探究基本不等式及其幾何意義

1、探究基本不等式及其幾何意義口童雁一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學（5）（人教A版）第三章3.4基本不等式。根據(jù)任教的學生的實際情況，將基本不等式劃分為兩節(jié)課（探究基本不等式及其幾何意義，基本不等式及其應用），這是第一節(jié)課“探究基本不等式及其幾何意義”?；静坏仁绞遣坏仁街械闹匾坏仁?，應用它不僅可以證明不等式，同時在生活及生產(chǎn)實際中對于部分函數(shù)的最值的求法是一個有力的工具，所以對基本不等式的探究很重要。二、學情分析基本不等式是在學生學習了不等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對不等式性質(zhì)及證明的應用。教材一開始就以中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為背景，力圖探究基本不等式與其幾何意義。同時教

2、材通過例1、例2已經(jīng)讓學生感受到基本不等式的實際背景與應用，但這兩個例子匆忙放在第一節(jié)來處理，顯然會沖淡對基本不等式的結(jié)構(gòu)和幾何意義的探究。因此，本節(jié)主要從培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想為出發(fā)點，設計了一系列基本不等式（鏈）的問題，通過代數(shù)與幾何作圖方法，使學生感受不等式結(jié)構(gòu)中蘊含的數(shù)形結(jié)合的美。三、設計思想1 .通過具有一定思考價值的問題情境，提升學生持久的好奇心。使學生直接感受和體會平均數(shù)的實際意義；2 .教材對兩個基本不等式各給出一種幾何解釋。本節(jié)課，力圖讓學生從不同的角度去探究基本不等式，讓學生體會到基本不等式不僅是一個簡單的式子，而且具有豐富的幾何意義。3 .感受數(shù)學文化的影響并體會這種數(shù)形

3、結(jié)合的研究方法，以便能將其遷移到其它不等式與數(shù)學知識的研究中去。4 .在教學過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究數(shù)學的方法。5 .通過課堂教學活動向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法。四、教學目標新課程高中數(shù)學教材（必修5）中，對基本不等式的教學提出了“探索并了解基本不等式的證明過程”。根據(jù)學生的實際情況，本節(jié)課確定的教學目標是：通過類比，從圖象和代數(shù)結(jié)構(gòu)這兩種不同角度探究基本不等式的證明過程，加深對基本不等式的認識，讓學生在數(shù)學活動中感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思想方法之重要；同時通過本節(jié)課的學習，使學生感受數(shù)學

4、文化的影響，進一步培養(yǎng)探究數(shù)學問題的興趣；培養(yǎng)學生主動學習、合作交流的意識。五、教學重點與難點教學重點：基本不等式鏈的代數(shù)證明與幾何意義的闡釋。教學難點：對基本不等式鏈的幾何意義的闡釋。六、教學過程：創(chuàng)設情景、提出問題師：用一個兩臂長短略有差異的天平稱一樣物品，有人說只要左右各秤一次，將兩次所稱重量相加后除以2就是物品的重量了.你覺得這種做法對嗎？若不是，那比實際重量輕了還是重了？學情預設：（學生可能會說出以下可能）1 .實際重量應該在a,b之間；2 .實際重量可能是3 .好像有問題，不會那么簡單，但不知怎么說；4 .想到物理中的杠桿原理，但不知怎么說明；5 .利用物理中的杠桿原理，推出實際重

5、量是可以請答對的學生到臺上給大家講講。若無人答對，教師講授如下：解：設物品的實際重量是G,天平的兩臂長分別為11,12,由杠桿原理有：l1G=,12a,11b=12G,兩式相除得G（a0,b0）。故物品的實際重量應該是師：一般地，對于非負實數(shù)a、b,我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，為a、b的幾何平均數(shù)，二者之間的大小關(guān)系如何呢？大家可以再猜一猜。（設計意圖）設計這樣一個具有一定思考價值的問題情境，提升學生學習新知的興趣和欲望，使學生直接感受和體會平均數(shù)的實際意義和研究價值。師生互動、探究新知1. 的探求：學情預設：(學生可能會說出以下可能)(1)用兩個數(shù)字代入檢驗可以知道符合a、b是非負實數(shù)的條件

