uT , 波動方程還可寫為波動方程還可寫為)ox TtAy(2cos otAy cos()2 xtAy(cos )oux 12 1.當(dāng)當(dāng)x=xo(確定值確定值)時，位移時，位移y只是時間只是時間t的余弦函數(shù)的余弦函數(shù):)(cosoouxtAy 這是這是xo處質(zhì)點的振動方程。處質(zhì)點的振動方程。 2

7、.當(dāng)當(dāng)t=to(確定值確定值)時，位移時，位移y只是位移只是位移x的余弦函數(shù)的余弦函數(shù):)(cosoouxtAy 此式表示給定時刻此式表示給定時刻to各振動質(zhì)點的位移分布情況各振動質(zhì)點的位移分布情況,相相應(yīng)的應(yīng)的y-x的曲線就叫做的曲線就叫做波形曲線波形曲線，如下圖所示。，如下圖所示。tAy(cos )oux 討論：討論：13)(cosouxtAy tA(cos t x+u tu)+ o 上式表明，上式表明，t 時刻時刻x點的振動狀態(tài)，經(jīng)時間點的振動狀態(tài)，經(jīng)時間 t后傳播到了后傳播到了x軸正方向的軸正方向的x+u t 處。處。3.當(dāng)當(dāng)x,t 都變化時，代表一列沿都變化時，代表一列沿x軸正方向傳

8、播的波。軸正方向傳播的波。yxou 14)ox TtAy(2cos otAy cos()2 xtAy(cos )oux t時刻時刻yxouu tt+ t時刻時刻15 1.波速波速u振動狀態(tài)振動狀態(tài)(位相位相)的傳播速度，又的傳播速度，又稱相速。稱相速。波速完全由媒質(zhì)波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)的性質(zhì)(彈性和慣性彈性和慣性)來來確定確定。5.1.2 描述波動的物理量描述波動的物理量P26,169某些介質(zhì)中波的傳播速度某些介質(zhì)中波的傳播速度(m/s)鋼鋼5854(縱波縱波)， 3150(橫波橫波)海水海水1531(25 C)磚或水泥塊磚或水泥塊3650(縱波縱波)地表地表8000(縱波縱波)， 4450(

9、橫波橫波)空氣空氣331(20 C)木材木材34004700(縱波，沿纖維方向縱波，沿纖維方向)16 3.波長波長 一個周期內(nèi)波動傳播的距離。一個周期內(nèi)波動傳播的距離。 Tu 4.平面簡諧波平面簡諧波波面為平面，媒質(zhì)中各質(zhì)點波面為平面，媒質(zhì)中各質(zhì)點都作同頻率的簡諧振動形成的波動。本章主要討都作同頻率的簡諧振動形成的波動。本章主要討論這種波。論這種波。 2.波的周期波的周期T媒質(zhì)質(zhì)元完成一次全振動媒質(zhì)質(zhì)元完成一次全振動的時間。波的的時間。波的周期周期完全由完全由波源波源(周期周期)確定確定。17 解解 (1)比較法比較法:2)42(2cos50 xt.yTtAy(2cos )ox 波沿波沿x軸正

10、方向傳播；軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點的振動初相原點的振動初相 o= /2。)(SI),2121(cos50 xt.y 例題例題2-1 已知：已知： 求：求：(1)波的傳播方向，波的傳播方向，A、T、 、u，原點，原點的初相；的初相； (2)x=2m處質(zhì)點的振動方程，及處質(zhì)點的振動方程，及t=1s時質(zhì)點時質(zhì)點的速度和加速度。的速度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m兩點的相差。兩點的相差。18)m2cos(50 t.y)2sin(50 t.dtdy)2cos(502 t.dtdat=1-0.5 (m/s)t=10(3)x

11、1=1m和和x2=2m兩點的相差：兩點的相差：)(212xx 2)12(42 )2121(cos50 xt.y (2)x=2m處質(zhì)點的振動方程：處質(zhì)點的振動方程： x=219解解 (1) o比比C點位相超前點位相超前 l /u,(2)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)法標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)法:,uxtAyo)(cos o=( + l /u)(cos ulxtAytAy(cos )oux 例題例題2-2 波以波以u沿沿x軸正方向傳播，軸正方向傳播，yC=Acos( t+ ), 求求: (1)原點原點o的振動方程；的振動方程； (2)波動方程。波動方程。則則o點的振動方程為點的振動方程為: y=Acos( t+ + l /u)xyCl

