混沌電路的詳解

1、混沌電電路的詳詳解組長：趙昕組長：趙昕組員：楊念組員：楊念, ,李翩，龔婷，吳鵬，王智源，李翩，龔婷，吳鵬，王智源， 黎好栩，胡園園，劉心宇，張家懿黎好栩，胡園園，劉心宇，張家懿 郭磊，鄧博，李成郭磊，鄧博，李成 目錄目錄.混沌電路引言混沌電路引言 .傳統(tǒng)非線性電路和現(xiàn)代非線性電路的區(qū)別 .混沌的定義 .簡單混沌電路的介紹 .產(chǎn)生混沌電路的基本條件.混沌電路常用的微分方程混沌電路常用的微分方程.典型混沌電路及其分析典型混沌電路及其分析 .蔡氏電路 .chen氏電路 . Liu電路 現(xiàn)代電路理論的一個重要內(nèi)容就是現(xiàn)代非線性電路理論，而現(xiàn)代非線性電路的一個重要內(nèi)容就是混沌電路。 傳統(tǒng)的非線性電路主

2、要研究頻率變換電路、非線性器件、功率放大電路、振蕩電路、模擬乘法電路、混頻電路、調(diào)制與解調(diào)電路以及這些電路中的非線性特性及分析與設(shè)計方法等。它的一個主要特征是，當(dāng)信號經(jīng)過這種電路后將會產(chǎn)生新的頻率分量。 現(xiàn)代非線性電路則主要研究混沌電路，而混沌電路的主要研究內(nèi)容包括混沌電路的概念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、基本分析方法、基本設(shè)計方法、電路中的分形、混沌測量與控制、混沌保密通信、孤立子通信、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路以及混沌電路在現(xiàn)代通信系統(tǒng)和信號處理中的應(yīng)用等。 “混沌”一詞的基本含義是無序、不確定?；煦缱鳛橐婚T科學(xué)，至今在學(xué)術(shù)界尚無統(tǒng)一的定義。一般來說，混沌是自然界中由確定性的運動條件而導(dǎo)致的不確定、如同隨機運動的一類運

3、動狀態(tài)?；煦邕\動是普遍存在于人類生活、自然科學(xué)各個領(lǐng)域的一種基本的非線性現(xiàn)象。當(dāng)然，混沌也存在于電子學(xué)的各個領(lǐng)域，它在電子學(xué)中涉及的范圍也是相當(dāng)廣泛的。 過去，由于技術(shù)和觀念的局限，我們總是將不少的非線性系統(tǒng)在某個區(qū)間內(nèi)或在一定的條件下簡化為線性問題來處理。然而，我們周圍的很多事物實際上都是以非線性的規(guī)律運行著。 混沌學(xué)就是力圖探索非線性系統(tǒng)運動的真實規(guī)律，揭示它的本質(zhì)，刻畫它的基本特征，了解它的動力學(xué)行為，并對它加以控制和利用。 為了對混沌電路有一個初步的了解，下面介紹如下圖所示的最簡單的混沌電路，該電路稱為林森混沌電路。電路由電阻R、電感L、變?nèi)荻O管D和一個外加輸入信號u組成。如果元件值

4、取R=200，L=100H，變?nèi)荻O管D選1N4001型，輸入信號u是頻率f=2MHz、振幅值Um可以變化的正弦波電壓。 林森混沌電路林森混沌電路 當(dāng)改變輸入信號的振幅值而觀察電路中回路電流i的變化情況時，就會發(fā)現(xiàn)如下現(xiàn)象： 當(dāng)輸入電壓的振幅值Um小于1V時，回路電流i是一個與輸入信號同頻率、同周期的非正弦電流?；芈冯娏鱥的頻率為f=2MHz，周期為T=1/f=0.5s?；芈冯娏鱥的周期變化與輸入信號的幅值Um的關(guān)系如下圖中0Um1段所示。 當(dāng)輸入電壓的幅值Um增加至12V之間的某一個值Um1時，回路電流i是一個周期性的非正弦電流，而且它的幅度具有如下的規(guī)律： 在激勵信號的第一個周期，響應(yīng)電流

