對稱問題=直線中的幾類對稱問題=高考數(shù)學(xué)專題講座講義

1、學(xué)法點拔(9)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(9)直線中的幾類對稱問題對稱問題，是解析幾何中比較典型，高考中常考的熱點問題.對于直線中的對稱問題，我們可以分為：點關(guān)于點的對稱；點關(guān)于直線的對稱；直線關(guān)于點的對稱，直線關(guān)于直線的對稱.本文通過幾道典型例題，來介紹這幾類對稱問題的求解策略一、點關(guān)于點的對稱問題點關(guān)于點的對稱問題，是對稱問題中最基礎(chǔ)最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點關(guān)于點的對稱進(jìn)行求解.熟練掌握和靈活運用中點坐標(biāo)公式是處理這類問題的關(guān)鍵例1求點A(2,4)關(guān)于點B(3,5)對稱的點C的坐標(biāo).分析易知B是線段AC的中點，由此我們可以由中點坐標(biāo)公式，構(gòu)造方程求解.由題意知，B是線段AC的中

2、點，設(shè)點C(x,y),由中點坐標(biāo)公式有x=4工口，故C(4,6).、y=6點評解決點關(guān)于點的對稱問題，我們借助中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.另外此題有可以利用中點的性質(zhì)AB=BC,以及A,B,C三點共線的性質(zhì)去列方程來求解.二、點關(guān)于直線的對稱問題點關(guān)于直線的對稱問題是點關(guān)于點的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面：兩點連線與已知直線斜率乘積等于-1,兩點的中點在已知直線上.例2求點A(1,3)關(guān)于直線l:x+2y-3=0的對稱點A'的坐標(biāo).分析因為A,A'關(guān)于直線對稱，所以直線l是線段AA'的垂直平分線.這就找到了解題的突破口.解據(jù)分析，直線l與直線AA'垂直

3、，并且平分線段AA',設(shè)A'的坐標(biāo)為(x,y),則AA'的中點B的坐標(biāo)為73_7C,C,AA22x-11+x°3+y+2父一3=0由題意可知,2,2y_31;A11x72解得.故所求點A'的坐標(biāo)為-3?-1?<5,5,'學(xué)習(xí)好資料歡迎下載三、直線關(guān)于某點對稱的問題直線關(guān)于點的對稱問題，可轉(zhuǎn)化為直線上的點關(guān)于某點對稱的問題，這里需要注意到的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.例3求直線2x+11y+16=0關(guān)于點P(0,1)對稱的直線方程.分析本題可以利用兩直線平行，以及點P到兩直線的距離相等求解，也可以先在已知直線上取一點

4、，再求該點關(guān)于點P的對稱點，代入對稱直線方程待定相關(guān)常數(shù).解法一由中心對稱性質(zhì)知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設(shè)對稱直線方程為2x+11y+c=0.由點到直線距離公式，得|1116|_|11c|22112.22112即|11+c|=27,得c=16(即為已知直線，舍去)或c=-38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.解法二在直線2x+11y+16=0上取兩點A(-8,0),則點A(-8,0)關(guān)于P(0,1)的對稱點的B(8,2).由中心對稱性質(zhì)知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設(shè)對稱直線方程為2x+11y+c=0.將B(8,2)代入，解得c=-38.故所求對稱直線方程為2x+1

5、1y-38=0.點評解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行，再由點(對稱中心)到此兩直線距離相等，而求出c,使問題解決，而解法二是轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱問題，利用中點坐標(biāo)公式，求出對稱點坐標(biāo)，再利用直線系方程，寫出直線方程.本題兩種解法都體現(xiàn)了直線系方程的優(yōu)越性.四、直線關(guān)于直線的對稱問題直線關(guān)于直線對稱問題，包含有兩種情形：兩直線平行，兩直線相交.對于，我們可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題去求解；對于，其一般解法為先求交點，再用“到角”，或是轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題.例4求直線11：x-y-1=0關(guān)于直線12：x-y+1=0對稱的直線l的方程.分析由題意，所給的兩直線11,12為平行直線，求解這

6、類對稱總是，我們可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題，再利用平行直線系去求解，或者利用距離相等尋求解答解根據(jù)分析，可設(shè)直線1的方程為x-y+c=0,在直線11：x-y-1=0上取點M(1,0),則易求得M關(guān)于直線12：x-y+1=0的對稱點N(-1,2),將N的坐標(biāo)代入方程x-y+c=0,解得c=3,故所求直線1的方程為x-y+3=0.點評將對稱問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是我們求解這類問題的一種必不可少的思路.另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線1的形式，然后再在直線12上的任取一點，在根據(jù)該點到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關(guān)常數(shù)例5試求直線I：x-y-2=0關(guān)于直線12：3x-y+3=0對稱的直線

7、1的方程.分析兩直線相交，可先求其交點，再利用到角公式求直線斜率x-y-2=0由解得11,、3xy+3=05-9712的交點A一一?-I,12'2)設(shè)所求直線1的斜率為k,學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3-1k-3由到角公式得，=-,所以k=-7.13113k由點斜式，得直線l的方程為7x+y+22=0.點評本題亦可以先求11,12的交點A,再在直線11上取異于點A的任意點B,再求點B關(guān)于點A的對稱點B',最后由A,B'兩點寫出直線1的方程.總結(jié)：(1)一般的，求與直線ax+by+c=0關(guān)于x=ao對稱的直線方程，先寫成a(x-ao)+by+c+aao=0的形式，再寫成a(ao-x)+by+c+aao=0形式，化簡后即是所求值.(2) 一般的，求與直線ax+by+c=0關(guān)于y=b0對稱的直線方程，先寫成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再寫ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化簡后即是的求值.(3) 一般的，求與直線ax+by+c=0關(guān)于原點對稱的直線方程，只需把x換成-x,把y換成-y,化簡后即為所求.(4) 一般地直(曲)線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x+c的對稱直(曲)線為