6、嗎？)(4)預習的學生可以給出不等式的證明。2. 的證明：師：根據(jù)大家的討論，對于非負實數(shù)a、b,通過實驗，我們發(fā)現(xiàn)這樣一種關(guān)系：即：兩個非負實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。我們能繼續(xù)給出嚴格的證明嗎？為探究證明方法，先讓我們觀察以下圖形：(1)以下圖1是我國古代數(shù)學家趙爽證明定理時所用過的“勾股方圓圖”，是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？(希望通過這個實例引起學生的興趣與討論)圖2(2)師生：將圖1中的“風車”抽象成圖2.在正方形ABC時有4個全等的直角三角形，設其兩直角邊長為

7、a、b(awb),由面積的幾何意義得到一個不等式a2+b22ah那么何時等號成立呢？(學生不難看出)當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGHI為一個點.這時有a2+b2=2ab一般地，對于任意實數(shù)a、b,我彳門有a2+b22ab。當且僅當a=b時等號成立。(時間允許的話，可以引導學生在正方形中折出一個內(nèi)接正方形。利用圖形可以給出勾股定理的兩種證法。讓學生回到折紙游戲中來，體會游戲與數(shù)學的奇妙性。)(3)師：你還能從以下的圖形中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？(試圖拓展學生對類似問題的幾何構(gòu)思與聯(lián)想)學情預設：在教師的引導下一些學生會發(fā)現(xiàn)和說出以下不等式成立的幾何意義，為此請學生作答。a2+b2

8、2ab(a+b)24ab(4)師：以上一些不等式的幾何意義我們已經(jīng)找到，能用代數(shù)方法給出a2+b22ab的證明嗎？學情預設：對于(a-b)20?圳a2+b22ab(當且僅當a=b時等號成立)，學生不難證明。若a0,b0,用，代替a,b可得？圳(a0,b0)a+b2這種換元的方法學生也不難證明。師：看來通過證明a2+b22ab,以換元的方法即可推出(設計意圖)將學生引入不等式成立的幾何世界中，讓學生不只是關(guān)注不等式成立的代數(shù)結(jié)構(gòu)，而是希望學生以數(shù)形結(jié)合的觀點與思維，全面理解和感受數(shù)學的魅力。3 .進一步探求不等式的幾何意義師：前面對于不等式a2+b22ab,我們可以構(gòu)造幾何圖形說明其意義。那么我

9、們能否也構(gòu)造不等式&的幾何背景呢？如圖所示，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，且AC=a,BC=b過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.你能用這個圖形得出不等式0的幾何解釋嗎？學情預設:在直徑為a與b的和所對應的外接圓中，學生不難看出半徑不小于半弦，這恰恰說明不等式的幾何意義。當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時，等號成師生總結(jié)：不等式的代數(shù)意義：(1)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù);(2)如果把看做是兩正數(shù)a、b的等差中項，看做是兩正數(shù)a、b的等比中項，那么均值不等式可敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.不等式的幾何意義：半徑不小于半弦。設計意圖：用對應的手法，

10、將不等式中包含的代數(shù)結(jié)構(gòu)(等差中項與等比中項)與其幾何意義交織起來，使學生認識數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)意義。4 .不等式鏈的進一步探求師：有人認為不等式鏈成立，你認為對嗎？含有幾個不等式？學情預設：(學生能將不等式鏈分成以下幾部分)(1)(2)(3)師：同學們能分別給出代數(shù)證明嗎？學情預設：(1)對于(2)前面已經(jīng)證明；(2)學生在討論的前提下，可以由以下途徑證明不等式2Ba+b?l|B1?圳?圳01?圳(3)學生在討論的前提下，可以由以下途徑證明不等式：2aba2+b2?圳a2+b2+2ab2a2+2b2?ll|(a+b)2&2a2+2b2?H|?圳&-5 .不等式鏈的幾何解釋：師：在半徑不小于半弦的幾何背景下，我們還能繼續(xù)探求不等式鏈的幾何意義嗎？學情預設：對此問題難度較大，學生不一定能夠想到幾何圖形的構(gòu)造，圖4師：如圖4所示，過C作OD的垂線段交ODTE,則OC-b=MC=那么DE*=由圖形的直觀可以得到：DEDCOMMC所以(設計意圖)為了提升學生的探究能力，有意識的在半徑不小于半弦的幾何圖形中，窮追不舍，進一步挖掘不等式鏈的幾何意義，