5、i的振幅較小。而在激勵信號的第二個周期，響應(yīng)電流i的的振幅較大。在激勵信號的第三周期，響應(yīng)電流i的振幅與激勵信號的第一個周期時相同。在激勵信號的第四個周期，響應(yīng)電流i的振幅與激勵信號的第二個周期時相同。可見，在這個電路中，激勵信號變化了四個周期，響應(yīng)信號變化了兩個周期。這種現(xiàn)象稱為2周期分岔。 以輸入激勵信號的幅值Um為橫軸，以等激勵周期橫截輸出所得點為縱軸，得到倍周期分岔圖如下圖所示。 當(dāng)輸入電壓的幅值Um繼續(xù)增長，例如達到Um2時，回路電流仍 為周期性的非正弦電流，但它的周期變?yōu)檩斎胄盘栔芷诘?倍，即Tm2=4T=1/(4f)。這種現(xiàn)象稱為4周期分岔?；芈冯娏鱥的周期數(shù)與輸入信號的幅值Um

6、的關(guān)系如下圖中Um2Um4段所示。 之后，回路電流仍然是周期性的非正弦電流，但它的周期會變?yōu)檩斎胄盘栔芷诘?倍、16倍。即出現(xiàn)8周期分岔和16周期分岔。 自16周期分岔后，電路的電流開始變成非周期性的非正弦電流，而且該電流在一定區(qū)域內(nèi)進行永不重復(fù)的振蕩，如右圖所示。這時我們稱電路進入了混沌狀態(tài)。 如果電路的條件不發(fā)生變化或在一定的范圍內(nèi)變化，這種狀態(tài)將會在電路中一直持續(xù)下去。輸入電壓變化時混沌持續(xù)進行的這個區(qū)域稱為混沌區(qū)。 在該電路中，混沌區(qū)實際上是指能夠使混沌持續(xù)進行的輸入電壓變化的一個范圍。在經(jīng)過一個混沌區(qū)后，隨著輸入電壓幅值的增加，電路中還會出現(xiàn)3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然后

7、再進入另一個混沌區(qū)。 上圖所示的電壓電流關(guān)系說明電路產(chǎn)生了混沌現(xiàn)象。 這種能產(chǎn)生混沌形象的電路稱為混沌電路。 一個電路能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的最基本條件是電路中有非線性元件。如果電路中一個元件的參數(shù)隨電路變量的變化而變化，則該元件稱為非線性元件。 常遇到的非線性元件有非線性電阻、非線性電容和非線性電感。如果一個電路中含有非線性元件，則該電路就叫做非線性電路；如果一個非線性電路中只含有非線性電阻，而不含有其他非線性元件，則該電路就叫做非線性電阻電路；如果一個非線性電路中含有非線性電容或非線性電感這樣的動態(tài)元件，則該電路就叫做非線性動態(tài)電路。 在混沌電路的分析與設(shè)計中常用的幾個非線性微分方程與迭代方程是

8、： (1) 李納德(Lienard)方程( )( )0 xf x xg x(2) 范德波爾(Van Der Pol)方程2(1 )0 xxxx(3)杜芬(Duffing)方程32cosxxkxaxAt混沌電路常用的微分方程混沌電路常用的微分方程(5)蔡氏電路(Chuas Cuicut，蔡少棠)方程x(yxG(x)yxyzzy 1( )()(11)2babG xG xGGxx(6)洛斯勒(Rosslor)方程()()xyzyxaxzbz xc (4)洛倫茲(Lorenz)方程()xyxyxyxzzxyz(7)陳氏(Chens，陳關(guān)榮)方程()()xa yxyca xxzcyzxybz（8）負阻尼

