微積分期末復(fù)習(xí)重點(diǎn)綱要

1、09-10年微積分(高數(shù)(三)(下)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)第六章定積分一.本章重點(diǎn)定積分的基本性質(zhì)，定積分的計(jì)算，變上限定積分的求導(dǎo)法。二.復(fù)習(xí)要求1 .理解定積分的概念，知道定積分與不定積分的區(qū)別。函數(shù)f(x)的不定積分是求導(dǎo)和求微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。函數(shù)f(x)在a,b上的定積分是一個(gè)和式的極限，是一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b有關(guān)。2 .理解并記住定積分的基本性質(zhì)。3 .理解變上限定積分的概念，熟練掌握求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)的方法：4 .熟練掌握用牛頓萊布尼茲公式求定積分的方法。牛一萊公式將定積分與不定積分這兩個(gè)截然不同的概念聯(lián)系起來(lái)，求定積分的值，只需求出被積函數(shù)f(x)的一

2、個(gè)原函數(shù)F(x),再應(yīng)用牛一萊公式即可。因而計(jì)算定積分也與求不定積分類似，有直接積分法，換元積分法，分部積分法。5 .熟練掌握定積分的換元積分法，分部積分法。注意：用換元法求定積分時(shí)，換元必?fù)Q限，無(wú)需還元；若是湊微分而不顯示“換元”，則積分限不作變換。定積分適用分部積分的類型及u、dv的選擇都與不定積分類似，唯一的區(qū)別是定積分的分部積分公式中每一項(xiàng)都帶著積分上、下限，而且為了減少出錯(cuò)，要及時(shí)計(jì)算出uva的值。b6 .熟記奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分的性質(zhì)。7.熟練掌握用定積分求平面圖形的面積及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。三.例題選解例1.求極限limx0x4arcsin2tdt06x

3、解：這是0型不定式，應(yīng)用羅彼塔法則及變0上限定積分求導(dǎo)法，有原式=ym(arcsin2x4)4x36x52,3.2x4x=lim5x06x5(無(wú)窮小代換)=43例2.求定積分：1x3,4x2dx14xdx1x12e(3) xVx-lnxdx.1解：根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì),1有：x3.4x2dx01.本題被積函數(shù)含一次函數(shù)的根式，且不能用直接積分法和湊微分求解，適用第二類換元法。令t.x,當(dāng)x1時(shí),則xt2,dx2tdt;t1,當(dāng)x4時(shí)t2.2tdt=2Tdt1t21-222t222*-：dt=2t211=(2t2arctant)步積分的類型.,根據(jù)xdx4e5Ax2525(4e5251

4、).例3.求yx12圍成的平面圖形的面積以及該平面圖形繞成的旋轉(zhuǎn)體的體積。X軸旋轉(zhuǎn)一周形23-ln2121、求極限limtan3tdt0=dx2xe2(3)顯然本題積分xVxlnxdx屬適用分111、d(-x),可1解：由所給曲線方程解得交點(diǎn)：(1,1),1(2,1),(2,2).回出平面圖形如下：2(1)求平面圖形的面積.視平面圖形為X形區(qū)域，得平面圖形面積為:2，x|X=(萬(wàn)lnx)(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積.視平面圖形為X形區(qū)域，有:四.練習(xí)題及參考答案x32、求積分35A3,14(3)xcos2xdx.03、求由曲線ysinx,直線y2x以及x圍成的平面區(qū)域D的面積，及區(qū)域D繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而

5、成的旋轉(zhuǎn)體的體積。參考答案：1、3.42、0;116;(3)-1.15843、1;.464自我復(fù)習(xí)習(xí)題六(A)4.(3)、(5).5.(3)、(6)、(8)、(10).6.(1)>(3).12.(1)、(3)、(5).14.(1)、.21.(2)、(5).25.(1)、(2).第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)一.本章重點(diǎn)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定(包括正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判定；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的判定)。幕級(jí)數(shù)的收斂域的確定。利用幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)求幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)。二.復(fù)習(xí)要求1.理解級(jí)數(shù)的基本概念；記住級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，特別是：若級(jí)數(shù)/收斂，則必有n1limun0,但limun0時(shí)，級(jí)數(shù)un未必nnn1收斂。2

