廣東中山第一中學(xué)等七校2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題版含解析

1、寶安中學(xué)，潮陽一中，桂城中學(xué)，一田2015屆南海中學(xué)，普寧二中，中山一中，仲元中學(xué)高三摸底考理科數(shù)學(xué)2014.8命題人：普寧二中陳左華潮陽一中黃綿鳳【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點，穩(wěn)中有變，變中求新，適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，體現(xiàn)了用I中求進的精神.考查的知識涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察，同時側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，這套試題以它的知識性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測功能.試題中無偏題，怪題，起到了引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)向全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的方向發(fā)展的作用.一、選擇題：本大題共8小題，每

2、小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的?！绢}文】1設(shè)集合A=x|x23x+2=0,則滿足aUB=0,1,2的集合B的個數(shù)是（）A1B3C4D6【知識點】并集及其運算A1【答案解析】C解析：解：A=x|x2-3x+2=0=x|x=1或x=2=1,2,若AUB=0,1,2,則0cB,則B=0,0,2,1,0,0,1,2,共4個，故選：C【思路點撥】先求出集合A元素，根據(jù)集合關(guān)系和運算即可得到結(jié)論【題文】2.i為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（1+i）（2+i）的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示

3、法及其幾何意義L4【答案解析】A解析：解：復(fù)數(shù)z=（1+i）（2+i）=2+3i-1=1+3i,復(fù)數(shù)對應(yīng)點為（1,3）.在第一象限.故選A【思路點撥】化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，然后求出復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限即可【題文】3.“a=1"是“函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為n”的（）A.必要不充分條件C.充要條件B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件A2,C32幾西二【知識點】三角函數(shù)的周期性及其求法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷【答案解析】A解析：解：解：函數(shù)y=cos、x-sin2ax=cos2ax,它的周期是顯然“a=1”可得“函數(shù)y=cos2ax-sin2ax

4、的最小正周期為?！焙笳咄撇怀銮罢?，故選A【思路點撥】化簡y=cos2ax-sin2ax,利用最小正周期為兀，求出a,即可判斷選項.則由圖可估計樣本重量的【題文】4.右圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖,中位數(shù)為（）團IRS=1,=靠孑及力出化/£3工A.11B11.5C.12D.12.5【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)K8【答案解析】C解析：解：由題意，5,10的樣本有530.063100=30,10,15的樣本有530.13100=50,由于10,15的組中值為12.5,所以由圖可估計樣本重量的中位數(shù)12.故選：C【思路點撥】由題意，5,10的樣本有530.063100=

5、30,10,15的樣本有530.13100=50,結(jié)合10,15的組中值，即可得出結(jié)論.【題文】5.執(zhí)行上圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是()A.5B.7C.9D.11【知識點】程序框圖L1【答案解析】C解析：解：由程序框圖知：第一次運行S=1+2=3,k=1+2=3;第二次運行S=1+2+6=9.k=3+2=5;第三次運行S=1+2+6+10=19,k=5+2=7;第四次運行S=1+2+6+10+14=33,k=7+2=9;此時不滿足條件Sv20,程序運行終止，輸出k=9.故選：C.Sv20,計算輸出k的【思路點撥】根據(jù)框圖的流程依次計算運行的結(jié)果，直到不滿足條件值【題文】6、由曲線y=x2

6、,y=x3圍成的封閉圖形的面積為(7A. 一121B. 一41D.一12【知識點】定積分在求面積中的應(yīng)用B13【答案解析】D解析：解：解：由題意得，兩曲線的交點坐標是(1,1),(0,0)故積分區(qū)間是0,1所求封閉圖形的面積為/01(x2-x3)dx34112故選D【思路點撥】要求曲線y=x2,y=x3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求/01(x2x3)dx即可xy_2【題文】7.已知O是坐標原點，點A(1,0),若M(x,y)為平面區(qū)域1xw1y-2上的一個動點，則OA+OM，的取值范圍是()A1,.51B2,51C1,21D0,、,51【知識點】簡單線性規(guī)劃E5【答案解析】A

7、解析：解：OA+OM=(1,0)+(x,y)=(x1,y),貝U|贏+而l=(工一i)設(shè)z=|0?+P|=._"則z的幾何意義為M到定點D(1,0)的距離，由約束條件作平面區(qū)域如圖，由圖象可知當(dāng)M位于A(0,2)時，z取得最大值z=/l+4=V5,當(dāng)M位于C(1,1)時，z取得最小值z=1,1<z<Vs,即|贏+而|的取值范圍是1,V5,故選：A【思路點撥】由題意作出可行域，由向量的坐標加法運算求得+的坐標，把|轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點M(x,y)到定點N(1,0)的距離，數(shù)形結(jié)合可得答案.【題文】8.對于集合A,如果定義了一種運算“”，使得集合A中的元素間滿足下列4個條件：(

