課件及試題chap10lec1帶度量的線性空間

1、 大課大課 周二周二 5 - 6 節(jié)節(jié) 周四周四 3 - 4 節(jié)節(jié) 二教二教 205習(xí)題課習(xí)題課 周一周一 10 - 11 節(jié)節(jié) 文史文史 201 理教理教 313 教材教材: 高等代數(shù)高等代數(shù)(下冊(cè)下冊(cè)), 丘維聲著丘維聲著 （清華大學(xué)出版社）（清華大學(xué)出版社） 參考材料：參考材料： 高等代數(shù)學(xué)高等代數(shù)學(xué), 張賢科等著張賢科等著 （清華大學(xué)出版社）（清華大學(xué)出版社） 課件下載課件下載: 用戶名：用戶名：linalg1 密碼：密碼： linalg1 linalg2 linalg2 linalg10 linalg10 進(jìn)入后點(diǎn)擊進(jìn)入后點(diǎn)擊 講義資講義資料料 下載下載9.10 5 , 810.1

2、3 , 5, 810.2 10, 17補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 1, 2, 3補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 1. 求求 K A 與與 C( A ) .2000030000300013A補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 2. 設(shè)設(shè) A = . 求正交矩陣求正交矩陣 P , Q , 使得使得 A = P S QT , 其中其中120002100101000000000S3210321補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 3 . 證明證明: 在在 n 維歐式空間中兩兩夾角都是維歐式空間中兩兩夾角都是 鈍角的非零向量至多有鈍角的非零向量至多有 n + 1 個(gè)個(gè) .幾何直觀有幫助嗎幾何直觀有幫助嗎?例例: 設(shè)設(shè) A = , 求求 K A . 矩陣矩陣 B K A 當(dāng)

3、且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) B 具有形式具有形式 dim K A = 311111111121121321aaaaaaaaa0000000000000000222111J0000010000000000000000010000012222222211211212J00000200000000000000000200001232223232312131121313J0000030000000000000000030000330J,1| , |k21k當(dāng)當(dāng)k21k21kk2k2k11k11kk12k12k1k11kk1k00000C00000000000000000C0000CCJ一般地一般地, 對(duì)對(duì) g(

4、x ) K x , 有有)g(00000)( g)g(000000)g(000000)g(00000)( g)g(0000)(g2!1)( g)g()Jg(2222111111例例: 設(shè)設(shè) A = , 求求 K A . 矩陣矩陣 B K A 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) B 具有形式具有形式 dim K A = 5221111111211213210000000000000000bbbaaaaaa21 例例: 設(shè)設(shè) A = , 求求 C( A ) . B 與與 A 可交換當(dāng)且僅當(dāng)可交換當(dāng)且僅當(dāng) B 具有形式具有形式推論推論: dim C( A ) = 522111111121121321000000000

5、0000000bbbaaaaaa21 例例: 設(shè)設(shè) A = , 求求 C( A ) . B 與與 A 可交換當(dāng)且僅當(dāng)可交換當(dāng)且僅當(dāng) B 具有形式具有形式推論推論: dim C( A ) = 9111111111121211121213210000000000bcbbccadaaddaaa 引理引理: 設(shè)設(shè) A = 是是 Jordan 型矩陣型矩陣, A i 是由特征值相同的是由特征值相同的 Jordan 塊排成的子陣塊排成的子陣 . 若若 B 與與 A 可交換可交換, 則則 B 也有也有 相同的對(duì)角分塊形式相同的對(duì)角分塊形式s21BBBs21AAA例例: 設(shè)設(shè) A , B 是是 V 上的線性變

6、換上的線性變換, 且且 A 與與 C = AB BA 可交換可交換. 證明證明: C 是冪零變換是冪零變換. 取好的基底取好的基底, 使得使得 C 的矩陣的矩陣 C 為為 Jordan 型型取好的基底取好的基底, 使得使得 C 的矩陣的矩陣 C 為為 Jordan 型型: C = Ci 是由特征值相同的是由特征值相同的 Jordan 塊排成的子陣塊排成的子陣.設(shè)在此基底下設(shè)在此基底下, A , B 的矩陣是的矩陣是 A 與與 B . 由由 AC = CA 知有知有 AC = CA . 由前面的引理由前面的引理,s21CCCA 是對(duì)角陣且與是對(duì)角陣且與 C 有相同的分塊形式有相同的分塊形式, A