12、uo20P(x)點比點比已知點已知點C時間時間落后落后：ulxt yC=Acos( t+ )ulx tAy(cos )令令x=0得坐標(biāo)原點得坐標(biāo)原點o的振動方程為的振動方程為:tAy cos( ) ul 用用t ( t t )法法:xPP(x)點比點比已知點已知點C 超前用超前用“+”； 落后用落后用“ ”。 Coxylu波動方程波動方程: y=Acos( (t t)+ )21cmuxtyo)(7cos10 當(dāng)當(dāng)t=1時時, 對對a點有：點有：)101(7ou 2 對對b點有：點有：)201(7ou 3 解得：解得：u=84cm/s, o=-17 /3= /3波動方程為波動方程為cmxty3)

13、84(7cos10 解解 tAy(cos )oux 例題例題2-4 波沿波沿x軸正向傳播，軸正向傳播，A=10cm, =7 rad/s; 當(dāng)當(dāng)t=1s時時, ya=0, a0 。設(shè)設(shè) 10cm, 求該波的求該波的波動方程。波動方程。ab10cmu10cmoxy22 例題例題2-5 波沿波沿x軸正方向傳播軸正方向傳播, t=0，t=0.5s時時的波形如圖，周期的波形如圖，周期T 1s，求，求 ：(1) 波動方程；波動方程；(2) P點點(x=2m)的振動方程。的振動方程。 A=0.2， =4mT= /u=2， = 解解 (1)tAy(cos )oux 25 . 012 uo1234x(m)y(m

14、)0.2t=0.5t=0p o=+ /2 波動方程波動方程:ty(cos2 . 0 m2 )2x (2)P點點:y=0.2cos( t - )(m)2 23 例題例題2-6 t=2s時的波形如圖，時的波形如圖，u=0.5m/s，求：求：(1)圖中圖中p點的振動方程；點的振動方程；(2)該波的該波的波動波動方程。方程。 解解 (1) A=0.5, =2t.y2cos(50 )m2 (2)該波的該波的波動方程波動方程:t.y(2cos50 m2 )50.x py(m)x(m)o1-0.5utAy(cos )oux =T= /u=4， = /2+ /2245.3 平面行波的動力學(xué)方程平面行波的動力學(xué)

15、方程p165T221T1x+dxxxy例：推導(dǎo)輕質(zhì)、柔弦的微振動方程例：推導(dǎo)輕質(zhì)、柔弦的微振動方程如圖，由牛頓定律有如圖，由牛頓定律有221122sinsintydsTT 0coscos1122 TT微振動時微振動時1coscos21 xxy 1sin dxxxy 2sin 聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得022222xyatyTa 25coso)uxt (Ay cos222o)uxt (Aty cos2222o)uxt (Auxy 22222xyuty 由此得由此得對比對比022222xyaty有：有：uTa即：波動方程空間二次導(dǎo)數(shù)即：波動方程空間二次導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度前的系數(shù)就是波的傳播速度

16、26討論討論：影響波的傳播速度的因素：影響波的傳播速度的因素對其它波動形式的方程作類似推導(dǎo)，可得各種波動對其它波動形式的方程作類似推導(dǎo)，可得各種波動的波動方程及傳播速度，由傳播速度的表達式，容的波動方程及傳播速度，由傳播速度的表達式，容易知道影響波傳播速度的因素易知道影響波傳播速度的因素繩的微振動橫波繩的微振動橫波 Ta T T：繩的張力：繩的張力桿的縱向微振動波桿的縱向微振動波 Ya Y Y：楊氏彈性模量：楊氏彈性模量桿的橫向微振動波桿的橫向微振動波 Ga G G：切變彈性摸量：切變彈性摸量聲音在空氣中傳播聲音在空氣中傳播 Ba B B：體變模量：體變模量真空中的電磁波真空中的電磁波001

17、a 真空介電常數(shù)，真空介電常數(shù)， 真空磁導(dǎo)率真空磁導(dǎo)率27介質(zhì)的幾種典型模量介質(zhì)的幾種典型模量 若在截面為若在截面為S，長為，長為l的細棒兩端加上大小相等、方向相反的軸的細棒兩端加上大小相等、方向相反的軸向拉力向拉力F，使棒伸長，使棒伸長 l，實驗證明：在彈性限度內(nèi)，正應(yīng)力，實驗證明：在彈性限度內(nèi)，正應(yīng)力F/S與線性應(yīng)變與線性應(yīng)變 l/l成正比，即成正比，即 楊氏模量楊氏模量 l l+l S S F F llYSF 比例系數(shù)比例系數(shù)Y由材料的彈性決定，稱為由材料的彈性決定，稱為楊氏模量楊氏模量 (2).切變模量切變模量 (1).楊氏模量楊氏模量 h x S S F F 切變模量切變模量在柱體上

