數(shù)列小題（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（二模））（解析）

1、（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（二模）數(shù)列小題一、單選題1已知實(shí)數(shù)滿足，且，可以按照某個(gè)順序排成等差數(shù)列，則（ ）A不可能是等差中項(xiàng)B不可能是等差中項(xiàng)C不可能是等差中項(xiàng)D，都可能是等差中項(xiàng)【答案】D【分析】分三種情況討論，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】若是等差中項(xiàng)，則由，此時(shí)或，如圖（2）所示，所以A不正確；若是等差中項(xiàng)，則由，此時(shí)或，如圖（1）所示，所以B不正確；若是等差中項(xiàng)，則由，此時(shí)或，如圖（3）所示，所以C不正確；所以，都可能是等差中項(xiàng).故選：D.圖（1） 圖（2） 圖（3）2已知等差數(shù)列，正整數(shù)，滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD以上均不正確【答案】D【分析】利用等差數(shù)列

2、的性質(zhì)可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由為等差數(shù)列，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，又，所以，即，所以，又不能為無(wú)理數(shù)，故的取值范圍是不符合ABC選項(xiàng).故選：D3已知無(wú)窮數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)且公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則（ ）A數(shù)列不可能是等差數(shù)列B數(shù)列不可能是等差數(shù)列C數(shù)列不可能是等差數(shù)列D數(shù)列不可能是等差數(shù)列【答案】D【分析】計(jì)算等差數(shù)列的和，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題可知：，其中對(duì)A，所以數(shù)列是公差為等差數(shù)列，故A錯(cuò)對(duì)B，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列可能是等差數(shù)列，故B錯(cuò)對(duì)C，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列可能是等差數(shù)列，故C錯(cuò)，不可能轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次函數(shù)形式，故數(shù)列不可能是等差數(shù)列，故D正

3、確故選：D4已知遞增等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列，則（ ）ABCD【答案】D【分析】結(jié)合題中所給的條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式以及三數(shù)成等比數(shù)列的條件，列出等量關(guān)系式，求得其首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求其前10項(xiàng)和，從而得到正確答案.【詳解】因?yàn)槭沁f增等差數(shù)列，所以，即，由成等比數(shù)列，所以，整理得，即，聯(lián)立求得，或（舍去）所以，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及三數(shù)成等比數(shù)列的條件.5已知數(shù)列滿足且，則的最小值是（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知遞推關(guān)系式可得，采用累加法可將所求式子表示為，由為偶數(shù)可

4、確定時(shí)取最小值，代入可得結(jié)果.【詳解】由得：，累加得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)；為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)；則為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值當(dāng)數(shù)列滿足，（且為偶數(shù)），（且為奇數(shù)）時(shí)，符合條件.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求解含絕對(duì)值的數(shù)列的和的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)累加法得到所求的和與數(shù)列中的項(xiàng)之間的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含絕對(duì)值的二次函數(shù)的最值的求解問(wèn)題.6已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的整數(shù)部分是（ ）A2021B2022C2023D2024【答案】B【分析】由已知得，利用，得，又因?yàn)闀r(shí)，可得答案.【詳解】由，得，即，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以時(shí)，所以的整數(shù)部分為2022

5、.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式、求和，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出和，考查了推理能力與計(jì)算能力.7若公比為的無(wú)窮等比數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，則（ ）A有最大值1B有最大值2C有最小值1D有最小值2【答案】B【分析】由題得，得到，即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閷?duì)于任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，所以，因?yàn)?所以有最大值.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：最值問(wèn)題的求解常用的解法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，數(shù)列滿足，且.則（ ）A0BC21D22【答案】A【分析】根據(jù)題

6、意變形可得，根據(jù)累加法求出，是定義在上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以周期，所以即可得解.【詳解】由可得，通過(guò)累加法可得： 所以 ，所以20，是定義在上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以周期，由是定義在上的奇函數(shù)，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查了裂項(xiàng)相消法，同時(shí)考查了利用函數(shù)對(duì)稱性求周期，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）累加法求通項(xiàng)；（2）裂項(xiàng)相消法求和；（3）函數(shù)利用對(duì)稱性求周期.9已知數(shù)列滿足：，則（ ）ABCD【答案】C【分析】?jī)蛇吶?duì)數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得，結(jié)合的單調(diào)性和數(shù)列的遞推式可得，可得出選項(xiàng)【詳解】由，得，兩邊取對(duì)數(shù)，即

