第二章-連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、2021/3/261電容電壓的突變電容電壓的突變電感電流的突變電感電流的突變沖激函數(shù)匹配法確定初始條件沖激函數(shù)匹配法確定初始條件2021/3/262)0()0()0()0( LLCCiivv我們來(lái)進(jìn)一步討論我們來(lái)進(jìn)一步討論 的條件。的條件。 一起始點(diǎn)的跳變 0t 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr狀態(tài)、起始狀態(tài)狀態(tài)、起始狀態(tài) 0O 0 0t導(dǎo)導(dǎo)出出的的起起始始狀狀態(tài)態(tài)狀狀態(tài)態(tài)、初初始始條條件件、 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr2021/3/263當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從 到到 狀態(tài)有狀態(tài)有沒(méi)有跳變?nèi)Q于

2、微分方程右端自由項(xiàng)是否包含沒(méi)有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含 及及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 0 0 t 說(shuō)明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則換路定則: : .00 ,00 LLCCiivv 0對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況儲(chǔ)能情況; ;00 到 但是當(dāng)有但是當(dāng)有沖激電流沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓沖激電壓強(qiáng)迫強(qiáng)迫作用于電感作用于電感,

3、, 狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。 2021/3/2641電容電壓的突變由伏安關(guān)系由伏安關(guān)系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令為有限值為有限值如果如果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 為為如如果果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此時(shí)此時(shí)CvvCC1)0()0( 此此時(shí)時(shí)當(dāng)有沖激電流當(dāng)有沖激電流或階躍電壓作或階躍電壓作用于電容時(shí)：用于電容時(shí)：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiC2021/3/265例2-

4、3-1EvC )0(0)0( Cv)(d)(d)(tCEttvCtiCC 電流為沖激信號(hào)。電流為沖激信號(hào)。C)(tvC)(tiC)(tEu2021/3/2662電感電流的突變 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此此時(shí)時(shí) 0d)(00， Lv如果為有限值，如果為有限值，)(tvL，為為如果如果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此時(shí)此時(shí) 沖激電壓或階沖激電壓或階躍電流作用于躍電流作用于電感時(shí)：電感時(shí)：)0()0( LLii2021/3/267例2-3-2)(tiL)(tvLL)(stuItti

5、LtvLLd)(d)( ttLILiiLLd)(1)0()0(00s s)0(IiL )( d)(dsstLIttvIL 2021/3/268配平的原理配平的原理: :t =0 時(shí)刻微分方程左右兩端的時(shí)刻微分方程左右兩端的(t)及各階導(dǎo)及各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡數(shù)應(yīng)該平衡( (其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡其他項(xiàng)也應(yīng)該平衡, ,我們討論初始條件我們討論初始條件, ,可可以不管其他項(xiàng)）以不管其他項(xiàng)） ttrtrt 33dd 0,0rr求求已知已知例例： 三沖激函數(shù)匹配法確定初始條件 相相對(duì)對(duì)單單位位跳跳變變函函數(shù)數(shù)到到表表示示 00:tu該過(guò)程可借助數(shù)學(xué)描述該過(guò)程可借助數(shù)學(xué)描述 ttrtrdtd 33 tt 33 t

6、 3 t 9 t 9 tu 93 2021/3/269在在 中中 時(shí)刻有時(shí)刻有 tr0 t tu 9分析 t 3方方程程右右端端含含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中中的的以以平平衡衡必必含含 900 rr 900 rr即即中的中的 trtdd t 9 表示表示 到到 的相對(duì)跳變函數(shù)，所以，的相對(duì)跳變函數(shù)，所以， tu 0 02021/3/2610 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 項(xiàng)，項(xiàng)，方程右端含方程右端含t trtdd它一定屬于它一定屬于數(shù)學(xué)描述 tubtatr ttubtatuctbta 333

