微積分應用論文

1、上海大學20132014學年秋季學期課程論文課程名稱： 信息化時代的數(shù)學探索與發(fā)現(xiàn) 課程編號：0100L602論文題目: 論微積分在我們生活中的應用作者姓名: 方舟學號: 13121376成績: 論文評語:評閱人: 評閱日期: 注:后附課程論文的正文淺談微積分在生活中的應用作者姓名:方舟 學 號: 13121376摘要:主要關(guān)于微積分在幾何，經(jīng)濟，物理以及我們生活方面的運用。關(guān)鍵詞:微積分，幾何，經(jīng)濟學，物理學，極限，求導，微分方程（3-5個數(shù)學名詞）(5號宋體)正文（小4號宋體， 段首空兩格）前言作為一個剛剛上大學的新生，高等數(shù)學是大學學習中十分重要的一部分，但在學習的過程中，我不禁慢慢產(chǎn)生

2、了一個問題，老師都說微積分就是高等數(shù)學的精髓，那么微積分的意義又是什么呢？它對人類的生活造成的影響又是什么呢？存在必合理，微積分的應用一定很廣，帶著這個思想，我查找了一點資料，我想從幾何，經(jīng)濟，物理三個角度來闡述關(guān)于微積分在我們生活中的應用，下面可能有些我在網(wǎng)上查找的題目，基本上都是直接摘錄的，在此特向老師說明。我了解到微積分是從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之

3、一。從17世紀開始，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。通過研究微積分能夠在幾何，物理，經(jīng)濟等方面的具體應用，得到微積分在現(xiàn)實生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學工具科學地解決問題。希望通過本文的介紹能使人們意識到微積分與其他各學科的密切關(guān)系，讓大家能意識到理論與實際結(jié)合的重要性。1微積分在幾何中的應用微積分在我看來在幾何中主要是為了研究函數(shù)的圖像，面積，體積，近似值等問題，對工程制圖以及設(shè)計有不可替代的作用。很高興我在網(wǎng)上找到了一些內(nèi)容與現(xiàn)在我們學的定積分恰巧聯(lián)系

4、上了。頓覺微積分應用真的很廣！1.1求平面圖形的面積(1)求平面圖形的面積由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。 例如：求曲線和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。 分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。 所以該曲邊梯形的面積為 (2)求旋轉(zhuǎn)體的體積 (I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(ab) 及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。()由連續(xù)曲線

5、y=g(y)與直線y=c、y=d(cd)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。(III)由連續(xù)曲線y=f(x)()與直線x=a、x=b( b)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。例如：求橢圓所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓，與y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(3)求平面曲線的弧長 (I)、設(shè)

6、曲線弧由參數(shù)方程給出其中在上連續(xù)，則該曲線弧的長度為。()設(shè)曲線弧的極坐標方程為，其中在上連續(xù)，則該曲線弧的長度為。例如：求曲線從x=l到x=e之間一段曲線的弧長。解：，于是弧長微元為，。所以，所求弧長為：。一、在幾何中的應用 (一)微分學在幾何中的應用 (1)求曲線切線的斜率 由導數(shù)的幾何意義可知，曲線y=( x)在點處的切線等于過該點切線的斜率。即，由此可以求出曲線的切線方程和法線方程。 例如：求曲線在點(1，1)處的切線方程和法線方程。 分析：由導數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率為：，所以，所求切線的方程為y-l=2(x一1)，化解得切線方程為2x-y-1=0。又因為法線的斜率為切線斜率的

7、負倒數(shù)，所以，所求法線方程為，化解得法線方程為2y+x-3=0。(2)求函數(shù)值增量的近似值 由微分的定義可知，函數(shù)的微分是函數(shù)值增量的近似值，所以通過求函數(shù)的微分可求出函數(shù)值增量的近似值。 例如：計算的近似值。 分析：令f(x)=sin(x)，則f(x)=cosx，取，則由微機分的定義可知2.微積分在經(jīng)濟學的應用在我所查找到的關(guān)于微積分在經(jīng)濟學領(lǐng)域的應用中，我發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學在經(jīng)濟學中運用十分基礎(chǔ)和廣泛，是學好經(jīng)濟學 剖析現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象的基本工具。經(jīng)濟學與數(shù)學是密不可分息息相關(guān)的。高等數(shù)學方法在經(jīng)濟學中的運用增強了經(jīng)濟學的嚴密性和說理性，將經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，用數(shù)學方法對經(jīng)濟學問題進行分析，將數(shù)

8、學中的極限，導數(shù)、微分方程知識在經(jīng)濟中的運用。尤其我看到在經(jīng)濟管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)（即原函數(shù)），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。這個對一個企業(yè)的發(fā)展至關(guān)重要！1關(guān)于最值問題例設(shè)：生產(chǎn)x個產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C（0）=1000元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求最大利潤 解:總成本函數(shù)為C(x)=x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000 總收益函數(shù)為R(x)=500x總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，

