向量的數(shù)量積與向量積shuliangjihexiangliangjippt課件

1、8-3.向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積1.數(shù)量積數(shù)量積2.向量積向量積一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積引例引例. 設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 F作用下作用下,沿與力夾角為的直線移動(dòng),位移為 s ,則力F 所做的功為WcossF1MF2Ms1.向量的投影的概念向量的投影的概念設(shè)設(shè)a 、b0，將其始點(diǎn)移至同一點(diǎn)，將其始點(diǎn)移至同一點(diǎn)O，BabAO 為向量為向量a 與與b之間的夾角，之間的夾角， 記作記作a ,b),或（或（ b，a且且0兩非零向量的夾角：兩非零向量的夾角：,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作,0,時(shí)當(dāng)同理bbaj rPba上的投影為在baabcosbcosPrbaj a2.數(shù)量

2、積的定義數(shù)量積的定義記為記為ab，兩個(gè)向量兩個(gè)向量a與與b的數(shù)量積等于的數(shù)量積等于又稱數(shù)積、內(nèi)積、點(diǎn)積，其值為一個(gè)數(shù)量。又稱數(shù)積、內(nèi)積、點(diǎn)積，其值為一個(gè)數(shù)量。及其夾角及其夾角余弦的乘積，余弦的乘積，即即ab= |a| |b|cos =兩個(gè)向量的模兩個(gè)向量的模|a|、|b|0 其中其中baaj rPPr jbba性質(zhì) （為什么？）aa) 1 (2aab= |a| |b|cos 為兩個(gè)非零向量, 則有ba,)2(0baba , 1ii jjkk 0jikjik （為什么？）規(guī)定：零向量垂直于任何向量規(guī)定：零向量垂直于任何向量運(yùn)算律運(yùn)算律(1) 交換律 (2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()(

3、 ba)(ba)()(ba)(ba)(ba (3) 分配律cbcacba練習(xí)：P207習(xí)題8-3第1題ABCabc例例1. 證明余弦定理證明余弦定理cos2222abbac證證:那么cos2222abbac如圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,3. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)那么zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx, 1ii jjkk

4、0jikjik baba baba,4.兩向量的夾角公式 , 得相關(guān)例題：見課本203頁注意：0baba ba 0 x xyyz za ba ba b考慮：求一個(gè)向量需要知道幾個(gè)條件？(101)MB ， ，(1)MA ，1，0 BM例例2. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:那么AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故解：解： 因因0cbacba,所以所以323)()()( accbbacabaccbba232()cos3a bb cc a cba構(gòu)成一個(gè)等邊三角形且構(gòu)成一個(gè)等邊三角形且1abc且且acc

5、bba求求cba,例例3. 設(shè)設(shè) 是單位向量，是單位向量，0cba且且 為 ) .求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P (流體密度例例4. 設(shè)均勻流速為設(shè)均勻流速為與該平面域的單位垂直向量,A解解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積APAA的夾角為且的流體流過一個(gè)面積為 A 的平面域 ,vvncosvcosvnv vnn為單位向量二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) ,有一個(gè)與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 , 則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 1.

6、定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM注意： ab是一個(gè)向量；而且其特征為方向與是一個(gè)向量；而且其特征為方向與a與與b都垂直，模等于以都垂直，模等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的為鄰邊的平行四邊形的面積。即：面積。即：abcab考慮考慮: 三角形面積三角形面積abSba212. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 那么aa) 1 (0ba,)2(0baba3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(a c b c 右乘分配律）ba )()( ba)(baba) 1 (i

7、jk(3),ijk jki kij(4)0,0,0iijjkkcabc ac b 左乘分配律)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)那么,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazz向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbaba

8、zxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx向量向量a與與b平行平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0zzyyxxbababa上式說明：兩非零向量平行上式說明：兩非零向量平行對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；上式中，若有分母為零，則對(duì)應(yīng)的分子也為零。上式中，若有分母為零，則對(duì)應(yīng)的分子也為零。相關(guān)例題：課本206頁例14例17n請(qǐng)練習(xí)：710補(bǔ)充例補(bǔ)充例1.已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如下圖如下圖,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6

9、(42114sin21AB AC21ACAB求三機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,