高等數(shù)學(xué)第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt課件

1、第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點4.4 洛比達(dá)法那么洛比達(dá)法那么4.5 運用與實際運用與實際4.6 拓展與提高拓展與提高一一 知識構(gòu)造知識構(gòu)造第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用二二 教學(xué)根本要求和重點、難點教學(xué)根本要求和重點、難點1. 教學(xué)根本要求教學(xué)根本要求1拉格朗日中值定理；2利用洛必達(dá)法那么求函數(shù)極限的方法；3極值的概念，極值存在的必要條件；4判別函數(shù)單調(diào)性，判別極值的方法；第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用5曲線凹凸性判別方法與拐點的求法

2、；6求函數(shù)最大值最小值的方法；7求函數(shù)漸近線，描畫簡單函數(shù)圖形；8邊沿與彈性概念，邊沿分析、彈性分 析與優(yōu)化分析。第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用 1重點 用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)圖形的凹向與拐點，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的優(yōu)化分析。 2難點 用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性，描畫函數(shù)圖形及在經(jīng)濟(jì)方面的運用。2. 教學(xué)重點與難點教學(xué)重點與難點第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性( )( )tanf bf abaabafbff)()()(第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.1 拉格

3、朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理4.1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件滿足條件(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上延續(xù)；上延續(xù)；(2)在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。那么在那么在(a, b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ，使得，使得 ( )( )( )f bf afabba，( )( )( )()f bf afbaab，4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性 例例1 驗證函數(shù)驗證函數(shù)f(x)=ln(x+1)在在0, 1上能否滿上能否滿足拉格朗日中值定理的三個條件，如滿足求出足拉格朗日中值定理的三個條件，如滿足求出 。 解：解： f(x)=ln(x+1)在在

4、0, 1上延續(xù)，在上延續(xù)，在(0, 1)內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理，從而存在一點可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理，從而存在一點 ，使使 )01)()0() 1 (fff)01)(1ln2lnf12ln14.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.2 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)單調(diào)性的必要條件函數(shù)單調(diào)性的必要條件 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上延續(xù)，在開區(qū)間上延續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 假設(shè)假設(shè)f(x)在在a, b單調(diào)添加單調(diào)添加(減少減少)，那么在那么在(a, b

5、)內(nèi)內(nèi) 。 ( )0( )0fxfx（）4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性2函數(shù)單調(diào)性斷定法函數(shù)單調(diào)性斷定法定理定理4.2 4.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，(1)(1)假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)有內(nèi)有 ，那么，那么f(x)f(x)在在 (a, b)(a, b)內(nèi)單調(diào)添加。內(nèi)單調(diào)添加。(2)(2)假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)有內(nèi)有 ，那么，那么f(x)f(x)在在 (a, b)(a, b)內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少0)( xf0)( xf4.1 拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性

6、拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例例2 討論函數(shù)討論函數(shù)f(x) = ln x - x的單調(diào)性。的單調(diào)性。解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 。 ), 0( xxxxf111)(0)( xf11x函數(shù)的定義域分成兩個區(qū)間： (0,1)(1,)， 當(dāng)0 x1時， ，故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)添加；0)( xf當(dāng) 時， ，故f(x)在 內(nèi)單調(diào)減少。 x10)( xf), 1 ( 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值4.2.1 函數(shù)的極值：函數(shù)的極值：1. 極值的定義極值的定義 定義定義4.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)對該鄰域內(nèi)任一點義，假設(shè)對該

7、鄰域內(nèi)任一點x(xx0)，都有，都有f(x)f(x0)，那么稱，那么稱f(x0)為函數(shù)的極大值或為函數(shù)的極大值或極小值，極小值，x0為函數(shù)的極大值點極小值點。為函數(shù)的極大值點極小值點。第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 定理定理4.3 極值的必要條件極值的必要條件假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在在x0處獲得極值，且導(dǎo)數(shù)存在，那么必有處獲得極值，且導(dǎo)數(shù)存在，那么必有0)(0 xf定理定理4.3的逆定理不成立的逆定理不成立 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值2

8、. 極值判別法極值判別法 判別法判別法1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)假設(shè) 或在點或在點x0處導(dǎo)數(shù)不存在但在處導(dǎo)數(shù)不存在但在x0處延續(xù)。處延續(xù)。 0)(0 xf(1)當(dāng)x逐漸增大的經(jīng)過點x0時，假設(shè)導(dǎo)數(shù)值由正變負(fù)，那么函數(shù)f(x)在點x0處取極大值f(x0)；假設(shè)導(dǎo)數(shù)值由負(fù)變正，那么函數(shù)f(x)在點x0處取極小值f(x0)。(2)當(dāng)x逐漸增大的經(jīng)過點x0時，假設(shè)導(dǎo)數(shù)值不變號，那么x0不是函數(shù)f(x)的極值點。 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值求函數(shù)極值的普通解題步驟為：(1)求出導(dǎo)數(shù)；(2)求出函數(shù)的可疑極值點；(3)用極值判別法1斷定以上的點能

