大一上學期高數(shù)知識點

1、精選其次章 導數(shù)與微分一、主要內(nèi)容小結(jié)1. 定義·定理·公式（1）導數(shù)，左導數(shù)，右導數(shù)，微分以及導數(shù)和微分的幾何意義（2） 定理與運算法則定理1 存在 .定理2 若在點處可導，則在點x處連續(xù)；反之不真.定理3 函數(shù)在處可微在處可導.導數(shù)與微分的運算法則：設均可導，則, , ， （3）基本求導公式2. 各類函數(shù)導數(shù)的求法（1）復合函數(shù)微分法（2）反函數(shù)的微分法（3）由參數(shù)方程確定函數(shù)的微分法（4）隱函數(shù)微分法（5）冪指函數(shù)微分法（6）函數(shù)表達式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法.方法：對數(shù)求導法（即先對式子的兩邊取自然對數(shù)，然后在等式的兩端再對求導）.（7）分段函數(shù)

2、微分法3. 高階導數(shù)（1）定義與基本公式高階導數(shù)公式： 萊布尼茲公式：（2）高階導數(shù)的求法 直接法 間接法4. 導數(shù)的簡潔應用(1) 求曲線的切線、法線 (2) 求變化率相關(guān)變化率二、 例題解析例2.1 設 , （K為整數(shù)）.問：（1）當K為何值時，在處不行導；（2）當K為何值時，在處可導，但導函數(shù)不連續(xù)；（3）當K為何值時，在處導函數(shù)連續(xù)？解 函數(shù)在x=0點的導數(shù)：= = 即 當時, 的導函數(shù)為：為使，取即可。因此，函數(shù)當K1時，在處不行導；當時，在處可導，但導函數(shù)在處不連續(xù)；當時，在處可導且導函數(shù)在處連續(xù)。例2.2 ， 求。分析 本例當然可以用商的求導法則來求，但比較麻煩，若先對函數(shù)表達式

3、進行變形就可用代數(shù)和的求導法則來求，這樣就簡便多了。解 = 。所以 。假如不經(jīng)過化簡，直接求導則計算將是格外繁瑣的。例2.3 ，求。分析 本例若直接對原式利用差的求導法則及復合函數(shù)求導法來求，比較麻煩，但若利用對數(shù)性質(zhì)對函數(shù)表達式的其次項變形，再利用差及復合函數(shù)求導法來求，就簡便得多。解 由于 所以 = 例2.4 設，求。解 利用積的求導法則及復合函數(shù)求導法則，有 = = 。例2.5 設方程 , 求 .本例是隱函數(shù)求導問題，對隱函數(shù)求導可用下面兩種方法來求。解 (方法一) 方程兩端同時對求導( y看作x的函數(shù)),由復合函數(shù)求導法可得 (方法二) 方程兩邊同時微分：所以 例2.6 已知 , 為二

4、次可微函數(shù),且 ，求 , 。分析 這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導數(shù)的計算問題，可按參數(shù)方程求導法則來求。解 由于 = 所以 。又 所以 = 。常見錯解： 。錯誤緣由 沒有搞清求導對象. 是一階導數(shù)對求導,而是一階導數(shù)對t求導。例2.7 求函數(shù) 的微分。解 = = 例2.8 設 , 求 。 分析 本例是求分式有理函數(shù)的高階導數(shù)，先將有理假分式通過多項式除法化為整式與有理真分式之和，再將有理分式寫成部分分式之和，最終仿的表達式寫出所給定的有理函數(shù)的n階導數(shù)。解 = = = （）例2.9 設 求的導函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類型，并分別作與的圖形。 分析 函數(shù)是用分段表達的函數(shù). 在的兩側(cè)： 當 時，；當時， .因此，在 處，的可導狀況，需依據(jù)定義來作推斷，求出導函數(shù)后，再判別它的