6、 .熟記等比級(jí)數(shù)aqn的斂散性：n1當(dāng)|q|<1時(shí)，等比級(jí)數(shù)aqn收斂至I過(guò)；n11q當(dāng)|q|>1時(shí)，等比級(jí)數(shù)aqn發(fā)散。n13 .熟記p級(jí)數(shù)；的斂散性：n1n當(dāng)p>1時(shí)，p級(jí)數(shù)p收斂；n1n當(dāng)p<1時(shí)，p級(jí)數(shù)4發(fā)散。n1np4 .熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定。(1)首先考察是否有l(wèi)imUn0,若有則Unn1必發(fā)散；(2)通?？上瓤紤]用比值判別法判定正項(xiàng)級(jí)對(duì)有缺項(xiàng)的幕級(jí)數(shù)(指缺無(wú)限多項(xiàng))，則直接取其后項(xiàng)與前項(xiàng)之比的絕對(duì)值取極限：nimUn1(X)Un(x)然后根據(jù)定理確定收斂半徑R及收斂區(qū)問(wèn)(1).(11數(shù)的un收斂性，特別是Un中含nn!n1或an的情形?？紤]用比較判

7、別法時(shí)，應(yīng)先對(duì)通項(xiàng)Un作初步估計(jì)，再用適合的p級(jí)數(shù)的通項(xiàng)與之比較作出判定。5 .熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)nUn(Un0)n1絕對(duì)收斂還是條件收斂的判定。先考查Un是否收斂，若Un收斂，n1n1則(/Un是絕對(duì)收斂；n1(2)若Un發(fā)散，則用萊布尼茲判別法判n1定(YUn是否收斂，若收斂，則為條n1件收斂。6 .會(huì)求幕級(jí)數(shù)的收斂域。(R,R)o討論(-R,R)的端點(diǎn)xR及xR處級(jí)數(shù)anxn的收斂性，并寫(xiě)出收斂域(收斂n0區(qū)間加收斂的端點(diǎn))。7 .熟記幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)，特別是幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們及如下公式求幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)。n1(1) xn1x1n01x(2) (1

8、)n1xn1x1n01x:.例題選講例1.判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)需說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂1cos)n123n1(1)對(duì)不缺項(xiàng)的幕級(jí)數(shù)anxn(允許缺有n0限項(xiàng))，取其后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比的絕對(duì)-an11值取極限：11m1nanc1確定收斂半徑Rj及收斂區(qū)間(R,R)。解:顯然1)n(n1)3n(1)令Un時(shí),Un1cos一n1/、22q，收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。n12n2小結(jié)：利用p級(jí)數(shù)作比較標(biāo)準(zhǔn)，用比較判別法來(lái)判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，用等價(jià)無(wú)窮小代換是一個(gè)簡(jiǎn)便實(shí)用的方法，常用的等價(jià)無(wú)窮小代換還有：1111n時(shí)，sin一一，ln(1一)一nnnn(參見(jiàn)教材P79)。(1)n1nn(n1

9、)3n絕對(duì)收斂。(1)n123n1事實(shí)上，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法的極限形式，因?yàn)?lim-3nZ2n2.3niI-3n3nlimlimn.3n2n3n2例2求幕級(jí)數(shù)12n1i/和收斂區(qū)間.解：所給幕級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形limnUn1(x)Un(x)limn12n11x2(n一nx2n的收斂半徑，由1)12n1根據(jù)定理7-12，當(dāng)2x21即血時(shí)，所又因?yàn)槿R1=發(fā)散,n1、3nn1.3'n給幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)x22記Un時(shí)，所給幕級(jí)數(shù)發(fā)散.所以幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R四，收斂區(qū)間為(厄&).Un23n1例3.求(nn02)xn的收斂半徑，收斂區(qū)間2，3n12J3(n1)1解：記ann2,則

10、幕級(jí)數(shù)收斂半徑為：limUn0,nRlimnanan1limn-1,收斂區(qū)間為nn3所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)(12條件收斂。n1.3n1(1,1).且當(dāng)x1時(shí)，幕級(jí)數(shù)為.In1(1)n1n(nn31)n(n1)n13n(n2)(1)n,其通項(xiàng)求極限n0根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法,(n1)(n2).嘉級(jí)數(shù)的收斂域也是(1,1).&n1由nimF3nyn2limn3n記事級(jí)數(shù)和函數(shù)為f(x).即3n(n1)-in13n收斂(1)當(dāng)x0時(shí),nn0(x0xn2)1(上)0x1x_12xx22x"x(1x)2(1x)2(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)2綜上：f(x)2x(1x)2四.練習(xí)題及參考答案1.判定

11、下列級(jí)數(shù)的斂散性。1)n1(2)1)n1.Ln(1n1)n1)n113n1(1)14n2.求幕級(jí)數(shù)2n1)n5n的收斂半徑和收斂區(qū)間.3.求nxn2的收斂半徑，收斂區(qū)間及和函n1數(shù)。參考答案：1.(1).絕對(duì)收斂；(2).絕對(duì)收斂;(3)條件收斂；(4)發(fā)散.2.R而；收斂區(qū)間(石,而).3x3(1,1),f(x)2(1x)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分；多元函數(shù)的極值與條件極值；二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算。二.復(fù)習(xí)要求1 .理解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域；2 .熟練掌握二元函數(shù)一階及二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，會(huì)求二元函數(shù)的全微分；3 .熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，特別是抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)

