多元函數(shù)微分學(xué)

1、多元函數(shù)微分學(xué)一、本章提要1 .基本概念多元函數(shù)，二元函數(shù)的定義域與幾何圖形，多元函數(shù)的極限與連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)，全微分，切平面，多元函數(shù)的極值，駐點(diǎn)，條件極值，方向?qū)?shù)，梯度.2 .基本方法二元函數(shù)微分法：利用定義求偏導(dǎo)數(shù)，利用一元函數(shù)微分法求偏導(dǎo)數(shù)，利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù).隱函數(shù)微分法：拉格朗日乘數(shù)法.3 .定理混合偏導(dǎo)數(shù)與次序無(wú)關(guān)的條件，可微的充分條件，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，極值的必要條件，極值的充分條件.二、要點(diǎn)解析問(wèn)題1比較一元函數(shù)微分學(xué)與二元函數(shù)微分學(xué)基本概念的異同，說(shuō)明二元函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系.解析(1)多元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容是

2、與一元函數(shù)微分學(xué)相互對(duì)應(yīng)的.由于從一元到二元會(huì)產(chǎn)生一些新的問(wèn)題，而從二元到多元往往是形式上的類(lèi)推，因此我們以二元函數(shù)為代表進(jìn)行討論.如果我們把自變量看成一點(diǎn)P,那么對(duì)于一元函數(shù)，點(diǎn)P在區(qū)間上變化；對(duì)于二元函數(shù)f(x,y),點(diǎn)P(x,y)將在一平面區(qū)域中變化.這樣，無(wú)論對(duì)一元、二元或多元函數(shù)都可以統(tǒng)一寫(xiě)成uf(P),它稱為點(diǎn)函數(shù).利用點(diǎn)函數(shù)，我們可以把一元和多元函數(shù)的極限和連續(xù)統(tǒng)一表示成limf(P)A,limf(P)f(P。).PP0PP0(2)二元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)相比，其根本區(qū)別在于自變量點(diǎn)P的變化從一維區(qū)間發(fā)展成二維為區(qū)域.在區(qū)間上P的變化只能有左右兩個(gè)方向；對(duì)區(qū)域來(lái)說(shuō)，點(diǎn)的變化

3、則可以有無(wú)限多個(gè)方向.這就是研究二元函數(shù)所產(chǎn)生的一切新問(wèn)題的根源.例如，考察二元函數(shù)的極限lim丁x02y0x容易看出,如果先讓x0再讓y0,那么lim(lim:y0'x02x)0,同樣，先讓0再讓x0,也得到xy22y但是如果讓(x,y)沿直線ykx(k0)而趨于(0,0),則有l(wèi)im(lim一x0y0,xxylimx02ykxx它將隨k的不同而具有不同的值,因此極限kx2Fhm_yx0x(1k)xy2y論并不一定成立.考察函數(shù)zf(x,y)xy2x0,2y2y0,0,fx(0,0)lim0f(0x,0)x0,同樣fy(0,0)lim0f(0,0yyf(0,0)lym0W0.所以f(

4、x,y)在(0,0)點(diǎn)可導(dǎo).然而，我們已經(jīng)看到極限limx0y0f(x,y).xylim.x0x2V2y0xy不存在，當(dāng)然f(x,y)在(0,0)不連續(xù).lim7x02y0x不存在,從這里我們可以體會(huì)到，從一維跨入二維后情況會(huì)變得多么復(fù)雜.又如，在一元函數(shù)中，我們知道函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)處必定連續(xù)，但是對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，這一結(jié)其實(shí)仔細(xì)想一想是可多元可導(dǎo)函數(shù)與一元可導(dǎo)函數(shù)的這一重大差異可能使初學(xué)者感到詫異,以理解的.因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)fx(0,0)實(shí)質(zhì)上是一元函數(shù)f(x,0)在x0處關(guān)于x的導(dǎo)數(shù).它的存在只保證了一元函數(shù)f(x,0)在點(diǎn)x0的連續(xù).同理，偏導(dǎo)數(shù)fy(0,0)的存在保證了f(0,y)在y0點(diǎn)的連續(xù)