9、否為極值點；(4)求出極值點處的函數(shù)值，即為極值。4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值例例3 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。593)(23xxxxf解：函數(shù)解：函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為, 133963)(2xxxxxf0)( xf得到駐點 31x12x-14.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值判別法判別法 2：假設(shè)：假設(shè) ， 存在，存在， 0)(0 xf)(0 xf (1)假設(shè) ，那么f(x0)為極小值。0)(0 xf(2)假設(shè) ，那么f(x0)為極大值。 0)(0 xf4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的極值。的極值。xxxfln)

10、(2解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 ), 0( ) 1ln2(ln21ln2)(2xxxxxxxxxxf121( )0efxx3ln2)( xxf02)(1 xf因此函數(shù)f(x)在x1處獲得極小值 11()2ef x 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值4.2.2 函數(shù)的最值函數(shù)的最值 定義定義4.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間I上延續(xù)，假設(shè)上延續(xù)，假設(shè)x0I，且對一切，且對一切xI ，都有，都有f(x0)f(x)(或或f(x)f(x)，那么稱那么稱f(x0)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的最大值或最小值。的最大值或最小值。4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 實踐問題求解最

11、值的普通解題步驟為： (1)分析問題，建立目的函數(shù) 把問題的目的作為因變量，把它所依賴的量作為自變量，建立二者的函數(shù)關(guān)系，即目的函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域。 (2)解極值問題 確定自變量的取值，使目的函數(shù)到達(dá)最大值或最小值。例例5 5 堆料場的資料運用問題堆料場的資料運用問題 欲圍建一個面積為288平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三面墻壁新建，現(xiàn)有一批高為假設(shè)干、總長度為50米的用于圍建圍墻的建筑資料，問這批建筑資料能否夠用？ 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值解：設(shè)場地的寬為解：設(shè)場地的寬為x x ，為使場地面積為，為使場地面積為288 288 平平方米，那么場地的長應(yīng)為

12、方米，那么場地的長應(yīng)為 288/x 288/x假設(shè)以 l 表示新建墻壁總長度，那么目的函數(shù)為 xxxl2882)(), 0( x1求導(dǎo)數(shù)： 22882)(xxl 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值2求駐點和不可導(dǎo)點：令02882)(2xxl得駐點為x=12 3求二階導(dǎo)數(shù)： 325762882)(xxxl0576)12(123xxl所以， x=12是極小值點。 即當(dāng)寬12米，長為24米時，用料最少。 4.2 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點4.3.1 曲線的凹凸及其判別法曲線的凹凸及其判別法 定義4.3 假設(shè)曲線弧位于其每一點切線的上(下)方，那么稱

13、曲線弧是凹(凸)的。第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點 假設(shè)曲線是凹的，那么其切線的傾斜角隨假設(shè)曲線是凹的，那么其切線的傾斜角隨x的增大而增大。的增大而增大。 4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點 假設(shè)曲線是凸的，那么其切線的傾斜角隨假設(shè)曲線是凸的，那么其切線的傾斜角隨x的增大而減少。的增大而減少。4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點曲線凹凸的斷定法曲線凹凸的斷定法 設(shè)設(shè)f(x)在在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(1)假設(shè)在(a, b)內(nèi)有 ，那么曲線在(a, b) 內(nèi)是凹的；0)( xf(2)假設(shè)在(a, b)內(nèi)有 ，那么曲線在(a,

14、 b) 內(nèi)是凸的。0)( xf4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點4.3.2 曲線的拐點曲線的拐點 普通地延續(xù)曲線凹凸兩段弧的分界點稱為曲線的拐點。 求延續(xù)曲線的拐點步驟如下：(1)求出函數(shù)f(x)的 或 不存在的點。(2)在求出點的左、右兩邊，假設(shè) 異號，那么該點就是拐點，否那么，就不是拐點。0)( xf)(xf )(xf 4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點例例6 求曲線的凹向區(qū)間與拐點。求曲線的凹向區(qū)間與拐點。 1arctan234xxy解：解： 2364xxy) 1(1212122xxxxy1201xx，41arctan0 xy141arctan211xy拐點為 和 )4, 0

