平面向量的奔馳定理解析版

1、專(zhuān)題九平面向量的奔馳定理如圖，已知P為ZABC內(nèi)一點(diǎn)，則有SzpbcPA+S»apacPB+SzpabPC=0.SAABDSZBPDS/PAB證明：如圖，延長(zhǎng)AP與BC邊相交于點(diǎn)則D，DCSMCD-SACPDSAPAC,DC-),BD->S-pac>Sapab>.PD=-PB+PC,-PD=-PB+-PC,BCBCSapac+SapabSzpac+SzpabPDSbpdSacpdSabpd+SzcpdSapbcqSapbc>=,.PD=-pA,PASabpaSacpaSabpa+S/cpaSapac+SapabSpac+Spab即SzpbcPA=S，A；PBT

2、SAPABPC,SapbcPA+SapacPB+SapabPC=0.S嚀ac+SapabS嚀ac+SzpabSapac+Sapab由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車(chē)的標(biāo)志很相似，我們把它稱(chēng)為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用.奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一推論：已知P為那BC內(nèi)一點(diǎn)，且xPA+yPB+zPt=0.(x,v,zCR,xyzw0,x+y+zw0).則有(1)Sapbc:Safac:Safab=|x|：|y|：憶|.Spbc_xSmc_ySafab_z(2)S3bcx+y+z|'Saab

3、cx+y+z|'Szabcx+y+z”【例題選講】例1(1)設(shè)點(diǎn)O在那BC的內(nèi)部，且有OA+2(DB+3(DC=0,則那BC的面積和AAOC的面積之比為()A.3B.5C.2D.332答案A解析分別取AC、BC的中點(diǎn)D、E,OA+2OB+30t=0,/.OA+Ot=-2(OB+Ot),即20b=40E,O是DE的一個(gè)三等分點(diǎn)，.衿C=3.SAAOC秒殺根據(jù)奔馳定理得，Saabc：Szaoc=(1+2+3):2=3,(2)在4ABC中，D為那BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AD=3aB+/，則等于()1A.o6答案B解析C.2如圖，由點(diǎn)D在那BC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點(diǎn)處，

4、從c1用有Saabd=2Sabc,1111crn,SabcdSaacd=§Saabc,Szbcd=12-3Szabc=gSmbc,所以sbd13,秒殺由ADmAB+JAC得，DA+2D6+3DC=0,根據(jù)奔馳定理得，SaBCD：Saabd=1：3.32已知點(diǎn)A,B,C,P在同一平面內(nèi),i5q=1rA,qr=qb,曲=；RC,則SAABC:SZPBC等于(3331(PBPQ),整理得Pr=1Pb+-2Pq=1Pb+-2PA,由俞=33339A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6答案b解析由徐=3曲，得PRPQ=1RC,得RP=1(PCPR),整理得Pr=-1Pc,-1Pc=i

5、5b+-2PA,整理得4pA+6Pfe+9Pt=o,根據(jù)奔馳定理得,332239Smbc:Sapbc=(4+6+9):4=19:4.(4)已知點(diǎn)P,Q在AABC內(nèi)，PA+2由+3Pt=2QA+3Qfe+5QC=0,則有|Ab|“1A30答案AC32解析根據(jù)奔馳定理得，S/pbc：Szpac:Sapab=1：2：3,D，33SAQBC:SAQAC:SaQAB=2：3：5,.JPQJ=1_1=i|岫5630=0,整理得AO=2AB+99AC,故選A.Sapab=S/qab=Saabc)，PQIIAB,又Szpbc=nS%bc)Saqbc=Saabc,265(5)點(diǎn)O為"BC內(nèi)一點(diǎn)，若Sa

6、aob:Szboc：Smoc=4：3：2,設(shè)AO=rABFdC則實(shí)數(shù)入和科的值分別為()AI，4B.4,2C.2D.-2,1,99999999答案A解析秒殺根據(jù)奔馳定理，得3(DA+2Ofe+4(DC=0,即3OA+2(OA+A6)+4(OA+AC)(6)設(shè)點(diǎn)P在AABC內(nèi)且為那BC的外心，/BAC=30°,如圖.若APBC,APCA,4PAB的面積分別為12，x,y,則x+y的取大值是答案解析根據(jù)奔馳定理得，gpA+xPfe+yPfe"即AP=2xFB+2yFb,平方得扉2=4/奇32+4y2pC2+8xy|PB|pC|cOsBPC，又因?yàn)辄c(diǎn)P是9BC的外心，所以|改|=