5、，從幾何意義來(lái)看，zf(x,y)是一張曲面，zf(x,0),y0為它與平面y0的交線，zf(0,y),x0為它與平面x0的交線.函數(shù)zf(x,y)在(0,0)處的可導(dǎo)，僅僅保證了上述兩條交線在(0,0)處連續(xù)，當(dāng)然不足以說(shuō)明二元函數(shù)zf(x,y)即曲面本身一定在(0,0)處連續(xù).(3)在一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)這兩個(gè)概念是等價(jià)的.但是對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可微性要比可導(dǎo)性強(qiáng)，我們知道，二元函數(shù)的可導(dǎo)不能保證函數(shù)的連續(xù)，但若zf(x,y)在(x0,y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表達(dá)式zfx(x0,y°)xfy(x0,y0)yo()其中當(dāng)0時(shí)，o()0,從而limz0,x0y0因此函

6、數(shù)在(x0,y°)可微，那么它在(x0,y0)必連續(xù).函數(shù)是否可微從定義本身可以檢驗(yàn)，但不太方便.然而我們有一個(gè)很簡(jiǎn)便的充分條件：若f(x,y)在(x0,y0)不僅可導(dǎo)而且偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，那么f(x,y)必在(x0,yO)可微.函數(shù)f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)是容易求得的，求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)后在它們連續(xù)的點(diǎn)處，全微分立即可以寫(xiě)出：dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy.(4)二元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微關(guān)系圖：極限存在_1連續(xù)上A偏導(dǎo)數(shù)存在V/Z«一可微wA偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)問(wèn)題2如何求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)？解析求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法，實(shí)質(zhì)上就是一元函數(shù)求導(dǎo)法.例如，對(duì)X求偏導(dǎo)，就是把其余自

7、變量都暫時(shí)看成常量，從而函數(shù)就變成是X的一元函數(shù).這時(shí)一元函數(shù)的所有求導(dǎo)公式和法則統(tǒng)統(tǒng)可以使用.對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在一些簡(jiǎn)單的情況，當(dāng)然可以把它們先復(fù)合再求偏導(dǎo)數(shù)，但是當(dāng)復(fù)合關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，先復(fù)合再求導(dǎo)往往繁雜易錯(cuò).如果復(fù)合關(guān)系中含有抽象函數(shù)，先復(fù)合的方法有時(shí)就行不通.這時(shí)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式便顯示了其優(yōu)越性.由于函數(shù)復(fù)合關(guān)系可以多種多樣，在使用求導(dǎo)公式時(shí)應(yīng)仔細(xì)分析，靈活運(yùn)用.例1設(shè)z©xysiny,求,.xy解直接求偏導(dǎo)數(shù)yexysiny,xzxy.xyxesinyecosy,y利用全微分求偏導(dǎo)數(shù)dzsinydexyexydsinyexysiny(ydxxdy)exycosyd

8、yyexysinydx(xexysinyexycosy)dy,所以一zyexysiny,xexysinyexycosy.xy例2設(shè)zf(exy,siny),求二，二.xy解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得f1(exy,siny)exyy,xf1(exy,siny)exyxf2(exy,siny)cosy,y其中fi,f2分別表示f(exy,siny)xexy,siny的偏導(dǎo)數(shù).問(wèn)題3二元函數(shù)的極值是否一定在駐點(diǎn)取得？解析不一定.二元函數(shù)的極值還可能在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得.例3說(shuō)明函數(shù)f（x,y）19y2在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在，但在原點(diǎn)取得極大值.解物。f(0x,0)f(0,0)1,(x)21此極限不存在，

9、所以在（0,0）處fx（0,0）不存在.同理1ym0f(0,0y)f(0,0)1ym0而且最大(2)(3)結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值.從實(shí)際問(wèn)題所歸納的極值問(wèn)題通常是條件極值.條件極值和無(wú)條件極值是兩個(gè)不同的概念.例如，二元函數(shù)zx2y2的極小值（無(wú)條件極值）顯然在（0,0）點(diǎn)取得，其值為零.此極限不存在，所以，在點(diǎn)（0,0）處，fy（0,0）不存在.但函數(shù)f（x,y）11x2y2f（0,0）1,即f（x,y）在點(diǎn)（0,0）取得極大值1.問(wèn)題4在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最值與極值的關(guān)系如何？無(wú)條件極值問(wèn)題與有條件極值問(wèn)題有何區(qū)別？如何用拉格朗日乘數(shù)法求極值?解析在實(shí)際問(wèn)題中，需要我們解決的往往是求給

