第05章-大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律 第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理習(xí)題習(xí)題第一節(jié)第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律切比雪夫不等式切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則越小，則事件事件|X-E(X)| 0 ，有，有 貝努利大數(shù)定律：貝努利大數(shù)定律： 1|lim pnnPAn或或0|lim pnnPAn也就是：也就是：.PAnpn 證明證明: :12( ,)AAnnB n pnXXX 因因為為，由由此此可可表表示示為為1211,01()1()(1),411 ()=nkknnAkkkkXXXpE XpD

2、 XppnXE Xpnnn其其中中相相互互獨獨立立，且且都都服服從從以以為為參參數(shù)數(shù)的的()()分分布布。，滿滿足足切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律的的條條件件。而而且且，代代入入切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律，即即得得證證。當重復(fù)試驗次數(shù)當重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件充分大時，事件“頻率頻率nA/n與概與概率率p的偏差小于的偏差小于”概率趨于概率趨于1。由實際推斷原理，。由實際推斷原理，實際上這個事件幾乎是必定要發(fā)生的。這就是所實際上這個事件幾乎是必定要發(fā)生的。這就是所謂的謂的“頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性”。在實際應(yīng)用中，當試驗次數(shù)很大時，就可以用事在實際應(yīng)用中，當試驗次數(shù)很大時，就可以用事件的

3、頻率來代替事件的概率。件的頻率來代替事件的概率。定理的理解定理的理解: 辛欽大數(shù)定律：辛欽大數(shù)定律：設(shè)設(shè)X1, X2, 是相互獨立，服從同是相互獨立，服從同一分布的隨機變量序列，且具有數(shù)學(xué)期望一分布的隨機變量序列，且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=(k=1,2,)。則對于任意正數(shù)。則對于任意正數(shù)有有11lim|1,nknkPXn 前前n個變量的算術(shù)平均個變量的算術(shù)平均也就是：也就是：11.nPkkXn 第二節(jié)第二節(jié)中心極限定理中心極限定理中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景在客觀實際中，許多隨機變量是由大量的相互獨立在客觀實際中，許多隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的。而其

4、中每一個別的隨機因素的綜合影響所形成的。而其中每一個別因素所起的作用都是微小的。因素所起的作用都是微小的。例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的。每個綜合影響的。每個隨機因素的對隨機因素的對彈著點（隨機變量彈著點（隨機變量和）和）所起的作用都是很小的。所起的作用都是很小的。這樣的隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布！這樣的隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布！下面演示不難看到中心極限定理的客觀背景下面演示不難看到中心極限定理的客觀背景例例:20個個0-1分

5、布的和的分布分布的和的分布 X1 f(x)X1 +X2g(x)X1 +X2+X3 h(x)幾個幾個(0,1)上均勻分布的和的分布上均勻分布的和的分布 0123xfgh 由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量機變量. nkknknkkknXDXEXY111)()(nY討討論論的的極極限限分分布布是是否否是是標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極

6、限定理. nkkkXnkX1), 1(的的和和即即考考慮慮隨隨機機變變量量一、中心極限定理一、中心極限定理 xnnXPxFniinnn 1lim)(lim定理定理1（獨立同分布情形下的中心極限定理獨立同分布情形下的中心極限定理），則則隨隨機機變變量量之之和和方方差差布布，且且具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和相相互互獨獨立立，服服從從同同一一分分設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1滿滿足足對對于于任任意意的的分分布布函函數(shù)數(shù)xxFn)(的標準化變量的標準化變量 nkkX12-t2-1edt2x )(x 注注).1 , 0(;),(,

7、11211NnnXnnNXnXnkknkknkk近近似似地地近近似似地地有有和和與與其其標標準準化化變變量量分分別別充充分分大大時時，隨隨機機變變量量之之當當布布的的隨隨機機變變量量之之和和、定定理理表表明明，獨獨立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或為為定定理理的的另另一一種種形形式式可可寫寫、獨獨立立同同分分布布中中心心極極限限 nkkXnX11其中其中 3、在一般情況下，我們很難求出、在一般情況下，我們很難求出 的分布函的分布函數(shù)。但當數(shù)。但當n很大時，可用正態(tài)分布來近似求解。很大時，可用正態(tài)分布來近似求解。 nkkX1定理定理2（德莫佛拉普拉斯中

