導(dǎo)數(shù)知識點歸納和練習(xí)

1、一、相關(guān)概念1 .導(dǎo)數(shù)的概念：，/、yf(X0x)f(X0)f(xo)=lim=lim。x0xx0x注意：(1)函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，是指x0時，有極限。如果不存在極限，xx就說函數(shù)在點x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。(2)x是自變量x在x0處的改變量，x0時，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零。2 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點p(x0,f(x0)處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f(x)在點p(x0,f(x0)處的切線的斜率是f'(x0)。相應(yīng)地，切線方程為y-y0=f/(x0)(xx0)。3 .導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體運動的規(guī)律是s=s(

2、t),那么該物體在時刻t的瞬間速度v=s(t)。若物體運動的速度隨時間的變化的規(guī)律是v=v(t),則該物體在時刻t的加速度a=v'(t)。二、導(dǎo)數(shù)的運算1 .基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C0;(C為常數(shù))令nn1xnx;(sinx)cosx；(cosx)sinx;(ex)ex;(ax)axlna;1lnx;x1,lOgax-lOgae.x2 .導(dǎo)數(shù)的運算法則法則1:兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(uv)uv.法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個一一一一一.'''函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv

3、)uvuv.法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：uu'v2uv'(v0)。vv3 .復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如y=f(x)的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一一>求導(dǎo)一一>回代。法則：y/lx=y/lu"ix或者f(x)f()*(x).三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 .函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，如果f'(x)0,則f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果f(x)0,則f(x)在此區(qū)間上為減函數(shù)。(2)如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0,則f(x)為常數(shù)。2 .極點與極值：曲線

4、在極值點處切線的斜率為0,極值點處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；3 .最值：在區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)函數(shù)f(x)不一定有最大值，例如f(x)x3,x(1,1)。(1)函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值

5、則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。四、定積分1概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a=x0<x1<<xi1<xi<xn=b把區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1,xi上取任一點Ei(i=1,2,n)作和式Innf=i=1(Ei)Ax(其中x為小區(qū)間長度)，把n一即x-0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作:f(X)dX,即abf(x)dxJmjf1(Ei)Axo這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，

6、x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。1m110dxxmdx7x-y基本的積分公式：=C;=m1+C(mCQ,mw1)；xdx=Inxexdxex+C；=e+C；axdxIcosxdxsinxdx1na+C；=sinx+C；=cosx+C(表中C均為常數(shù))。2.定積分的性質(zhì)bb芯kf(x)dxkf(x)dx、，心a''a-(k為常數(shù))；bbbf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx aaa；bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx) a'"a'"c'"(其中avcvb)。3 .定積分求曲邊梯形面積由三條直線x=a,x

7、=b(a<b),x軸及一條曲線y=f(x)(f(x)>0)圍成的曲邊梯的面積bSaf(x)dx如果圖形由曲線y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨設(shè)f1(x)>f2(x)>0),及直線x=a,x=bf(x)dxfz(x)dxo(a<b)圍成，那么所求圖形的面積S=S曲邊梯形AMNB-S曲邊梯形DMNC=4 .牛頓一一布萊尼茨公式如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)、，一'一"并且F(x)=f(x),則bf(x)dxF(b)F(a)【練習(xí)題】題型1:導(dǎo)數(shù)的基本運算(2)(3)(5)解析：（1）(2)(3)x(x21)(1、F）的導(dǎo)數(shù);x1八一下1

8、）的導(dǎo)數(shù);.x.xxsin-cos-的導(dǎo)致;22y=sinx3x2y=的導(dǎo)數(shù);x*x5、"9的導(dǎo)數(shù)。3x21x32_12.x先使用三角公式進行化簡2-3.x1122x2x2xxsin-cos-22一x-sinx21sinx21x一(sinx)21一cosx.2(5)2y,=(x)'sinx2x*(sinx)'2xsin.2sinx2xxcosx2sinx31y=3x2x+59x23*(x2)/X,+5/-91(x2)/=31x2-1+0-9*題型2:【例2】。1。x導(dǎo)數(shù)的幾何意義已經(jīng)曲線C:y=x3x+2和點A（1,2）。（1）求在點A處的切線方程？（2）求過點A的切

9、線方程？（3）若曲線上一點Q處的切線恰好平行于直線y=11x1,則Q點坐標為，切線方程為思考：導(dǎo)數(shù)不存在時，切線方程為什么?【例3】(06安徽卷)若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy30B.x4y50C.4xy30D.x4y30【例4】(06全國II)過點(一1,0)作拋物線yx2x1的切線，則其中一條切線為()(A)2xy20(B)3xy30(C)xy10(D)xy10解析：(1)與直線x4y80垂直的直線l為4xym0,即yx4在某一點的導(dǎo)數(shù)為4,而y4x3,所以yx4在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點的切線為4xy30,故選A；2(2) y2x1,設(shè)切點坐標為

10、(x°,y°),則切線的斜率為2x01,且y0x0x01,2于是切線萬程為yx0x01(2x01)(xx0),因為點(1,0)在切線上，可解得x0=0或4,代入可驗正D正確，選D。題型3:借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值【例5】(06江西卷)對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x1)f(x)0,則必有()A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)【例6】(06天津卷)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極

11、小值點()A.1個B.2個C.3個D.4個【例7】(06全國卷I)已知函數(shù)fx上eax。(I)設(shè)a0,討論yfx的單1x調(diào)性；(n)若對任意x0,1恒有fx1,求a的取值范圍。解析:x1時，f有f(0)(1)依題意，當x1時，f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,+)上是增函數(shù)；當(x)0,f(x)在(，1)上是減函數(shù)，故f(x)當x=1時取得最小值，即f(1),f(2)f(1),故選C;(2)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導(dǎo)數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A。(3):(

12、I)f(x)的定義域為(一8,1)U(1,_2.,+8).對f(x)求導(dǎo)數(shù)得f'(x)=a：_x2aeax。(i)當a=2時，f'(x)="2xe2x,f，僅)在(-m,0),(0,1)和(1,+oo)均大于0,所以f(x)在(1x)(00,1),(1,+°°).為增函數(shù);(ii)當0<a<2時，f'(x)>0,f(x)在(8,1),(1,+oo)為增函數(shù)(iii)當a>2時，0<a<1,令f'(x)=0,解得x1=ax(一°°,N/a2fa-27aA/a)N%)(1,+

13、76;°)f'(x)十一十十f(x)當x變化時，f'(x)和f(x)的變化情況如下表：a2f(x)在(-8,-A/),(a"/)，(1,+8)為增函數(shù)，f(x)在(一a-2,a-2函數(shù)。(n)(i)當0<aW2時,由(I)知：對任意xC(0,1)恒有f(x)>f(0)=1;1a2一(ii)當a>2時，取x0=2y-a-C(0,1)，則由(I)知f(x0)<f(0)=1;(iii)當a<0時,對任意xC(0,1)，恒有產(chǎn)工>1且eaxR1,1x得：f(x)=71eax>71>1.綜上當且僅當aC(8,2時，對任意xC(0,1)恒有f(x)>1。1x1x32【例8】(06浙江卷)f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)4【例9】(06山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x33(a1)x21,其中a1.(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)討論f(x)的極值。解析：(1)f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0可得x=0或2(2舍去)，當-1x0時，f(x)0,當0x1時，f(x)0,所以當x=0時，f(x)取得最大值為2。選C;(2)由已知得f(x)6xx(a1),令f(x)0,解得x10Ea1。(i)當a1時，f