7、 =將將 B 寫成與寫成與 C 相同的分塊形式相同的分塊形式, B =s21AAAsss2s12s22211s1211BBBBBBBBB則有則有 C = A B B A = Ci = Ai Bi Bi Ai tr( Ci ) = 0 Ci 的對(duì)角元都為的對(duì)角元都為 0ssssss222222111111ABBAABBAABBA 1 對(duì)偶空間對(duì)偶空間 2 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù) 3 Euclid 空間空間, 正交變換與對(duì)稱變換正交變換與對(duì)稱變換 4 酉空間酉空間, 酉變換與酉變換與 Hermite 變換變換 設(shè)設(shè) V 是域是域 K 上的線性空間上的線性空間. V 到到 K 的的 線性映射稱為線性映

8、射稱為 V 上的線性函數(shù)上的線性函數(shù). V 上全體線性函數(shù)構(gòu)成線性空間上全體線性函數(shù)構(gòu)成線性空間, 稱為稱為 V 的對(duì)偶空間的對(duì)偶空間, 記為記為 Hom( V, K ) 或或 V* .線性函數(shù)的例子線性函數(shù)的例子: Mn( K )* = Hom( Mn( K ) , K ) tr : A tr( A ) t i j : A ai j C a , b * = Hom( C a , b , R )baxdxgxfxf)()()( 取定取定 V 的基底的基底 1 , 2 , , n 后后, V 上上的的 線性函數(shù)與線性函數(shù)與 Kn 中向量一一對(duì)應(yīng)中向量一一對(duì)應(yīng) f f ( 1 ) f ( 2 )

9、f ( n ) 這種對(duì)應(yīng)保持加法與數(shù)乘運(yùn)算這種對(duì)應(yīng)保持加法與數(shù)乘運(yùn)算, 是線性空間是線性空間 的同構(gòu)的同構(gòu) V* Kn V 取定取定 V 的基底的基底 1 , 2 , , n , 就確定了就確定了 n 個(gè)個(gè) 特殊的線性函數(shù)特殊的線性函數(shù): 1 2 n 1* 1 0 0 2* 0 1 0 n* 0 0 1 V 的基底的基底 1 , 2 , , n f k1 , k2 , , kn 1* 1 , 0 , , 0 n* 0 , 0 , , 1 f = k1 1* + k2 2* + + kn n* 1*, 2* , , n* 構(gòu)成構(gòu)成 V* 的一組基的一組基取定取定 V 的基底的基底 1 , 2 ,

10、 , n , 就確定了就確定了 n 個(gè)個(gè) 特殊的線性函數(shù)特殊的線性函數(shù): 1*, 2* , , n* ,稱為稱為 1 , 2 , , n 的對(duì)偶基的對(duì)偶基 . nj1ij0ij1j*i)(nn2211kkkiik)(*定理定理: 設(shè)設(shè) 1*, , n* 是是 1 , , n 的對(duì)偶基的對(duì)偶基, 1*, , n* 是是 1 , , n 的對(duì)偶基的對(duì)偶基. 若若 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) P , 則有則有 ( 1*, , n* ) = ( 1*, , n* ) ( PT ) 1 設(shè)設(shè) ( 1*, , n* ) = ( 1*, , n* ) Q 則則 j* = q 1 j

11、1*+ + q n j n* 于是于是 j* ( i ) = q i j ; 另一方面另一方面, 設(shè)設(shè) P 1 = p i j , 有有 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) P 1 , i = p 1 i 1 + + p n i n于是于是 q i j = j* ( i ) = p j i , 故故 Q = ( PT ) 1 例例: 設(shè)設(shè) V 是域是域 K 上的上的 n 維線性空間維線性空間, 則則 以下命題等價(jià)以下命題等價(jià)任給任給 V 的的 1 維子空間維子空間 W1 , W2 , , Ws , 必必 存在存在 V 的的 n 1 維子空間維子空間 W , 使得使得 Wi W