9、振蕩器)cos()1 (32ftbxyxayyx 1983年美國科學(xué)家蔡少棠發(fā)明了蔡氏混沌電路，促進了現(xiàn)代非線性電路理論的發(fā)展。蔡氏電路蔡氏電路 蔡氏電路的原理如左圖所示。用有源電路實現(xiàn)的一種蔡氏電路如右圖所示，其中虛線框中的電路就是雙運算放大器非線性電阻電路。虛線框外的電路與左圖中的完全相同。RLiL17mH2C1C1.5k100nF10nFNLiNLR6RRLiL17mH2C1C100nF10nFO1RO4R2R5R6R22022022k22k3.3k2.2k15V15V15V15V1.5k1v2v典型混沌電路及其分析典型混沌電路及其分析蔡氏電路狀態(tài)方程為：2212221112111)(1

10、)(vLdtdivvCGiCdtdvvCGvvCGdtdvLL其中，v1和v2分別是電容C1、C2兩端的電壓，iL是電感L中的電流， G=1/RNL是等效非線性電阻RNL的電導(dǎo)。G(v1)由下式?jīng)Q定，重寫于下：()()( )()()()bbaaaaaababaaG VGG EVEIG VG VEVEG VGG EVE 1()2babIG VG V(GG ) VEVE或RLiL17mH2C1C1 .5 k 100nF10nFNLiNLR6RRLiL17mH2C1C100nF10nFO1RO4R2R5R6R22022022k22k3.3k2.2k15V15V15V15V1.5k1v2v所以下圖電路

11、由v1、v2、iL三個狀態(tài)變量描述，構(gòu)成三維相空間。由于G(v1)是非線性電導(dǎo)，可以用多項式函數(shù)展開，含有高次項，所以在上式方程組中的第一個方程是非線性方程。蔡氏電路方框圖和它的實現(xiàn)電路蔡氏電路方框圖和它的實現(xiàn)電路 蔡氏電路電壓、電流圖形分析 典型蔡氏電路的電壓v1、v2與電流iL波形如下圖所示。這些波形呈現(xiàn)無休止的、非周期的、復(fù)雜的運動形態(tài)。其中v1與iL在兩個正、負數(shù)值之間跳來跳去，波形相同而極性相反；v2在零附近無規(guī)則地變化。典型蔡氏電路中典型蔡氏電路中v1、v2與與iL信號波形信號波形蔡氏電路的相圖是v1-v2-iL三維空間的相軌道流線圖。在相平面的投影如圖(a)、(b)、(c)所示。

12、典型蔡氏電路雙渦旋相圖典型蔡氏電路雙渦旋相圖 將 3 個相圖畫在一起并用立體圖的形式表示則如圖 (d) 所示。由相圖清楚可見，相圖軌線在三維相空間中圍繞兩個點旋繞并在這兩個點之間跳來跳去，永不閉合，運動是無周期的。這樣的相圖很像兩個靠近的旋渦，所以稱蔡氏電路的這一個運動形態(tài)叫做“雙渦旋”。圖(e)是三維相圖的形象化畫法。蔡氏電路元件參數(shù)對運動形態(tài)的影響 蔡氏電路的運動形態(tài)因元件參數(shù)值的不同而有不同的拓撲性質(zhì)。以電路元件參數(shù)值作為控制參數(shù)可以使蔡氏電路工作在不同的拓撲結(jié)構(gòu)狀態(tài)。6RRLiL17 m H2C1C100 nF1 0 n FO1RO4R2R5R6R22022022 k22 k3.3k2

13、.2 k15V15V15V15V1 .5 k 下面以下圖電路為例，討論R在1.298 k1.92 k這一范圍內(nèi)變化時電路的狀態(tài)。 先考慮R很大的情況，即R1.92k，如R為100K，電路狀態(tài)變化中v1與v2相圖為穩(wěn)定焦點，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，如圖(a)所示。這就是不動點。 R逐漸減小至1.911k時，等幅振蕩。如圖 (b)所示。 R逐漸減小至1.910k時，增幅振蕩開始，L、C2振幅增至3.7V，C1兩端電壓振幅增至3.7V，周期1。(a) 穩(wěn)定焦點，穩(wěn)定焦點，v1波形波形 (b)周期周期1，v1波形波形 (c)周期周期3，v1波形波形 (d)單渦旋，單渦旋，v1波形波形 (e)雙渦旋，雙渦