8、i) Va,bwA,都有a©b=A;(ii) 5eeA,使得對VaeA,都有ea=a5e=a；(iii) VaA,三a'wA,使得aa'=aa=e；(iv) Va,b,cwA,都有(a6b)$c=a(bc),則稱集合A對于運算“出”構(gòu)成“對稱集”卜面給出三個集合及相應(yīng)的運算人二整數(shù),運算“金”為普通加法；A=復(fù)數(shù),運算“出”為普通減法；A=正實數(shù),運算“”為普通乘法.其中可以構(gòu)成“對稱集”的有()ABC皿【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷A1【答案解析】B解析：解：人二整數(shù)，運算“”為普通加法，根據(jù)加法運算可知滿足4個條件，其中e=0,a、a'互為相反數(shù)；人=復(fù)數(shù)

9、，運算“”為普通減法，不滿足4個條件；人二正實數(shù)，運算“”為普通乘法，根據(jù)乘法運算可知滿足4個條件，其中e=1,a、a'互為倒數(shù).故選：B【思路點撥】根據(jù)新定義，對所給集合進行判斷，即可得出結(jié)論二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分(一)必做題(913題)【題文】9.若f(x)=2x+2qlga是奇函數(shù)，則實數(shù)a=。【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B4【答案解析】解析：解：函數(shù)f(x)=2x+2xlga是奇函數(shù)101- f(x)+f(-x)=0,.2x+2xlga+2x+2xlga=0,即2x+2x+lga(2x+2x)=0-lga=-1.a=故答案為：.1010【思

10、路點撥】由題設(shè)條件可知，可由函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f(x)+f(-x)=0,由此方程求出a的值題文10.在ABC中，角A，B,C的對邊分別為a，b，c，且acbc,J3a=2bsinA則角B的大小為;【知識點】正弦定理C8【答案解析】60°解析：解：解：由VSa=2bsinA,得JsinA=2sinBsinA因為0VA兀，所以sinAw0,所以sinB=2因為0VB兀，且avbvc,所以B=60°.故答案為：60°.【思路點撥】由V3a=2bsinA,利用正弦定理得gsinA=2sinBsinA,從而可得sinB=,結(jié)2合0vBv兀,且avbvc,可求B.【題文】

11、11.已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如右圖所示.若該四棱錐的側(cè)視圖為直角三角形，則它的體積為.【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積G7【答案解析】1解析：解：解：由四棱錐的俯視圖可知，該四棱錐底面為ABCM正方形，3PO垂直于BC于點Q其中O為BC的中點，若該四棱錐的左視圖為直角三角形，則4BPC為直角三角形，且為等腰直角三角形，1.B0=1,PO=BO=1則它的體積為4.故答案為：3【思路點撥】根據(jù)四棱錐的俯視圖得到四棱錐的特征，根據(jù)四棱錐的左視圖為直角三角形，得到四棱錐的高即可求出它的體積【題文】12.各大學(xué)在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則.一考生從某大學(xué)所給的7個專業(yè)中

12、，選擇3個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該考生不同的填報專業(yè)志愿的方法有種。【知識點】計數(shù)原理的應(yīng)用J1【答案解析】180解析：解：解：甲、乙都不選時，有a=60種；甲、乙兩個專業(yè)選1個時，5有cJcrA120種，士0J根據(jù)分類計數(shù)原理，可得共有60+120=180種不同的填報專業(yè)志愿的方法.故答案為：180.【思路點撥】分類討論，分別求出甲、乙都不選、甲、乙兩個專業(yè)選1個時的報名方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，可得結(jié)論.【題文】13.若實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，點P(T,0)在動直線l:ax+by+c=0上的射影為M,點N(0,3),則線段MN長度的最小值是【知識

13、點】等差數(shù)列的性質(zhì)；點到直線的距離公式D2,H2【答案解析】4-解析：解：因為a,b,c成等差數(shù)列，故有2b=a+c,即a-2b+c=0,對比方程ax+by+c=0可知，動直線恒過定點Q(1,-2).由于點P(-1,0)在動直線ax+by+c=0上的射影為M即/PMQ=900,所以點M在以PQ為直徑的圓上，該圓的圓心為PQ的中點C(0,-1),且半徑為典庭,2再由點N到圓心C的距離為NC=4,所以線段MN勺最小值為NC-r=4-加，故答案為4-血.【思路點撥】由題意可得動直線l:ax+by+c=0過定點Q(1,-2),PMQ=90°,點M在以PQ為直徑的圓上，求出圓心為PQ的中點C(