12、, 1 i s .2) 任給任給 V 的的 n 1 維子空間維子空間 W1 , W2 , , Ws , 必有必有 V 的的 1 維子空間維子空間 W , 使得使得 W Wi , 1 i s . 例例: 設(shè)設(shè) V 是域是域 K 上的上的 n 維線性空間維線性空間, 則則 以下命題等價(jià)以下命題等價(jià)任給非零向量任給非零向量 1 , 2 , , s V, 必存在必存在 V 的的 n 1 維子空間維子空間 H , 使得使得 i H , 1 i s .2) 任給任給 V 的真子空間的真子空間 W1 , W2 , , Ws , 必必有有 W1 W2 Ws V 若若 V 是有限維線性空間是有限維線性空間, 則

13、有則有 V V* , 但但 V 與與 V* 的同構(gòu)嚴(yán)重依賴于基底的選取的同構(gòu)嚴(yán)重依賴于基底的選取. 而而 V 到到 V* 有自然的同構(gòu)有自然的同構(gòu), 不依賴于基底的不依賴于基底的選取選取: V V* * ( * : * * ( ) )若若 V 是無(wú)限維線性空間是無(wú)限維線性空間, 是否仍有是否仍有 V V* ? 1 對(duì)偶空間對(duì)偶空間 2 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù) 3 Euclid 空間空間 4 正交變換與對(duì)稱變換正交變換與對(duì)稱變換 5 酉空間酉空間 設(shè)設(shè) V 是域是域 K 上的線性空間上的線性空間. 若若 V 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù) f 滿足滿足 f ( k + l , ) = k f ( , )

14、 + l f ( , ) f ( , k + l ) = k f ( , ) + l f ( , ) , , V , k , l K 則稱則稱 f ( , ) 是是 V 上的雙線性函數(shù)上的雙線性函數(shù) 若對(duì)若對(duì) , V , 有有 f ( , ) = f ( , ) 則稱則稱 f ( , ) 是對(duì)稱雙線性函數(shù)是對(duì)稱雙線性函數(shù) ; 若有若有 f ( , ) = f ( , ) 則稱則稱 f ( , ) 是反對(duì)稱雙線性函數(shù)是反對(duì)稱雙線性函數(shù) . 設(shè)設(shè) V = C a , b , 則則 f : V V R 是是 V 上的上的 ( 對(duì)稱對(duì)稱 ) 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù); 設(shè)設(shè) V = Mn( K ) , 則

15、則 f ( A , B ) = tr( A B ) 是是 V 上的上的 ( 對(duì)稱對(duì)稱 ) 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù).baxdxgxhghf )()(),( K 2 上的反對(duì)稱雙線性函數(shù)上的反對(duì)稱雙線性函數(shù) = ? ?,2121bbaa f,f)(221110,01baba f1001,10012121bbaa f Kn 上的反對(duì)稱上的反對(duì)稱 n-線性函數(shù)都等于線性函數(shù)都等于 nnn2n12n22121n2111n21,aaaaaaaaa ff)(nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaa100,010,001f 在在 V 中取定一組基中取定一組基 1 , , n .設(shè)向量設(shè)向量 , 在

16、該基底下的坐標(biāo)為在該基底下的坐標(biāo)為 X = x 1 , , x n T , Y = y 1 , , y n T則雙線性函數(shù)則雙線性函數(shù) f ( , ) 可表示為可表示為)(),(n1jjjn1iii,yxff),(jin1in1jjifyxYAX),(Tf),(jin1in1jjifyxY),(),(),(),(),(),(),(),(),(Xnn2n1nn22212n12111Tffffffffff 在基底在基底 1 , , n下的度量矩陣下的度量矩陣注注: A 不一定是對(duì)稱矩陣不一定是對(duì)稱矩陣 設(shè)設(shè) f ( , ) 是線性空間是線性空間 V 上的雙線性函數(shù)上的雙線性函數(shù) , f 的左根的左

17、根 = V | f ( , V ) = 0 f 的右根的右根 = V | f ( V , ) = 0 若若 f ( , ) 的左右根都是零子空間的左右根都是零子空間, 則則 稱稱 f 是非退化雙線性函數(shù)是非退化雙線性函數(shù) 例例: 設(shè)設(shè) V = R 3 , 記記 = x 1 , x 2 , x 3 T , = y 1 , y 2 , y 3 T . 令令 f 的左根的左根 = f 的右根的右根 = 3213212331010000100yyyxxxyxyxf),(定理定理: 設(shè)設(shè) V 上的雙線性函數(shù)上的雙線性函數(shù) f ( , ) 在在 基底基底 1 , , n下的度量矩陣為下的度量矩陣為 A .