14、旋，v1波形波形蔡氏電路蔡氏電路v1與與v2信號輸出波形信號輸出波形 R為1.918 k1.820k，周期2；R為1.819 k1.818k，周期4；R+1.787k，周期8；R=1.786k，周期16；R繼續(xù)減少至1.750k為單渦旋圖形，這是電路第一次進入單渦旋混沌，為洛斯勒形混沌吸引子。如圖(d)所示。(a) 穩(wěn)定焦點，穩(wěn)定焦點，v1波形波形 (b)周期周期1，v1波形波形 (c)周期周期3，v1波形波形 (d)單渦旋，單渦旋，v1波形波形 (e)雙渦旋，雙渦旋，v1波形波形蔡氏電路蔡氏電路v1與與v2信號輸出波形信號輸出波形 R繼續(xù)減小會出現(xiàn)周期3、周期6、周期12等，并第二次進入單渦

15、旋混沌。這樣繼續(xù)周期混沌周期混沌地演變，直至洛斯勒形混沌結(jié)束。 R減少至R=1.7165k時演變成雙渦旋圖形?；痉秶荝為1.716k1.300k。仔細調(diào)試R值(在1/10000精度內(nèi))并仔細觀察還會發(fā)現(xiàn)，雙渦旋混沌相圖的演變中也有各種“周期”出現(xiàn)，例如R=1.349 k時出現(xiàn)“周期5”，R=1.324k時出現(xiàn)“周期3”等。如圖(c)和圖(e)所示。(a) 穩(wěn)定焦點，穩(wěn)定焦點，v1波形波形 (b)周期周期1，v1波形波形 (c)周期周期3，v1波形波形 (d)單渦旋，單渦旋，v1波形波形 (e)雙渦旋，雙渦旋，v1波形波形(f)穩(wěn)定焦點，穩(wěn)定焦點，v2波形波形 (g)周期周期1，v2波形波形

16、 (h) 周期周期3，v2波形波形 (i) 單渦旋，單渦旋，v2波形波形 (j) 雙渦旋，雙渦旋，v2波形波形 R=1.320k1.300k，無波形，有一個短暫的不動點。 R=1.200k1.000k時，10.0ms之前不動，之后緩慢增幅振蕩從而達到最大振幅，呈單葉周期。 各種演變的波形圖如圖所示。(a) 穩(wěn)定焦點，穩(wěn)定焦點，v1波形波形 (b)周期周期1，v1波形波形 (c)周期周期3，v1波形波形 (d)單渦旋，單渦旋，v1波形波形 (e)雙渦旋，雙渦旋，v1波形波形(f)穩(wěn)定焦點，穩(wěn)定焦點，v2波形波形 (g)周期周期1，v2波形波形 (h) 周期周期3，v2波形波形 (i) 單渦旋，單

17、渦旋，v2波形波形 (j) 雙渦旋，雙渦旋，v2波形波形蔡氏電路蔡氏電路v1與與v2信號輸出波形信號輸出波形各種演變的相圖如下圖所示：蔡氏電路相圖中看到的混沌演變蔡氏電路相圖中看到的混沌演變(v1-v2相圖相圖) Chen氏混沌電路氏混沌電路 Chen氏混沌系統(tǒng)是 Chen 等提出的一種新的吸引子。近年來 ,關(guān)于 Chen 氏系統(tǒng)本身特性的研究以及控制與同步的研究越來越多。目前 ，關(guān)于該系統(tǒng)的電路實現(xiàn)和同步控制的電路實現(xiàn)的研究報道不多。Liu混沌電路混沌電路 自從1963年 ,Lorenz 在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來,其混沌理論研究和實際應(yīng)用得到了極大的關(guān)注,但供研究的混沌系統(tǒng)并不多. 1999年Chen等采用線性反饋控制方法控制Lorenz混沌系統(tǒng)而發(fā)現(xiàn)了一種與Lorenz 混沌系統(tǒng)類似但不拓撲等價的Chen混沌系統(tǒng);2001年和2002年 ,