10、定函數(shù)在特定區(qū)域中的最大值或最小值.最大、最小值是全局性概念，而極值卻是局部性概念，它們有區(qū)別也有聯(lián)系.如果連續(xù)函數(shù)的最大、最小值在區(qū)域內(nèi)部取得，那么它一定就是此函數(shù)的極大、極小值.又若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，那么它一定在駐點(diǎn)處取得.由于從實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)往往都是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),（最?。┲档拇嬖谛允秋@然的.因此，求最大、最小值的步驟通?？珊?jiǎn)化為三步:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系，確定定義域;但是（0,0）顯然不是此函數(shù)的約束條件xy10下的條件極小值點(diǎn).事實(shí)上x(chóng)0,y0根本不滿足約束條件.容易算出，這個(gè)條件極小值在點(diǎn)1111,（J,）處取得，其值為，從幾何222上來(lái)看，它們的差異是十分明顯的.無(wú)條件極小

11、值是曲面22一zxy所有豎坐標(biāo)中的取小者，如圖所示；而條件極小值是曲面對(duì)應(yīng)于平面x上各點(diǎn)的豎坐標(biāo)中最小者.我們所說(shuō)的把條件極值化成無(wú)條件極值來(lái)處理,22求駐點(diǎn)；并不是化成原來(lái)函數(shù)的無(wú)條件極值，而是代入條件后化成減少了自變量的新函數(shù)的無(wú)條件極值.例如把條件y1x代入函數(shù)zx2y2,便將原來(lái)的條件極值化成了一元函數(shù)22_2_zx(1x)2x2x1的無(wú)條件極值.用拉格朗日乘數(shù)法求出的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，到底是否為極值點(diǎn)還是要用極值存在的充分條件或其他方法判別.但是，若討論的目標(biāo)函數(shù)是從實(shí)際問(wèn)題中得來(lái)，且實(shí)際問(wèn)題確有其值，通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法求得的可能極值點(diǎn)只有一個(gè)，則此點(diǎn)就是極值點(diǎn)，無(wú)需再判斷.例4求zx

12、25在約束條件y1x下的極值.解作輔助函數(shù)F(x,y,(1xy),則有Fx2x,Fy2y解方程組2x2y1xy12,0,0,0,現(xiàn)在判斷P(一)22是否為條件極值點(diǎn):由于問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求旋轉(zhuǎn)拋物面z2y5與平面y1x的交線，即開(kāi)口向上的拋物線的極值，所以存在極小值，且在唯一駐點(diǎn)11、11P(1q)處取得極小值z(mì)問(wèn)題5方向?qū)?shù)和梯度對(duì)于研究函數(shù)有何意義?解析二元函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的方向?qū)?shù)上刻畫(huà)了函數(shù)在這點(diǎn)當(dāng)自變量沿著l射線l變化時(shí)的變化率，梯度gradz的方向則是函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處方向?qū)?shù)最大的射線方向.因此沿梯度方向也是函數(shù)值增加最快的方向，所以梯度對(duì)尋找函數(shù)的最大值很有幫助

13、.例5求函數(shù)uxy2z在點(diǎn)P(1,1,2)處函數(shù)值下降最快的方向.解負(fù)梯度方向是函數(shù)值下降最快的方向，因,u.graduix2yzi2xyzjgradu(1,-1,2)2i4j故所求方向?yàn)間rad2i4jk.三、例題精選求函數(shù),2xy2ln(1x2y2)的定義域，并作出定義域圖形.要使函數(shù)有意義，需滿足條件2x112-y20,y2x,xy20,即x2y21,2xy1,(x,y)(0,0),O_2y.y1x2y2x定義域如圖陰影部分所示.設(shè)f(u,v)eusinv,求df(xy,x解一因?yàn)閒(u,v)eusinv,所以f(xy,xy)exysin(xyexysin(xy)exycos(xy)，x

14、exysin(xy)exycos(xy)，所df(xy,xy)ysin(xy)cos(xy)exydxxsin(xy)cos(xy)exydy.解二由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得fvxyesin(xvxy)yexycos(xy)，所以df(xy,xfv_xyesin(xvyy)exyysin(xy)xexycos(xy)，y)cos(xy)dxexyxsin(xy)cos(xy)dy.f(x,y,u)xyxF(u),其中F為可微函數(shù)，且u',驗(yàn)證zzxyzxy.xy證這是帶有抽象符號(hào)的函數(shù)，其復(fù)合關(guān)系如圖所示.同理有zyxyy設(shè)f(x,y,z)F(u)dFuxduydFxF(u)yduexyz2