7、|PB|=|PC|,且/BPC=2/BAC=60°,所以x2+y2+xy=1,4x+y+22,解得0<X+以(x+y)max=.3【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.設(shè)O是那BC內(nèi)部一點(diǎn)，且QA+oC=-2oB,則AAOB與3OC的面積之比為1.答案2解析設(shè)d為ac的中點(diǎn)，連接od,則OA+Ot=2OD.又OA+Ot=2Ofe,所以O(shè)D=(5b,1即。為BD的中點(diǎn)，從而容易得AAOB與9OC的面積之比為2.秒殺由OKoC=-2qB,得OA+OC+2qB=0,根據(jù)奔馳定理得，AAOB與"OC的面積之比2.設(shè)O在那BC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且OA+Ofe+2OC=0,則那BC的面積與9OC

8、的面積的比值為.2.答案4解析d為ab的中點(diǎn)，則Ob=1(5A+(5B),又OA+OB+2Ot=0,.,.(5b=-Ot,，O1一1一一為CD的中點(diǎn).又D為AB的中點(diǎn)，S/aoc=2Saadc=4Saabc,則S/ABCSaaoc=4.秒殺因?yàn)镺A+Ofe+2Ot=0,根據(jù)奔馳定理得，SaBC=4.SMOC3,已知P,Q為那BC中不同的兩點(diǎn)，且3PA+2PB+pC=0,qA+qB+qC=0,貝USafab:SZXQAB為.3 .答案1：2解析因?yàn)?pA+2FB+命=2（冰+FB）+FA+Pt=0,所以P在與BC平行的中位線上，且是該中位線上的一個(gè)三等分點(diǎn)，可得Szpab="6smbc

9、,QA+QB+QC=0,可得Q是"BC的重心，因此SAQAB=3sAabc,Sapab:Saqab=1-2,故選A.秒殺由3PA+2PB+|PC=0,QA+Qfe+QC=0,根據(jù)奔馳定理得，SAPAB:Szabc=1：6,Szqab:Saabc=1：3=2:6,所以Szpab:Saqab=1：2,故選A.4 .已知D為那BC的邊AB的中點(diǎn)，M在DC上滿足5AM=危+血，則那BM與祥BC的面積比為（）C35 .答案C解析因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AB=2AD,因?yàn)?AM=癰+血，所以2AM2AD=3AC33AM,即2DM=3MC,所以5DM=3DM+3MC=3DC,所以DM=DC,設(shè)hi

10、,h2分別是AABM,AABC51Saabm3Saabc=5'6 .若M是那BC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足BA+EBC=4Bm,則那BM與3CM的面積之比為（）B-3c4D.2是2Bb=4BMl,從而B(niǎo)d=2Bm，即m為bd7 .答案A解析設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則BA+BC=2BD,于的中點(diǎn)，于是&=2S=墨=2.秒殺由BA+BC=4iBM,得AM+2BM+CM=0,根據(jù)奔馳定理得,SAABM1SAACM26.已知6.答案=0,O是面積為4的祥BC內(nèi)部一點(diǎn)，且有OA+OB+2OC=0,則9OC的面積為.1解析如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,BC中點(diǎn)為N.因?yàn)镺A+oC+OB+OC=0,所以2OM+2（5

11、n所以O(shè)Mi+ON=0,O為中位線MN的中點(diǎn)，所以Saaoc=2Saanc=2aSaabc=4x4=1.出秒殺根據(jù)奔馳定理得，Saobc:Saoac:Saoab=1：1：2.因?yàn)镾zabc=4,所以Szaoc=1.7 .已知點(diǎn)D為那BC所在平面上一點(diǎn)，且滿足AD=1Al-4CA,若4ACD的面積為1,則評(píng)BD的面積為558 .答案4解析由aD=1aB4cA,得5Ab=茹+4品，所以ADAfe=4(AtAD),即bD=4DC.所55以點(diǎn)D在邊BC上，且|BD|=4|DC|,所以Saabd=4Saacd=4.秒殺由AD=1AB4CA,得8AD+BD+4CD=0,根據(jù)奔馳定理得，SMBD:S3cd=4：1,所以SMBD55=4.一.一.一.一一一二±-二L一9 .已知點(diǎn)P是4ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF/BC,實(shí)數(shù)x,y滿足RA+xPB+yPC=0,設(shè)祥BC,SiS2QPBC,APCA,APAB的面積分別為S,Si,S2,S3,記S1=4,q=瓦琶=3則加為取最大值時(shí)，SSS3x+y的值為（）1 _3_A.1B.2C.1D.28.答案D解析由題意