18、 則則 f 左根維數(shù)左根維數(shù) = f 右根維數(shù)右根維數(shù) = n A 秩秩 特別地特別地, f ( , ) 非退化非退化 A 滿秩滿秩 固定基底后固定基底后, 雙線性函數(shù)與雙線性函數(shù)與 K 上的上的 n 階方陣階方陣 ( 度量矩陣度量矩陣 ) 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng): f ( , ) A Mn( K ) f ( , ) = XT A Y . 當(dāng)基底改變時(shí)當(dāng)基底改變時(shí), 雙線性函數(shù)的度量矩陣是雙線性函數(shù)的度量矩陣是 如何變化的如何變化的? 最簡(jiǎn)單可取成什么形式最簡(jiǎn)單可取成什么形式? 定理定理: 若雙線性函數(shù)若雙線性函數(shù) f 在基底在基底 1 , , n 下的下的 度量矩陣為度量矩陣為 A , 且且 (

19、1 , , n ) = ( 1 , , n ) P . 則則 f 在基底在基底 1 , , n 下的度量矩陣為下的度量矩陣為 PT A P . 證證: 設(shè)設(shè) , 在基底在基底 1 , , n 下的坐下的坐標(biāo)標(biāo) 列向量為列向量為 X , Y , 則則 , 在在 1 , , n下下 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 P X , P Y . 于是于是 f ( , ) = XT B Y = ( P X )T A P Y = XT ( PT A P ) Y B = PT A P 設(shè)域設(shè)域 K 的特征的特征 2 , f ( , ) 是是 V 上的上的 對(duì)稱雙線性函數(shù)對(duì)稱雙線性函數(shù). 則存在則存在 V 的一組基的一組基,

20、使得使得 f 在此基下的度量矩陣是對(duì)角矩陣在此基下的度量矩陣是對(duì)角矩陣 . f ( , ) = d1 x1 y1 + + dn xn yn 若若 A 是特征是特征 2 的域上的對(duì)稱矩陣的域上的對(duì)稱矩陣, 則可則可通過(guò)以下三種合同變換通過(guò)以下三種合同變換, 將將 A 化成對(duì)角矩陣化成對(duì)角矩陣:正交替換正交替換 ( 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 )配方法配方法成對(duì)的初等行、列變換成對(duì)的初等行、列變換 例例: 設(shè)域設(shè)域 K 特征特征 2 , K3 上的雙線性函數(shù)上的雙線性函數(shù) f ( , ) 在基底在基底 1 , 2 , 3 下的下的 度量矩陣為度量矩陣為 求新基底求新基底 1 , 2 , 3 , 使得使得 f (

21、 , ) 在在新基底新基底下的度量矩陣是對(duì)角矩陣下的度量矩陣是對(duì)角矩陣. 022242221A100010001022242221再做對(duì)應(yīng)的再做對(duì)應(yīng)的列變換列變換,注意次序注意次序100010001420200221用成對(duì)的用成對(duì)的行列變換行列變換變?yōu)榉橇阕優(yōu)榉橇?00010221420200001100010221420200001100010221420010001對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣 D =可逆矩陣可逆矩陣 P = PTA P = D P3213211210010211400010001/用新基底用新基底 1 = 1 , 2 = 1 + 2+ 1/2 3 , 3 = 2 1+ 3的坐標(biāo)表示的

22、坐標(biāo)表示 f ( , ) = x1 y1 + x2 y2 4 x3 y3在特征在特征 2 的域上的域上, 有以下一一對(duì)應(yīng)有以下一一對(duì)應(yīng) f ( , ) Q( ) = f ( , ) XT A Y XT A X Q( + ) Q( ) Q( ) Q( ) 21若若 Q( ) = XT A X 是二次型是二次型 ( A 對(duì)稱對(duì)稱 ) , 則則 f ( , ) = Q( + ) Q( ) Q( ) = ( X + Y )T A ( X + Y ) XT A X YT A Y = 2 XT A Y 是是 V 上的對(duì)稱雙線性函數(shù)上的對(duì)稱雙線性函數(shù) 定理定理 : 設(shè)設(shè) K 是特征是特征 2 的域的域 ,