18、下表面在柱體上下表面S上作用一大小相上作用一大小相等，方向相反的切向力等，方向相反的切向力F，使柱體，使柱體28發(fā)生切變。實驗證明：在彈性限度內(nèi)，切應(yīng)力發(fā)生切變。實驗證明：在彈性限度內(nèi)，切應(yīng)力F/S與切應(yīng)變與切應(yīng)變 x/h成正比，即成正比，即 GSF 比例系數(shù)比例系數(shù)G由材料的切變彈性決定，稱為由材料的切變彈性決定，稱為切變模量切變模量 (3).體變模量體變模量 設(shè)流體體積在壓強為設(shè)流體體積在壓強為P時等于時等于V，如果是壓強增加到，如果是壓強增加到P+ P，體，體積變化為積變化為V+ V，則在通常壓強范圍內(nèi)有，則在通常壓強范圍內(nèi)有 VVBP V P 體變模量體變模量比例系數(shù)比例系數(shù)B稱為體變

19、模量。式中負(fù)號表示當(dāng)稱為體變模量。式中負(fù)號表示當(dāng) P0時，時， V 0區(qū)域內(nèi)合成波的方程區(qū)域內(nèi)合成波的方程; (5)x=- /2處質(zhì)點處質(zhì)點p的振動方程。的振動方程。解解 (1)沿沿x軸正方向傳播的波軸正方向傳播的波:)xt(Ay 2cos1 沿沿x軸負(fù)方向傳播的波軸負(fù)方向傳播的波:)xt(Ay 2cos2 otAy cos()2 xQy2y1y43oxp63(2) 設(shè)設(shè)Q點反射的反射波的波動方程為點反射的反射波的波動方程為yr)xt(Ayor 2cos 由于反射壁處有半波損失，入射波由于反射壁處有半波損失，入射波y2和反射波和反射波yr在在Q點相差應(yīng)為點相差應(yīng)為 ，即，即)xt(Ay 2co

20、s2 )43(2)43(2tto解得解得 o=-4 。最后得最后得Q點反射波的波動方程為點反射波的波動方程為 )xt(Ayr 2cos Qy2y1y43oxp64txAyyyr cos2cos22 oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程為區(qū)域內(nèi)合成波的方程為這是駐波方程。這是駐波方程。(4) x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程：區(qū)域內(nèi)合成波的方程：)2cos(2xtAy (3)2cos(xtAyr )2cos(1xtAy ryyy1)xt(A 2cos2 這是行波方程。這是行波方程。yrQy2y1y43oxp65txAyyyr cos2cos22 就得就得x=- /2處質(zhì)點處質(zhì)點p的振動方程：的振動方程：)t(AtAy

21、cos2cos2yrQy2y1y43oxp (5)將將x=- /2代入代入oQ區(qū)域的駐波方程區(qū)域的駐波方程:66*5.6 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 目前目前,多普勒效應(yīng)已在科學(xué)研究、工程技術(shù)、多普勒效應(yīng)已在科學(xué)研究、工程技術(shù)、交通管理、醫(yī)療診斷等各方面有著十分廣泛的應(yīng)交通管理、醫(yī)療診斷等各方面有著十分廣泛的應(yīng)用。用。 用多普勒效應(yīng)分析分子、原子和離子的譜線增用多普勒效應(yīng)分析分子、原子和離子的譜線增寬。寬。 測量和診斷大氣、等離子體物理狀態(tài)。測量和診斷大氣、等離子體物理狀態(tài)。 車輛、導(dǎo)彈等運動目標(biāo)的速度監(jiān)測。車輛、導(dǎo)彈等運動目標(biāo)的速度監(jiān)測。 多普勒效應(yīng)用來跟蹤人造衛(wèi)星。多普勒效應(yīng)用來跟蹤人造衛(wèi)星。

22、“D超超”用來檢查人體內(nèi)臟、血管等情況。用來檢查人體內(nèi)臟、血管等情況。 在工礦企業(yè)中則利用多普勒效應(yīng)來測量管道中在工礦企業(yè)中則利用多普勒效應(yīng)來測量管道中有懸浮物液體的流速。有懸浮物液體的流速。p5067 波源和接收器波源和接收器(觀察者觀察者)相對于媒質(zhì)都是靜止的相對于媒質(zhì)都是靜止的,接收器接收到的波的頻率與波源的頻率相同。接收器接收到的波的頻率與波源的頻率相同。 什么是多普勒效應(yīng)呢？什么是多普勒效應(yīng)呢？ 接收器接收器(或觀察者或觀察者)所接收到的頻率等于單位時所接收到的頻率等于單位時間內(nèi)通過接收器間內(nèi)通過接收器(或觀察者或觀察者)所在處的完整波數(shù)目。所在處的完整波數(shù)目。 如果波源或接收器或兩