15、() 14, 1 (4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點4.3.3 曲線的漸近線曲線的漸近線 假設(shè)曲線y=f(x)上的動點P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點時，點P與某直線L的間隔趨于零，那么L稱為該曲線的漸近線。 漸近線分為三類：程度漸近線、垂直漸近線、斜漸近線。 4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點1. 垂直漸近線垂直漸近線 假設(shè) ，那么c是f(x)的垂直漸近線。 )(limxfcx( )lnsinf xx4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點2. 程度漸近線程度漸近線 bxfx)(lim，那么y=b是f(x)的程度漸近線。( )1xf xxx=-1為垂直漸近線為垂直漸近線 y=1為程度漸

16、近線為程度漸近線 4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點4.3.4 作函數(shù)圖形的普通步驟作函數(shù)圖形的普通步驟1確定函數(shù)的定義域、延續(xù)點；2確定函數(shù)的特性，如奇偶性、周期性等；3求出函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)，確定極值點、拐點；4確定曲線的漸近線；5計算一些特殊點的坐標(biāo)；6延續(xù)點、極值點與拐點把定義域分為假設(shè)干區(qū)間，列表闡明這些區(qū)間上函數(shù)的增減性與凹凸性；7作圖。4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點例例6 作出函數(shù)作出函數(shù) 的圖形。的圖形。xxy3解解: 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 ，非奇非偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)，沒有漸近線沒有漸近線 ；3 ,(xxxxxy32363230 y2x又x=3時一階導(dǎo)數(shù)

17、不存在 0)3(443322323)3236(23 xxxxxxxxy4.3 曲線的凹凸與拐點曲線的凹凸與拐點4.4 洛比達(dá)法那么洛比達(dá)法那么1. 型未定式型未定式 00法那么法那么1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)和和g(x)滿足條件：滿足條件：第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用(2)在點a的某個空心鄰域內(nèi)， ， 存在，且 ；)(xf ( )g x0)( xg0)(lim)(limxgxfaxax(1)()(limxgxfax(3) 存在或為 )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax4.4 洛比達(dá)法那么洛比達(dá)法那么例例 7 22322000tansec11tan1limlimlim333x

18、xxxxxxxxx2222222222tansec()sec11limlimlim444422tansec()secxxxxxxxxxxx2. 型未定式型未定式 法那么法那么2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)和和g(x)滿足條件：滿足條件：(2)在點a的某個空心鄰域內(nèi)， ， 存在，且 ；)(xf ( )g x0)( xglim( )lim ( )xaxaf xg x (1)()(limxgxfax(3) 存在或為 )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax4.4 洛比達(dá)法那么洛比達(dá)法那么4.4 洛比達(dá)法那么洛比達(dá)法那么例例 8 200001lnsinlimlimlimlim sin0cotcs

19、cxxxxxxxxxxx 22356561limlimlim621122122xxxxxxxxx4.5 運用與實際運用與實際第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用4.4.1 運用運用1邊沿分析邊沿分析 00limlimxxC xxC xCMCCxxx 邊沿本錢邊沿本錢)(xRdxdRMR邊沿收入邊沿收入邊沿利潤邊沿利潤)(xLdxdLML4.5 運用與實際運用與實際 例例 9 某糕點廠消費某種糕點的收入函數(shù)為某糕點廠消費某種糕點的收入函數(shù)為 (千元千元)，本錢函數(shù)為，本錢函數(shù)為 (千元千元)，x的單位是百公斤問應(yīng)消費多少公斤糕點才不的單位是百公斤問應(yīng)消費多少公斤糕點才不賠錢？賠錢？ ( )R xx

20、3( )1xC xx解：利潤函數(shù)解：利潤函數(shù) 3( )( )( )1xL xR xC xx4.5 運用與實際運用與實際當(dāng)x=9百公斤時，L(x)=0，不賠錢。當(dāng)x9百公斤時，L(x)9百公斤時，L(x)0，賺錢。 邊沿利潤 ，闡明多消費可以提高總利潤 。22( )0(1)MLL xxx 當(dāng)邊沿利潤大于零時，僅闡明總利潤在遞當(dāng)邊沿利潤大于零時，僅闡明總利潤在遞增，并不闡明賺錢。增，并不闡明賺錢。 4.5 運用與實際運用與實際 例例10 假設(shè)某產(chǎn)品每天消費假設(shè)某產(chǎn)品每天消費x單位時，總本錢單位時，總本錢函數(shù)函數(shù) 元，銷售單價為元，銷售單價為25元。元。設(shè)產(chǎn)品能全部售出，問每天消費多少單位時，才設(shè)產(chǎn)