9、L=400-2x，令L=0，得x=200，因為L(200)0。所以，生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400200-2002-1000=390009（元）在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤,只有合理安排生產(chǎn)量,才能取得總大的利潤。2關(guān)于增長率問題例：設(shè)變量y是時間t的函數(shù)y = f (t)，則比值為函數(shù)f (t)在時間區(qū)間上的相對改變量；如果f (t)可微，則定義極限為函數(shù)f (t)在時間點t的瞬時增長率。對指數(shù)函數(shù)而言，由于，因此，該函數(shù)在任何時間點t上都以常數(shù)比率r增長。這樣，關(guān)系式 （*）就不僅可作為復利公式，在經(jīng)濟學中還有

10、廣泛的應用。如企業(yè)的資金、投資、國民收入、人口、勞動力等這些變量都是時間t的函數(shù)，若這些變量在一個較長的時間內(nèi)以常數(shù)比率增長，都可以用（*）式來描述。因此，指數(shù)函數(shù)中的“r”在經(jīng)濟學中就一般的解釋為在任意時刻點t的增長率。如果當函數(shù)中的r取負值時，也認為是瞬時增長率，這是負增長，這時也稱r為衰減率。貼現(xiàn)問題就是負增長。3.彈性函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導，函數(shù)的相對改變量yy=f(x+x)-f(x)y與自變量的相對改變量xx之比，當x0時的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數(shù)。記為EyExEyEx=limx0 yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x) 在點

11、x=x0處，彈性函數(shù)值Ef(x0)Ex=f(x0)xf(x0)稱為f（x）在點x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處，當x產(chǎn)生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x0)%。經(jīng)濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。對于需求函數(shù)Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數(shù)Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調(diào)減少函數(shù)，P與Q異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數(shù)為(p)=-f(p)pf(p)例 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。解：(1)(p)=-f(p)pf(p)=-(

12、-15)e-p5.pe-p5=p5；(2)(3)=35=0.6;(5)=55=1;(6)=65=1.2(3)=0.61，說明當P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。除了上述三個例子之外，還有“規(guī)模報酬、貨幣乘數(shù)、馬歇爾-勒那條件等無數(shù)的經(jīng)濟概念和原理是在充分運用導數(shù)、積分、全微分等各種微積分知識構(gòu)建的。他們極大的豐富了經(jīng)濟學內(nèi)涵，為政府的宏觀調(diào)控提供了重要幫助3.微積分在物理的應用物理是我高中最喜歡的課程，在高中進行物理競賽是學到了不少關(guān)于微積分的思想，比如在考慮物體的運

13、動時，因為其速度在不斷改變，很難求其在一點的速度，微積分中的微元的思想此刻閃現(xiàn)出它的光芒，把非勻速運動看成由一段一段勻速運動構(gòu)成，再進行計算，省了很多的時間。物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的，例如質(zhì)點運動學是從勻速、勻變速直線運動開始，帶電體產(chǎn)生的電場是以點電荷為基礎(chǔ)。實際中的復雜問題，則可以化整為零，把它分割成在小時間、小空間范圍內(nèi)的局部問題，只要局部范圍被分割到無限小，小到這些局部問題可近似處理為簡單的可研究的問題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來，就是問題的結(jié)果。微積分在物理學中的應用相當普遍，有許多重要的物理概念 ，物理定律就是直接以微積分的形式給出的，如速度，加速度，

14、轉(zhuǎn)動慣量，安培定律，電磁感應定律例：用微積分的方法解決變力做功的問題變力作功的問題是熱學和力學中的常見問題。例如，質(zhì)點在恒力的作用下，沿直線產(chǎn)生位移過程中的功。但對一般情況，質(zhì)點沿曲線從運動到 ，且質(zhì)點運動過程中，作用于質(zhì)點上力的大小和方向都可能不斷改變，要計算力對質(zhì)點所做的功，可將運動曲線分成許多微小的線段，計算出在每一小段上所做的元功，再對整個軌道上所有元功求和。由于 極小，所以每一小曲段都可看成直線段，而質(zhì)點所受的力可視為恒力。這樣質(zhì)點所做的功為變力所做的功就是全部元功的和，寫成積分的形式就是：因此通過微積分的方法可以把物理問題中變化的量轉(zhuǎn)化為不變的量，先求微元再求和的方法，從而求出變力在整個物理過程中做的總功，使看似復雜的問題簡單化。小結(jié)數(shù)學學習是一種培養(yǎng)學生綜合素質(zhì)的有效手段,在教學實踐中給學生樹立建模的思想對學生的綜合素質(zhì)發(fā)展有很大的幫助,也有助于提高我們的學習積極性，因此，我們當代大學生學