15、,其中dFux5yF(u)dF,duxyy尤2xyduzz(x,y)由方程xydFxduxF(u)xxyz0所確定，求fx(0,1,1).解f(x,y,z)exyz2對(duì)x求偏導(dǎo)，并注意到z是由方程所確定的x,y的函數(shù)，得fxx,y,z(x,y)exyz22exyzxF面求_z,由F(x,y,z)xxyzxyzFxFzLy，代入得1yxfxx,y,z(x,y)x2eyz八x1zy2eyz,1yxfx(0,1,1)e0(1)22e01(1)(1)5.例10求曲面x22y223z21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解析此題的關(guān)鍵是找出切點(diǎn).如果平面上的切點(diǎn)為(x0,y0,zO),則曲面過(guò)該點(diǎn)的法

16、向量可由x0,y0,z0表示.要使所求的切平面與已知平面平行，一定有切平面的法向量與已知平面的法向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.于是切點(diǎn)的坐標(biāo)可找出.解設(shè)曲面一2_2_2_F(x,y,z)x2y3z210平行于已知平面的切平面與曲面相切于（x0,y0,z0）,故該切平面的法向量nFx(Xo,yo,Zo),Fy(xo,yo,Zo),Fz(Xo,yo,Zo)過(guò)(xo,yo,Zo)的切平面方程為2xo(xXo)4yo(yyo)6zO(zzO)o,該切平面與已知平面x4y6zo平行，所以2xo4yo6zo小,146又由于(xo,yo,Zo)在曲面上，所以222xo2yo3zo21,聯(lián)立與式，解得xo11,xo21

17、,yo12,yo22,Zo12.Zo22.將這兩組值分別代入，最后得到切平面方程為及x4y6z21o,x4y6z21o.322例11求函數(shù)zx4x2xyy的極值.解第一步：由極值的必要條件，求出所有的駐點(diǎn)Z23x8x2yo,x2x2yo,y解出xo,X22,y1o,y22.第二步：由二元函數(shù)極值的充分條件判斷這兩個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，為了簡(jiǎn)明列表如下:222zzzA2BCxxyy6x822B2AC結(jié)論(0,0)802020120是極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)(2,2)402020120不是極大值點(diǎn)因此，函數(shù)的極大值為z（0,0）0.例12求曲線ylnx與直線xy10之間的最短距離.解一切線法.若曲線上一

18、點(diǎn)到已知直線的距離最短，則過(guò)該點(diǎn)平行與已知直線的直線必與曲線相切；反之曲線上在該點(diǎn)處的切線必平行與已知直線.據(jù)此，我們先求ylnx的導(dǎo)數(shù)1人,一，、，一，口y-,令y1（已知直線上的斜率為1）,得xx1,這時(shí)y0,故曲線ylnx上點(diǎn)（1,0）到直線xy10的距離最短，其值為10112(1)2解二代入條件法（利用無(wú)條件極值求解）.設(shè)（x,y）為曲線lnx上任意一點(diǎn),則點(diǎn)（x,y）到已知直線的距離為ylnx代入上式得易知xlnx10(x0),故dxlnx10,得x1,這是函數(shù)uxlnx1在(0,)10內(nèi)唯一駐點(diǎn)，由問(wèn)題本身可知，距離的最小值一定存在.于是由式得所求的最短距離為d工1ln11行.2解

19、三拉格朗日乘數(shù)法.設(shè)（x,y）為曲線ylnx上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線的距離為xy112(1)2y1,xyx1y2'顯然，在上式中y引入輔導(dǎo)函數(shù)12121F(x,y)xyxyxy-(ylnx),222解方程組Fx（x,y）xy1/x0,Fy（x,y）yx10,yInx0,，得（1,）0.因?yàn)?,故x1,代入，得y0,于是（1,0）是唯一x可能的極值點(diǎn)，由問(wèn)題本身可知，距離的最小值一定存在，故曲線ylnx上點(diǎn)（1,0）到已知直線的距離最短，其值為d=101V2.四、練習(xí)題1 .判斷正誤fxxg,ygfxx,yxxyy0fxx,V。解析fxxq,Vq表示f（x，y）在（x0,y0）對(duì)x的偏導(dǎo)