7、，令，由可得在上單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減，且，可得，又恒成立，若，則數(shù)列為常數(shù)列，不滿足，所以，且，則， ，依些遞推，得，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，屬于難題.10已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A1008B1009C2016D2018【答案】B【分析】對(duì)進(jìn)行賦值可得，代入化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得.利用賦值法可得，進(jìn)而可得；利用與可得，進(jìn)而可得，所以可得，而，所以可得，兩式綜合解方程組可得，從而可得，所以可得.【詳解】因?yàn)?，所以，故，所以，所以，故，由上式可得，所以，因?yàn)?，所以，所以；?/p>

8、為，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】數(shù)列中已知遞推關(guān)系時(shí)，往往需要對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行一系列的賦值，從而可得數(shù)列的一般性質(zhì)，如周期性.11已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則下列正確的是（ ）AB數(shù)列是遞減數(shù)列C數(shù)列是遞增數(shù)列D【答案】D【分析】由已知遞推關(guān)系式可證得；由可推導(dǎo)得到，知A錯(cuò)誤；根據(jù)，可知數(shù)列為遞增數(shù)列，知B錯(cuò)誤；根據(jù)，可知數(shù)列為遞減數(shù)列，知C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由可得，由此得到；當(dāng)時(shí)，可求得，驗(yàn)證知成立，由此得到D正確.【詳解】，又為正項(xiàng)數(shù)列，；對(duì)于A，由得：，兩邊同除得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得：，又，即，為遞增數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，又，又，即，為遞減數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)

9、A的辨析知：，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，即，又，解得：，又，滿足，恒成立，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問(wèn)題，重點(diǎn)考查了數(shù)列單調(diào)性的判斷；判斷數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠采用作差或者作商的方式，得到數(shù)列前后項(xiàng)之間的大小關(guān)系，從而確定數(shù)列單調(diào)性.二、填空題12已知數(shù)列滿足，則_.【答案】10【分析】先求出，再根據(jù)遞推公式求.【詳解】由題得時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故答案為：1013已知數(shù)列滿足，則_.【答案】2020【分析】先利用判斷出為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，式子兩端除以，整理得：，即為常?shù)列.因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：2020【點(diǎn)睛】

10、數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法：觀察歸納法；公式法；由求；由遞推公式求通項(xiàng)公式.14數(shù)列中，則_.【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即可求解.【詳解】，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故答案為：.15九章算術(shù)中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問(wèn)何日相逢，各穿幾何？”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則_尺.【答案】【分析】大、小老鼠每天打洞的距離符合等比數(shù)列，分別計(jì)算大、小老鼠打洞

11、長(zhǎng)度之和，然后簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】由題意知:大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以大老鼠前天打洞長(zhǎng)度之和為,同理小老鼠前天打洞長(zhǎng)度之和為,所以所以故答案為：16設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，且，則的最小值為_(kāi)【答案】88【分析】從入手，換成的形式，因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，故，求出其范圍即可【詳解】由題意，.設(shè).則因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，故.即，解得或（舍去）.故.此時(shí)，滿足即的最小值為88.故答案為：88【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵之處是利用主元法，通過(guò)整體換元，找到方程有解條件，進(jìn)而求出其最小值三、雙空題17我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化

12、尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)和，則是的更為精確的近似值.現(xiàn)第一次用“調(diào)日法”：由得到的更為精確的近似值為，則_.第二次用“調(diào)日法”：由得到的更為精確的近似值為，記第次用“調(diào)日法”得到的更為精確的近似值為.若，則_.【答案】 6 【分析】利用“調(diào)日法”的算法可得；按“調(diào)日法”的算法依次計(jì)算，逐步推理即可得解.【詳解】由“調(diào)日法”的算法可得；第二次：，則，第三次：，則，第四次：，則，第五次：，則，第六次：，則，由此得時(shí)，n=6.故答案為：；618有一種病毒在人群中傳播，使人群成為三種類型：沒(méi)感染病毒但可能會(huì)感染病毒的型；感染病毒尚未康復(fù)的型；感染病毒后康復(fù)的型（所有康復(fù)者都對(duì)病毒免疫）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：每隔一周，型人群中有95%仍為型，5%成為型；型人群中有65%仍為型，35%成為型；型人群都仍為型若人口數(shù)為的人群在病毒爆發(fā)前全部是型，記病毒爆發(fā)周后的型人數(shù)為型人數(shù)為，則_；_（用和表示，其中）【答案】 【分析】由題意，列出關(guān)系式，結(jié)合等