21、品能全部售出，問每天消費多少單位時，才能獲得最大利潤。能獲得最大利潤。 2C( )0.2510 xxx解：總收益函數(shù)解：總收益函數(shù) xpx25R(x)總利潤函數(shù) 2( )( )( )15 -0.25L xR xC xxx4.5 運用與實際運用與實際( )150.50L xx30 x 由于L(x)是單峰曲線， x=30就是L(x)的最大值點，最大值為L(30)=225元。所以產(chǎn)量為30單位時，能獲得最大利潤225元。 為獲得最大利潤，應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊沿收益為獲得最大利潤，應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊沿收益等于邊沿本錢的程度。等于邊沿本錢的程度。 4.5 運用與實際運用與實際 例例11 設(shè)每月產(chǎn)量為設(shè)每月產(chǎn)量

22、為x噸時，總本錢函數(shù)噸時，總本錢函數(shù) 元。求元。求(1)最低平均本錢；最低平均本錢；(2)相應(yīng)產(chǎn)量的邊沿本錢。相應(yīng)產(chǎn)量的邊沿本錢。21( )849004C xxx解：解：(1)平均本錢函數(shù)為平均本錢函數(shù)為 ( )1490084C xACxxx 4.5 運用與實際運用與實際2490041xCA0CA140 x此時 ，所以AC最小，最小值為78元。0 CA (2)邊沿本錢函數(shù)為 ，當(dāng)產(chǎn)量為140噸時，邊沿本錢為78(元。1( )82MCC xx最低平均本錢與相應(yīng)產(chǎn)量的邊沿本錢相等。最低平均本錢與相應(yīng)產(chǎn)量的邊沿本錢相等。 4.5 運用與實際運用與實際2彈性分析彈性分析 用需求彈性去分析總收益或市場銷

23、售總額的變化。 總收益R是商品價錢p與銷售量Q的乘積，即R=pQ ，那么(1)(1)ppRQp QQQQQ4.5 運用與實際運用與實際 例例12 設(shè)某商品的需求函數(shù)為設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=2-0.1p(Q是是需求量，需求量，p是價錢，是價錢，(1)求需求彈性；求需求彈性；(2)討論討論需求彈性的變化對總收益的影響。需求彈性的變化對總收益的影響。解：解： (1)需求彈性為需求彈性為0.120.120pppQQpp 4.5 運用與實際運用與實際 (2) 令 ，得p=10。1p 當(dāng)0p10時， 低彈性，此時應(yīng)采用提高價錢的手段使總收益添加；1p 當(dāng)10pvalue 在指定區(qū)間上按選項定義值同時畫出

24、多個函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖形，其格式如下：Plotf1 ， f2， f3， x，xmin，xmax，option-value 4.5 運用與實際運用與實際例例13 描畫描畫 函數(shù)的圖像。函數(shù)的圖像。29623xxxy解：解： In1: _:= 36 292f xxxxIn2: Plot , ,0.1,3.8f xxOut2Graphics Out2Graphics 4.6 拓展與提高拓展與提高第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的運用導(dǎo)數(shù)的運用1. 用函數(shù)單調(diào)性的斷定法證明不等式用函數(shù)單調(diào)性的斷定法證明不等式例例14 試證：當(dāng)試證：當(dāng)x0時，有時，有 xln(1+x)。 4.6 拓展與提高拓展與提高2. 利用極

25、值判別法利用極值判別法1和極值判別法和極值判別法2在判別極值在判別極值為極大值還是極小值時，應(yīng)留意以下原那么：為極大值還是極小值時，應(yīng)留意以下原那么： (1)(1)假設(shè)較假設(shè)較 簡單，那么極值判別法簡單，那么極值判別法2 2更方便些；更方便些；反之，那么應(yīng)選用極值判別法反之，那么應(yīng)選用極值判別法1 1。 )(xf (2)(2)假設(shè)假設(shè) ，那么極值判別法，那么極值判別法2 2失效，須用極失效，須用極值判別法值判別法1 1判別。判別。0)(0 xf4.6 拓展與提高拓展與提高例例15 求函數(shù)求函數(shù) 的極值。的極值。322)2()(xxxf解：此函數(shù)的定義域為解：此函數(shù)的定義域為 ),(3231223)1 (4)22()2(32)(xxxxxxxf 函數(shù)在x=1處導(dǎo)數(shù)等于零，在x=0，x=2處導(dǎo)數(shù)不存在。列表如下： 4.6 拓展與提高拓展與提高3. 斜漸近線斜漸近線 ，那么y=ax+b是f(x)的斜漸近線。lim