20、數(shù)；fxx,yx-表示f(x,v)對(duì)x的xxgyyg偏導(dǎo)數(shù)在（xg,yg）處的值；fxx,y。xx。表示f（x,y）先固定yy。后，函數(shù)f（x,y。）在xx。處的導(dǎo)數(shù).由偏導(dǎo)數(shù)定義及偏導(dǎo)數(shù)意義可知，三個(gè)表達(dá)式是相等的.11(2)若zf(x,y)在X0,y0處偏導(dǎo)數(shù)存在，則zf(x,y)在X0,y0處一定可微;解析由可微的充分條件知，只有zf(x,y)在點(diǎn)X0,y0處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時(shí),函數(shù)zf(x,y)在該點(diǎn)一定可微.例如f(x,y)2xy/-22,(x,y)xy0,(x,y)(0,0)在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.(0,0)若x0,y0為zf(x,y)的極值點(diǎn)，則x0,y0一定為

21、駐點(diǎn)；()解析偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).例如zZy2在(0,0)處取得極小值，但zxzyx在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，不是駐點(diǎn).(4)fx0就是函數(shù)f(x,y)在(0,0)處沿x軸方向的方向?qū)?shù).(，)xy0解析沿x軸方向的方向?qū)?shù)cos0cos.lxy2x2 .選擇題設(shè)f(x,y)2xy2,則下列式中正確的是(C)；xy(A)fx,yf(x,y)；(B)f(xy,xy)f(x,y);x(C)f(y,x)f(x,y)；(D)f(x,y)f(x,y).解析f(x,y)2xy2是關(guān)于x,y的對(duì)稱函數(shù)，故f(y,x)f(x,y).xy2一x一.z(2)設(shè)zecosy,貝U(D)；xyxxxxx

22、-(A)esiny；(B)eesiny；(C)ecosy；(D)esiny.122解析一excosy,exsiny.xxy2已知f(xy,xy)xy2,則（c）；(A)2x2y;(B)xy；(C)2x2y(D)xy.解析設(shè)xyu,xyv,2則f(xy,xy)x2,、/、上ar一、y=(xy)(xy)變換為f(u,v)uv.ffufvvu,xuxvxf_vvy所以-=(vu)(vu)xy2v2x2y.一33一函數(shù)zxy3xy的駐點(diǎn)為（B）；(A) (0,0)和(1,0)；(B) (0,0)和(1,1)；(C)(0,0)和(2,2)；(D)(0,1)和(1,1).3x23y0,解析求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)x一

23、3y23x0,y所以駐點(diǎn)為（0,0）和（1,1）.x0,與x1,y0/y1,一一22函數(shù)zxy1的極值點(diǎn)為（D）.(A)(0,0)；(B)(0,1)；(C)(1,0)；(D)不存在.解析求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)zxzy2x0,得駐點(diǎn)為(0,0),2y0,22又因?yàn)锳z2,Bz0,Cxxy2,則B2AC40,所以，駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)不存在.3.填空題vyx21的定義域?yàn)橐弧?，、(x,y)yx1；13要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿足1>0,即y>x21已知f(x,xy)x2xy2xyu,則f(x,xy)x2xyx(xy)xu，關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)(f)xx=2x2設(shè)zln(xy2),則dzdx設(shè)x2zInu

24、所以dzu從而曲面zFydudzdzuduydy=dxarctan(-)在點(diǎn)M(1,1,-)處的切平面方程為4花2z0；2F(x,y,z)Fxx1(-)2x曲面的切平面方程為(5)設(shè)zezxy解一令F(x,y,z)arctan(y),xezy2xd)2xFx兀(1反Fy(1,11(x1)2(y1)2z0.x1ezFz1Fyx,14所以Fyx1ez解二設(shè)zz(x,y),兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，有+ez=xyy即=xzy1e4.解答題(1)設(shè)可微函數(shù)f(x,u),u(x,t),t一4dzsinx,求；dx解偏導(dǎo)數(shù)為dzdxf+一dtdx(2)設(shè)zx2從而一cost.tf(x2y2所以，原結(jié)論成立.、幾22設(shè)xz從而Fz2.y),且f(u)可微,z_dzxdu證明zy-xx0.yf(u),f(u)2x，x=yf(u)yzdzduu