7、900 brr tuctbtatrt dd設(shè)設(shè)則則代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr即即 03033bcaba 993cba即即2021/3/2611 起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換系統(tǒng)響應(yīng)劃分系統(tǒng)響應(yīng)劃分對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)2021/3/2612一起始狀態(tài)與激勵(lì)源的等效轉(zhuǎn)換在一定條件下在一定條件下,激勵(lì)源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即激勵(lì)源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲(chǔ)能看作是激勵(lì)源。可以將原始儲(chǔ)能看作是激勵(lì)源。電容的等效電路電容的等效電路電感的等效電路電感的等效電路外外加加激激勵(lì)勵(lì)源源系系統(tǒng)統(tǒng)的的完完全全響響應(yīng)應(yīng)共共

8、同同作作用用的的結(jié)結(jié)果果可可以以看看作作起起始始狀狀態(tài)態(tài)等等效效激激勵(lì)勵(lì)源源系系統(tǒng)統(tǒng)的的完完全全響響應(yīng)應(yīng) = =零零輸輸入入響響應(yīng)應(yīng)+ +零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)( (線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)具具有有疊疊加加性性) )2021/3/2613電容器的等效電路 tCCiCtv d)(1)( tCCiCiC00d)(1d)(1 tCCtiCv00d)(1)0( C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源 的的串聯(lián)串聯(lián) tuvC)0( 等效電路中的等效電路中的電容器的起始電容器的起始狀態(tài)為零狀態(tài)為零C)(tvC)(tiC)0(Cv2021/

9、3/2614 tLLvLti d)(1)( tLLvLvL00d)(1d)(1 )(tiL )(tvLL)0( d)(1)0(0 tvLitLL 故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感L和電流源和電流源的并聯(lián)。的并聯(lián)。)()0(tuiL 電感的等效電路0 0)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( Li2021/3/2615二系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)( Natural + Forced )零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)( Zero-input + Zero-state )暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng) + + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)( Transient +

10、 Steady-state )2021/3/2616 (1)(1)自由響應(yīng)自由響應(yīng): :也稱固有響應(yīng)也稱固有響應(yīng), ,由系統(tǒng)本身特性決定由系統(tǒng)本身特性決定, ,與外加激與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。 強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng):形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。 (2)(2)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng): :是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi),完全響應(yīng)中暫時(shí)出完全響應(yīng)中暫時(shí)出 現(xiàn)的有關(guān)成分現(xiàn)的有關(guān)成分,隨著時(shí)間隨著時(shí)間t 增加增加,它將消失。它將消失。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng): 由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)

11、態(tài)響應(yīng)分量。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。 (3)(3)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng): :沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用, ,只由起始狀只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）構(gòu)成的等效激勵(lì)源產(chǎn)生的響應(yīng)。態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）構(gòu)成的等效激勵(lì)源產(chǎn)生的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng): :不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零）狀態(tài)等于零）, ,由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。 各種系統(tǒng)響應(yīng)定義舉例舉例2021/3/2617 系統(tǒng)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值

12、決定的初始值求出決定的初始值求出待定系數(shù)。待定系數(shù)。 00LCiv和和 系統(tǒng)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值次解，由狀態(tài)值 為零決定的初始值求出待為零決定的初始值求出待定系數(shù)。定系數(shù)。 00LCiv和和 求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作, ,所以引出所以引出卷卷積積分法積積分法。 t 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) th te th tr動(dòng)態(tài)電路系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積,即即 thtetr 2021/3

13、/2618幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明2021/3/26193. 同時(shí)由于零輸入分量的存在,使響應(yīng)的變化不可能只發(fā)生在激勵(lì)變化之后,因而系統(tǒng)也是非因果的。這樣可以說(shuō)用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下,系統(tǒng)才是線性時(shí)不變的,而且是因果的。4.把起始狀態(tài)等效成系統(tǒng)的激勵(lì),如電壓源 和電流源 ,則對(duì)零輸入響應(yīng)而言也滿足疊加性和均勻性,因而可以把常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴(kuò)展。(0 )cv(0 )Li2021/3/2620三對(duì)系統(tǒng)線性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。(1)(1)響應(yīng)可分解為響應(yīng)可分解為:

14、:零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。(2)(2)零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性: :當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí), ,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性。對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性。(3)(3)零輸入線性零輸入線性: :當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)當(dāng)激勵(lì)為零時(shí), ,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性。各起始狀態(tài)呈線性。 2021/3/2621沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)2021/3/2622系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 作用下產(chǎn)生的作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng), ,稱稱為單位沖激響應(yīng)為單位沖激響應(yīng), ,簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng), ,一般用一般用h(t)表示

15、。表示。 一沖激響應(yīng)1定義 2一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng))(t 3n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)H t th2021/3/2623響應(yīng)及其各響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)(最最高階為高階為n次次)3n階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng), ,可以用一可以用一高階微分方程高階微分方程表示表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激勵(lì)及其各激勵(lì)及其各階導(dǎo)

16、數(shù)階導(dǎo)數(shù)(最最高階為高階為m次次)令令 e(t)= (t) 則則 r(t)=h(t)2021/3/2624(2)h(t)解答的形式設(shè)特征根為簡(jiǎn)單根（無(wú)重根的單根）設(shè)特征根為簡(jiǎn)單根（無(wú)重根的單根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其導(dǎo)數(shù)在及其導(dǎo)數(shù)在 時(shí)都為零，因而方程式時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。次解的形式相同。 t 0t 及其各階導(dǎo)數(shù)。及其各階導(dǎo)數(shù)。應(yīng)包含應(yīng)包含時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)；中應(yīng)包含中應(yīng)包含時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)及其各階導(dǎo)數(shù)；及其各階導(dǎo)數(shù)；不含不含時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)tthmntthmntth

17、mn 與與n, m相對(duì)大小有關(guān)相對(duì)大小有關(guān) 與特征根有關(guān)與特征根有關(guān)2021/3/2625二階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入 ，其響應(yīng)為，其響應(yīng)為 。系統(tǒng)。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)方程的右端將包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，所以除了齊次解外，還有還有特解項(xiàng)特解項(xiàng)。 tute tgtr tu我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性,利用利用沖激響應(yīng)與沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)關(guān)系階躍響應(yīng)關(guān)系求階躍響應(yīng)。求階躍響應(yīng)。 系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng),稱為單位稱為單位階躍響應(yīng)階躍響應(yīng),簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。1定義 H te trH

18、tu tg2021/3/26262階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系 tt0,對(duì)因果系統(tǒng)：對(duì)因果系統(tǒng)：積分，注意積分限：積分，注意積分限：階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分微、積分特性特性 ttttud)()( ttthtgd)()(2021/3/2627三齊次解法求沖激響應(yīng)（補(bǔ)充）左端最高階微分中含有左端最高階微分中含有 (t)項(xiàng)項(xiàng)(n-1)階微分中含有階微分中含有u(t)項(xiàng)。項(xiàng)?？梢杂纱硕ǔ跏紬l件可以由此定初始條件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0()0()0()0(, 1)0()2()1( nnhhhhh令方

19、程左端系數(shù)為令方程左端系數(shù)為1,右端右端只有一項(xiàng)只有一項(xiàng) (t)時(shí)時(shí),沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 th此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡(jiǎn)單。對(duì)于高階系統(tǒng)更此方法比奇異函數(shù)系數(shù)平衡法簡(jiǎn)單。對(duì)于高階系統(tǒng)更有優(yōu)越性。有優(yōu)越性。2021/3/2628求沖激響應(yīng)的幾種方法方法方法1:沖激函數(shù)匹配法求出沖激函數(shù)匹配法求出 躍變值躍變值,定系數(shù)定系數(shù)A。方法方法2:奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法,定系數(shù)定系數(shù)A。 方法方法3: 齊次解法求沖激響應(yīng)。齊次解法求沖激響應(yīng)。 002021/3/2629總結(jié)沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng)的求解求解至關(guān)重要。至關(guān)重要。沖激響應(yīng)的定義沖激響應(yīng)的定義零狀態(tài)零狀態(tài);單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)作