12、數(shù)求導(dǎo)法；4 .熟練掌握利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)出的隱函數(shù)求導(dǎo)公式：若F(x,y,z)0可確定隱函數(shù)zf(x,y)則二巳，二三xFzyFz求Fx，F(xiàn)y,Fz時(shí)，均視x,y,z為地位平等的自變量。即求Fx時(shí)，視y,z為常數(shù)，其余類似。5 .掌握二元函數(shù)極值的概念及判斷法，能熟練用拉格朗日乘數(shù)法求多元(二，三元)函數(shù)的條件極值.6 .理解二重積分的概念，掌握并理解二重積分的基本性質(zhì)；7 .熟練掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下化為二次積分進(jìn)行計(jì)算的方法，并能熟練把一種次序的二次積分交換為另一種次序的二次積分。8 .會(huì)用二重積分求平面區(qū)域的面積。三.例題選解：例1.求下列函數(shù)的全微分或偏導(dǎo)數(shù).(1).zln

13、(1x2y2),求dz;自我復(fù)習(xí)：習(xí)題七(A)4.(7),(8);5,(4);7.(1),(3);8.(1),(3);9.(5),(12);10.(2).第八章多元函數(shù)(2).arctan確定z是x,y的函數(shù),zx求二。x.本章重點(diǎn)解：2x2y1x2y2解：畫(huà)出區(qū)域D略圖如下:dzzxdxzydy22(xdxydy)1xy(2).本題函數(shù)為隱函數(shù).令xyF(x,y,z)arctan,則有zx.zFxz(x2y2z),722xFzx(xy).、一1oo例2.設(shè)zfxy,(xy),其中f具有二視區(qū)域D為X型，則:1(1x4x302232x212x)dx3x31260.例5.要造一個(gè)容積等于定數(shù)a(

14、a0)的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小.分析與解:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為x,y,z則水池表面積sxy2yz2xz解方程組:FxFxFxyz0xz0xy0法2由約束方程xyza解得:zaxy2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求一.xy分析：顯然f是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，記122一uxy,v(xy)，則zf(u,v)2其中x,y為自變量，u,v為中間變量，由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，注意到fu,fv要看成是fu(u,v),fv(u,v),所以有：».13y例3將二次積分°dy°f(x,y)dx交換積分次序.解：由已知，原積分區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域：0y10x%'畫(huà)出積分

15、區(qū)域D的略圖如下所示：、.一.0x1視D為X型區(qū)域：3,得3xy11 1原式0dxx3f(x,y)dy本問(wèn)題歸結(jié)為求三元函數(shù)sxy2yz2xz在約束條件xyza下的最小值點(diǎn).有兩種解法：法1.用拉格朗日乘數(shù)法.令Fxy2yz2xz(xyza)y2zx2z2y2xxyza得唯一可疑點(diǎn)：xy2z3泊因本問(wèn)題存在最小值點(diǎn)，故唯一的可疑點(diǎn)即所求即當(dāng)水池長(zhǎng)，寬分別為3/2a,高為工病'時(shí)，水池2表面積最小.例4計(jì)算(4Dxy)dxdy,其中區(qū)域D由曲代入sxy2yz2xz得:sxy絲絲線yx2,直線y3x及x1所圍成.于是求條件極值轉(zhuǎn)化為求上面得到的二元函數(shù)的無(wú)條件極值.解方程組：得xy病,經(jīng)檢

16、驗(yàn)(自己可用極值的充分條件檢驗(yàn))(疹，病)就是唯一的極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)，即當(dāng)水池長(zhǎng),寬分別為病，1 13 .0dyy2f(x,y)dx334 .1405.xyz自我復(fù)習(xí)：習(xí)題八(A)8.(3),(5),8a33,3.14.(2).16.(2),(3).(1y)dy22xy2xyfuvx2fw水池表面積最小.四.練習(xí)題及參考答案1.求下列函數(shù)的全微分或偏導(dǎo)數(shù)(1) .zxyx2y2，求dz;222(2) .2yzyxz確止z是x,y的函數(shù)，求上.y2.求例2所示函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)1x3 .交換二次積分0dxof(x,y)dy的積分次序。24 .計(jì)算(xy)dxdy,其中D是由曲線Dyx2與y2x圍成的平面區(qū)域.5 .求三元函數(shù)V8xyz在約束條件x2y2z2a2下的最大值.1.xdz(12)dx，xy2z.2.2. -2fvyLx19.(3),27.(2).29.(3),(4),(5).30.(1).第九章常微分方程簡(jiǎn)介1 .本章重點(diǎn)求解一階線性微分方程。2 .復(fù)習(xí)要求1 .知道微分方程的定義、階、通解、特解等概念；2 .熟練掌握可分離變量的微分方程