23、者同時相對于媒質(zhì)運動如果波源或接收器或兩者同時相對于媒質(zhì)運動時時,接收器接收到的頻率和波源的頻率不同。接收器接收到的頻率和波源的頻率不同。這一現(xiàn)這一現(xiàn)象稱為象稱為多普勒多普勒(Doppler)效應(yīng)效應(yīng)。 假定波源和接收器在同一直線上運動。規(guī)定用假定波源和接收器在同一直線上運動。規(guī)定用 s表示波源相對于媒質(zhì)的運動速度；表示波源相對于媒質(zhì)的運動速度； r表示接收器相對于媒質(zhì)的運動速度；表示接收器相對于媒質(zhì)的運動速度； u表示波在媒質(zhì)中的傳播速度。表示波在媒質(zhì)中的傳播速度。681.波源和接收器相對于媒質(zhì)都靜止波源和接收器相對于媒質(zhì)都靜止 當(dāng)波源和接收器相對于媒質(zhì)都靜止時，波源當(dāng)波源和接收器相對于媒質(zhì)

24、都靜止時，波源每作一次全振動，波就在空間傳播一個波長的距每作一次全振動，波就在空間傳播一個波長的距離，結(jié)果就有一個完整的波通過接收器，顯然接離，結(jié)果就有一個完整的波通過接收器，顯然接收器收器(或觀察者或觀察者)接收到的頻率接收到的頻率vr就等于波源的頻率就等于波源的頻率v ，即，即 vr=u / = vSu69vuuuvrrr r多多接收到的接收到的 波數(shù)波數(shù) r / 2.波源靜止，接收器相對于媒質(zhì)以波源靜止，接收器相對于媒質(zhì)以 r運動運動 當(dāng)接收器在媒質(zhì)中靜止不動時當(dāng)接收器在媒質(zhì)中靜止不動時,他在單位時間內(nèi)接他在單位時間內(nèi)接收到收到u / 個波。個波。 現(xiàn)因接收器以速度現(xiàn)因接收器以速度 r向

25、波源運動向波源運動,他在他在單位時間內(nèi)多接收到單位時間內(nèi)多接收到 r / 個波個波,所以他在單位時間內(nèi)接所以他在單位時間內(nèi)接收到的波數(shù)收到的波數(shù),即他接收到的頻率即他接收到的頻率vr應(yīng)為應(yīng)為S接收器不動接接收器不動接收到的波數(shù)收到的波數(shù)u/ u703.接收器靜止，波源相對于媒質(zhì)以接收器靜止，波源相對于媒質(zhì)以 s運動運動 ssvus 當(dāng)波源和接收器當(dāng)波源和接收器(觀察者觀察者)都靜止，則分布在都靜止，則分布在So內(nèi)的內(nèi)的波數(shù)在單位時間內(nèi)都要通過接收器。波數(shù)在單位時間內(nèi)都要通過接收器。由于波速不變，這些波數(shù)在單位時間內(nèi)都要通過接收由于波速不變，這些波數(shù)在單位時間內(nèi)都要通過接收器，但波長變短了?，F(xiàn)在

26、的波長是器，但波長變短了?，F(xiàn)在的波長是Suo 若波源以速度若波源以速度 s向著接收器運動向著接收器運動,單位時間內(nèi)從單位時間內(nèi)從S點點到達到達S 。原來分布在。原來分布在So內(nèi)的波數(shù)現(xiàn)在分布在內(nèi)的波數(shù)現(xiàn)在分布在S o內(nèi)；內(nèi)；71接收器接收到的頻率接收器接收到的頻率vr就是就是vuuuvsr 4.波源和接收器都運動波源和接收器都運動 接收器運動相當(dāng)于接收器接收器運動相當(dāng)于接收器(或觀察者或觀察者)感覺到的波速感覺到的波速變大為變大為(u+ r), 而波源運動相當(dāng)于波長變短為而波源運動相當(dāng)于波長變短為(u- s)/v。綜合這兩種分析綜合這兩種分析,可得當(dāng)波源和接收器都運動時可得當(dāng)波源和接收器都運動時,接收接收器接收到的頻率為器接收到的頻率為vuuvsrr 72vuuvsrr 應(yīng)當(dāng)指出，無論波源和接收器是相向運動還是彼應(yīng)當(dāng)指出，無論波源和接收器是相向運動還是彼此背離，上式都是成立的。此背離，上式都是成立的。 其其符號法則符號法則是是 波源和接收器波源和接收器相向相向