20、用下作用下,系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)為沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)說(shuō)明沖激響應(yīng)說(shuō)明:在時(shí)域在時(shí)域,對(duì)于不同系統(tǒng)對(duì)于不同系統(tǒng),零狀態(tài)情況下加零狀態(tài)情況下加同樣的激勵(lì)同樣的激勵(lì) ,看響應(yīng)看響應(yīng) , 不同不同,說(shuō)明其系統(tǒng)特性說(shuō)明其系統(tǒng)特性不同不同,沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性?？梢院饬肯到y(tǒng)的特性。 t )(th)(th用用變換域變換域( (拉氏變換拉氏變換) )方法求方法求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡(jiǎn)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)簡(jiǎn)捷方便捷方便,但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。但時(shí)域求解方法直觀、物理概念明確。2021/3/2630卷積卷積利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積圖解說(shuō)明卷

21、積圖解說(shuō)明卷積積分的卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)2021/3/2631一卷積（Convolution）積積分分和和設(shè)設(shè)有有兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，記為，記為的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積和和稱為稱為)()(21tftf利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。2021/3/2632二利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) d tete則則響響應(yīng)應(yīng)為為的的為為若若把把它它作作用用于于沖沖激激響響應(yīng)應(yīng)LTIS,)(th teHtr )(任意信號(hào)任意信號(hào)e(t)可表示為沖激序列之和可表示為沖激序列之

22、和 dteH dtHe d the這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 thtethtetr zs2021/3/2633三卷積的計(jì)算由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性,卷卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定積分限的確定是是非常關(guān)鍵的。非常關(guān)鍵的。借助于階躍函數(shù)借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限確定積分限利用圖解說(shuō)明確定積分限利用圖解說(shuō)明確定積分限2021/3/2634卷積的圖解說(shuō)明 用圖解法直觀用圖解法直觀, ,尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí), ,用圖形分段求出用圖形分段求出定定積分限積

23、分限尤為方便準(zhǔn)確尤為方便準(zhǔn)確, ,用解析式作容易出錯(cuò)用解析式作容易出錯(cuò), ,最好將兩種最好將兩種方法結(jié)合起來(lái)。方法結(jié)合起來(lái)。 d21 tfftf ),()(. 111積分變量改為積分變量改為ftf)()()()(. 22222 tffftf時(shí)時(shí)延延倒倒置置)()(. 321 tff相相乘乘： d)(. )(. 421 tff乘乘積積的的積積分分： tt)(t時(shí)時(shí)延延對(duì)對(duì) 的的函函數(shù)數(shù)積積分分結(jié)結(jié)果果為為t 再再移移動(dòng)動(dòng)倒倒置置為為的的圖圖形形不不動(dòng)動(dòng)， 2221, ffff2021/3/2635四對(duì)卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1) t :觀察響應(yīng)的時(shí)刻觀察響應(yīng)的時(shí)刻,是積分的參變量是積分的參變量; :

24、 信號(hào)作用的時(shí)刻信號(hào)作用的時(shí)刻,積分變量積分變量 從因果關(guān)系看從因果關(guān)系看,必定有必定有 t(2) 分析信號(hào)是手段分析信號(hào)是手段,卷積中沒(méi)有沖激形式卷積中沒(méi)有沖激形式, 但有其但有其內(nèi)容內(nèi)容;即即d f( ) 是是h(t- )的加權(quán)的加權(quán),積分積分 f( ) 是是h(t- )的加權(quán)的加權(quán),求和求和 (t- )的響應(yīng)的響應(yīng) d thetr2021/3/2636(3)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法,通過(guò)沖激響應(yīng)通過(guò)沖激響應(yīng)h(t)建建立了響應(yīng)立了響應(yīng)r(t)與激勵(lì)與激勵(lì)e(t)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 (4)卷積是數(shù)學(xué)方法卷積是數(shù)學(xué)方法,也可運(yùn)用于其他學(xué)科也可運(yùn)用于其他學(xué)科

25、。信號(hào)無(wú)起因時(shí)信號(hào)無(wú)起因時(shí): : d)()()(thftg一般數(shù)學(xué)表示一般數(shù)學(xué)表示: : d)()()(21tfftg(5)積分限由積分限由 存在的區(qū)間決定存在的區(qū)間決定,即由即由 的范圍決定。的范圍決定。 )(),(21tftf0)()(21 tff2021/3/2637總結(jié)求解響應(yīng)的方法求解響應(yīng)的方法:時(shí)域經(jīng)典法時(shí)域經(jīng)典法:雙零法雙零法: thte 零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：完全解完全解 = 齊次解齊次解 + 特解特解解齊次方程解齊次方程, ,用初（起）始條件求系數(shù)用初（起）始條件求系數(shù); ; 2021/3/2638代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)微分積分性質(zhì)與沖激函數(shù)或