14、0,-1),且半徑為血.求得點N到圓心C的距離，再減去半徑，即得所求(二)選做題(14、15題,考生只能從中選做一題，兩題全答的，只計前一題的得分)【題文】14、(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中，曲線P=cos6+1與Pcose=1的公共點到極點的距離為N3,1,代入pcos0=1得p【知識點】點的極坐標和直角坐標的互化；兩點間的距離公式【答案解析】近+1解析:解：由p=cos。+1得，cos0=p2T）=1,解得p=%'5+1或p=_立（舍），22所以曲線P=cos。+1與pcos。=1的公共點到極點的距離為亞士1,2故答案為：近H.2【思路點撥】聯(lián)立p=cos。+1與pcos

15、。=1消掉0即可求得p,即為答案【題文】15、如圖所示，過。O外一點A作一條直線與。O交于C,D兩點，AB切。O于B,弦MNiCD的中點P.已知AC=4,AB=6UMf2NP=.【知識點】與圓有關(guān)的比例線段N1【答案解析】/解析：解：:AB為。0的切線，ACD為。0的割4線由切割線定理可得：aB"=AC?ADAC=4,AB=G故AD=9故CD=5又N是弦CD的中點故PC=PD=2由相交弦定理得mp?np=pc?pd='故答案為：1144【思路點撥】由已知中，過。0外一點A作一條直線與。0交于C,D兩點，AB切。0于B,我們由切割線定理，結(jié)合已知中AC=4,AB=6,我們易求出

16、AD的長，進而求出弦CD的長，又由弦MNiCD的中點P,由相交弦定理我們易求出MP?NP三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.【題文】16.（本題滿分12分）1.底點.產(chǎn)已知函數(shù)f（x）=2sin（x+邛）（xWRQc邛c）的圖象過點M（,V3）.322（1）求平的值；(2)設(shè)口，Pw0,2,f(3口+n)=一，f(3P+更)=，求sin(sP)的值21325【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)不?！敬鸢附馕觥浚↖）:6（II）sin（:-）=sin=cos-cos二sin:y=Asin(x+e)的圖象變換C4,C51245333=XX=1351356

17、53T-0:：一：二2解析：解：（1）依題意得2sin（±+5）=點，sin（工十中）=立，662二.二2二一<甲+<66363610(2).f(3:二)=2sin(二一)=2cos;=一,2135.cosot=,137分又f(3.-,1)=2sin('，：；”)-2sin-6,253.sinA=5,9分"吟,sina=Jl一cos2a='1-()2=,cosP=Jlsin20=J1_(3)2,101313'.55124533312分.sin(:2r)=sin一cos-cos-sin-=-一一二13513565“'”【思路點撥】(

18、1)依題意求得sin(匹+。)£!,結(jié)合0V<求得。的值.622(2)由條件求得cosa=A,sin3=2.根據(jù)a,3C0,工,利用同角三角函數(shù)的基本1352關(guān)系求得ina和cos3的值，從而求得sin(a-3)=sinacos3-cosasin3的值.【題文】17.(本小題滿分12分)2014年巴西世界杯的周邊商品有80吐右為“中國制造”，所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮。甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位：毫克).下表是

19、乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編R12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x>175,且y>75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)七的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望)。【知識點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列K6【答案解析】(I)35(II)14(III)0123E()二12510解析:14解：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為5-14=35;,98.2分(2)

20、樣品中優(yōu)等品的頻率為22上，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為35x2=14;,55(3)1,1,2,.5分P(=i)=c2c；，(i=0,1,2),.8分-的分布列為七012P33110510.11分,3土勻值E()=1-5142=-105.12分【思路點撥】（1）利用分層抽樣方法能求出乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù).（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為工，由分層抽樣方法能求出乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量.5（3）由題意知E=0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)E的分布列及其均值.【題文】18.（本小題滿分14分）如圖6,四棱柱ABCDAB1C1D1的底面ABCD是平行四邊形，且AB=1,BC=2,

21、/ABC=60°,E為BC的中點，AA，平面ABCD.證明：平面AAE_L平面ADE;若DE=AE,試求異面直線AE與A1D所成角的余弦值.【知識點】平面與平面垂直的判定;【答案解析異面直線及其所成的角(I)_22_2cosAEF二AEEF_AF2AEEFAB1D圖1分，所以MBE是正三角形,G5,G11(II)1解析：解：依題意，BE=EC=，BC=AB=CD,2/AEB=60°,2分，又NCED=工父(180°-120°)=30°,3分,2P33110510所以/AED=90°,DE_LAE,4分，因為AA_L平面ABCD,DEu