8、心極限定理）（德莫佛拉普拉斯中心極限定理）)1 (limxpnpnpPnn 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 (n=1,2,(n=1,2,)服從參數(shù)服從參數(shù)n,p(0p1920)設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理由中心極限定理,近似近似N(0,1)1600400Y P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119例例2 在一個罐子中在一個罐子中,裝有裝有10個編號為個編號為0-9的同樣的球，的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次

9、，每次抽一個，并記下號從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼碼. 1,00, kkX 第第 次次取取到到號號碼碼否否則則 設(shè)設(shè)，k=1,2, (1) 至少應(yīng)取球多少次才能使至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計算在用中心極限定理計算在100次抽取中次抽取中,數(shù)碼數(shù)碼“0”出出現(xiàn)次數(shù)在現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率之間的概率.（1)解：設(shè)應(yīng)取球解：設(shè)應(yīng)取球n次，次，0出現(xiàn)頻率為出現(xiàn)頻率為nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心極限定理由中心極限定理

10、10.10.3nkkXnn 110.10.3nkkXnn 例例2解答：解答：），（近似地近似地10N11. 0109. 01nkkXnP11|0.1| 0.01nkkPXn 110.1|300.3nkkXnnPn 2 ()130n 2 ()10.9530n 欲使欲使()0.97530n 即即1.9630n 查表得查表得從中解得從中解得3458n即至少應(yīng)取球即至少應(yīng)取球3458次才能使次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是之間的概率至少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)為1001kkX由中心極限定理由中心極

11、限定理,100100111001()N0 1()kkkkkkXE XD X 近近似似地地（ ，）)1 , 0(N3101001近近似似地地 kkX即即其中其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即在即在100次抽取中，數(shù)碼次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之之間間的概率為的概率為0.6826.1001(713)kkPX =0.6826100110( 11)3kkXP (1)( 1) 1) 1 (2(1000,0.5),XB則則,500)( XE,250)( XD由中心極限定理由中心極限定理500(0,1)250XN近近似似例例3 3 甲乙兩電影院在競爭甲乙兩電影院在競爭1

12、0001000名觀眾，假設(shè)每位名觀眾，假設(shè)每位觀眾在選擇時隨機的，且彼此相互獨立，問甲至觀眾在選擇時隨機的，且彼此相互獨立，問甲至少應(yīng)設(shè)多少個座位，才能使觀眾因無座位而離去少應(yīng)設(shè)多少個座位，才能使觀眾因無座位而離去的概率小于的概率小于1 1？例例3 3解答解答 設(shè)設(shè)X表示來甲電影院的人數(shù)，甲至少設(shè)表示來甲電影院的人數(shù)，甲至少設(shè)N個座位。個座位。P XN 于于是是 250500250500NXP 2505001N%1 %99250500 N即即2 3270 99( .).因因5002 327250N., 所所以以536 79N. 解解得得537N 即即P XN 故故 250500250500NX

13、P 2505001N例例4 (供電問題供電問題)某車間有某車間有200臺車床臺車床,在生產(chǎn)期間由在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車需停車. 設(shè)開工率為設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺車床的工作是獨并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力立的，且在開工時需電力1千瓦千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)而影響生產(chǎn)? 解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗 是觀察該臺車床在某時刻是否工作是觀察該臺車床在某時刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 ,共進行共進行200次獨立重復(fù)試驗次獨立重復(fù)試驗.用用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，表示在某時刻工作著的車床數(shù)，依題意，依題意，XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：現(xiàn)在的問題是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求滿足求滿足設(shè)需設(shè)需N臺車床工作，臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，千瓦，N臺工作所需電力即臺工作所需電力即N千瓦千瓦.）