26、階躍函數(shù)的卷積與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積2021/3/2639一代數(shù)性質(zhì)1交換律2分配律3結(jié)合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算2021/3/2640系統(tǒng)并聯(lián) ththth21 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián),框圖表示框圖表示: )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf

27、)()()()()()(21thtfthtfthtf 結(jié)論結(jié)論: :子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí), ,總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和和。2021/3/2641系統(tǒng)級(jí)聯(lián))()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系統(tǒng)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)級(jí)聯(lián),框圖表示框圖表示: )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th結(jié)論結(jié)論:時(shí)域中時(shí)域中,子系統(tǒng)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)級(jí)聯(lián)時(shí)時(shí),總的沖激響應(yīng)等總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積卷積。 2021/3/

28、2642二微分積分性質(zhì))()()()()(thtfthtftg )()()()()()()()()()(thtfthtftgnmmnmn )()()()()(thtftgnn )()()()()()()()(thtfthtftgnnn 推廣推廣:微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實(shí)用微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實(shí)用)()()()()()1()1()1(thtfthtftg 對(duì)于卷積很方便。對(duì)于卷積很方便。g(t)的積分的積分微分微分n次次,積分積分m次次m=n, 微分次數(shù)微分次數(shù)積分次數(shù)積分次數(shù) 2021/3/2643三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積推廣推廣:)()()(2121tttfttttf )( )()(tf

29、ttf d)()()( tftutf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf tftftfttf d d )()()(00ttftttfkk 2021/3/2644算子符號(hào)的表示方法算子符號(hào)的表示方法算子符號(hào)基本規(guī)則算子符號(hào)基本規(guī)則用算子符號(hào)建立微分方程用算子符號(hào)建立微分方程傳輸算子概念傳輸算子概念2021/3/2645,1()() nnntddppdtdtdpdxpxdtnnndxp xdt1txxdtp一算子符號(hào)的表示一算子符號(hào)的表示 定義定義2021/3/2646對(duì)于算子方程對(duì)于算子方程:2(25)(3)ppypx22253dyd yd xyxd td td t其含義

30、是其含義是:高階微分方程可以表示為高階微分方程可以表示為10111011( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmmC p r tC pr tCpr tC r tE p e tE pe tEpe tE e t或簡(jiǎn)化為或簡(jiǎn)化為10111011() ( )() ( )nnnnmmmmC pC pCpC r tE pE pEpEe t2021/3/2647進(jìn)一步令進(jìn)一步令10111011( )( )nnnnmmmmD pC pC pCpCN pE pE pEpE分別表示兩個(gè)算子多項(xiàng)式分別表示兩個(gè)算子多項(xiàng)式,則微分方程可表示為則微分方程可表示為( ) ( )( ) ( )D p r

31、 tN p e t2021/3/2648二算子符號(hào)基本規(guī)則二算子符號(hào)基本規(guī)則 微分算子不是代數(shù)方程微分算子不是代數(shù)方程,而是算子記法的微積分方程。而是算子記法的微積分方程。式中算子與變量不是相乘式中算子與變量不是相乘,而是一種變換。而是一種變換。 多項(xiàng)式的算子可以像代數(shù)量那樣進(jìn)行乘法運(yùn)算多項(xiàng)式的算子可以像代數(shù)量那樣進(jìn)行乘法運(yùn)算,也可也可以像代數(shù)式那樣進(jìn)行因式分解的運(yùn)算。以像代數(shù)式那樣進(jìn)行因式分解的運(yùn)算。 算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。ypNapapx)()(ypNx)(1xxpDpD)(1)()()()(1txxpDpD但2021/3/26491tdPxxdxpdt1( )()1()0,tdPxxdx txpdxPxxp 若xxpp1但但xCxpxp