22、平面ABCD,所以AA_LDE,5分，因為AA1PlAE=A,所以DE，平面AAE,6分,因為DEu平面A1DE,所以平面A1AE_L平面ADE,7分.取BBi的中點F,連接EF、AF,8分，連接BQ,則EFB£AD,9分,所以/AEF是異面直線AE與A1D所成的角，10分。因為DE='3,A1E=1AA2+AE2,所以AA=、；'2,11分,所以cos.AEFAE2EF2-AF2_62AEEF-614分(列式計算各1分).【思路點撥】(1)根據(jù)題意，得4ABE是正三角形，/AEB=60,等腰4CDE中/CED(180°2-ZECD=30°,所以/

23、AED=90,得到DELAE,結(jié)合DELAA,得DEL平面AAE,從而得到平面AAE1平面平面AQE.(2)取BB的中點F,連接EF、AF,連接BC.證出EF/AQ,可彳#/AEF(或其補角)是異面直線AE與AD所成的角.利用勾股定理和三角形中位線定理，算出4AEF各邊的長，再用余弦定理可算出異面直線AE與AQ所成角的余弦值.【題文】19.(本小題滿分14分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,且a2+an=2Sn.(D求a1(2)求數(shù)列an的通項；1.5右bn=-2-(nwN),Tn=b+b2+bn,求證：Tn<一an3【知識點】數(shù)列的求和D4【答案解析】(I)a10al=1(

24、II)an=11(n-1)=n(III)Tn=bi+b2+bn<53解析：解：(1)令n=1,得a2+a1=2S1=2a，;a1A0二a1=1,2分2(2)又a；+an=2Sn,有an+an+=2Sn«,，3分-得an+=Sn+Sn，4分(an1an)(an1-an-1)=0an'0-an1an'0an1-an=1，6分an=11(n-1)-n，8分5n=1時>=1v3付合，9分3n22時，因為所以11411222n2n214n2-12n-12n111分1I?:1<3+1+2n-12n1,13分-45-Tn=b1+b2+bn<,14分3【思路點

25、撥】1)a；+an=2S中令n=1求a1(2)又a2n+an=2S有a2n+1+an+1=2S+1,兩式相減得并整理得(an+1+an)(an+1-anT)=0,數(shù)列an是以&=1,公差為1的等差數(shù)列，以此求數(shù)列an的通項；(3)由(2)得出an=n,利用放縮法求證：Tn<§3【題文】20.(本小題滿分14分)已知圓C與兩圓x2十(y+4)2=1,x2十(y2)2=1外切，圓C的圓心軌跡方程為L,設(shè)L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n.(I)求圓C的圓心軌跡L的方程；(n)求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程；(出)試探究

26、軌跡Q上是否存在點3(x1,),使得過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形1的面積等于1。若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由。2【知識點】直線和圓的方程的應(yīng)用；圓與圓的位置關(guān)系及其判定H4【答案解析】(I)y=1(|)x2=4y(III)(2,1)或(2,1)解析：解：(I)兩圓半徑都為1,兩圓心分別為C1(0,4)、C2(0,2),由題意得CC1=CC2,可知圓心C的軌跡是線段C1c2的垂直平分線，C1c2的中點為(0,-1),直線C1c2的斜率等于零，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程為y=-1,即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1。(4分)(n)因為m=n，所以M(x,y

27、)到直線y=1的距離與到點F(0,1)的距離相等，故點M的軌跡Q是以y=-1為準線，點F(0,1)為焦點，頂點在原點的拋物線，衛(wèi)=1,即p=2,2所以，軌跡Q的方程是x2=4y(8分)11211(出)由(n)得y=x,y=x,所以過點B的切線的斜率為k=x1，切線方程42241122Vl為yy=cx(xx1)，令x0得y=-x+y1,令y=0得x=+x1,22x11o因為點B在x=4y上，所以y1=x14.121故y=_x1,x=x142所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為12X1所以x1二2rr131mc即X1=一得x1=2,162當(dāng)X=2時，y1=1,當(dāng)x1=2時，y=1,所以點B的坐標為(2,1)或(2,1).(14分)【思路點撥】(I)確定兩圓心分別為G(0,-4)、G(0,2),由題意得CC=CG,從而可求圓心C的軌跡是線段GC2的垂直平分線方程；(n)因為m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點F(0,1)的距離相等，故點M的軌跡Q是以y=-1為準線，點F(0,1)為焦點，頂點在原點的拋物線，從而可得軌跡Q的方程；(出)設(shè)出切線方程，求出切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，利用S，即可求得結(jié)論2【題文】21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=kex-x2(其中kw