23、V 是是 K 上的上的 n 維線性空間維線性空間, f ( , ) 是是 V 上的上的反對(duì)稱反對(duì)稱 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù). 則存在則存在 V 的一組基的一組基 , f 的的 度量矩陣為度量矩陣為 0001100110 定理定理 : 設(shè)設(shè) K 是特征是特征 2 的域的域 , V 是是 K 上的上的 n 維維 線性空間線性空間, f ( , ) 是是 V 上的反對(duì)上的反對(duì)稱雙線性函數(shù)稱雙線性函數(shù). 則存在則存在 V 的一組基的一組基 , 在此基底下在此基底下 f ( , ) = XT E Y = x 1 y 2 x 2 y 1 + + x 2r - 1 y 2r x 2r y 2r - 1推論推論

24、 : 設(shè)設(shè) K 是特征是特征 2 的域的域 , A , B 是兩個(gè)是兩個(gè) K 上的上的 n 階反對(duì)稱矩陣階反對(duì)稱矩陣 . 則則 A , B 合同合同 A , B 的秩的秩相等相等 1 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù) 2 Euclid 空間空間 3 正交變換與對(duì)稱變換正交變換與對(duì)稱變換 4 酉空間酉空間 例例: 1) 若若 A , B 是是 n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣, 則有則有 tr( AT A ) tr( BT B ) tr( AT B ) 22) 若若 h( x ) , g( x ) 是是 0 , 1 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 則有則有102102xdxg xdxh )()(210 xdxgxh )()

25、( 在實(shí)線性空間上在實(shí)線性空間上, 滿足滿足 f ( , ) 0 , 0 的對(duì)稱雙線性函數(shù)的對(duì)稱雙線性函數(shù) f 稱為內(nèi)積稱為內(nèi)積 . f 是內(nèi)積是內(nèi)積 二次型二次型 f ( , ) 正定正定 f 的度量矩陣正定的度量矩陣正定 ( h , g ) = 是是 C 0 , 1 上的內(nèi)積上的內(nèi)積; ( A , B ) = tr( A B ) 是是 Mn( R ) 上的正定雙線性函數(shù)上的正定雙線性函數(shù) ? ( A , B ) = tr( AT B ) 是是 Mn( R ) 上的內(nèi)積上的內(nèi)積10)()(xdxgxh201101001 具有內(nèi)積具有內(nèi)積 ( , ) 的的 (有限維有限維) 實(shí)線性空實(shí)線性空間

26、間 稱為歐氏空間稱為歐氏空間. 歐氏空間上有向量長(zhǎng)度歐氏空間上有向量長(zhǎng)度, 夾角夾角, 距離等度距離等度量的量的 概念概念 ,21VXn若若XAX,|T)(:|:終點(diǎn)間的歐氏距離終點(diǎn)間的歐氏距離,|的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為定義定義 o|,|)(有有對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù), t0)(,tt0)()()(,2,2tt得得取取,)()(,/,t2,)()( )(|,|)(共線共線等號(hào)成立等號(hào)成立,)()(2)()(,22|22|)(| 例例: 由于由于 ( h , g ) = 是是 C 0 , 1 上的內(nèi)積上的內(nèi)積, 對(duì)對(duì) h( x ) , g( x ) , 有有 102102xdxg xdxh )()(21

27、0 xdxgxh )()(102102102xdxgxhxdxg xdxh ) )()()()(10)()(xdxgxh 例例: 由于由于 ( A , B ) = tr( AT B ) 是是 Mn( R ) 上的內(nèi)積上的內(nèi)積 , 對(duì)對(duì) A , B , 有有 tr( AT A ) tr( BT B ) tr( AT B ) 2 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) A , B 線性相關(guān)線性相關(guān))BABAtr()BBtr()AAtr(TTT)()(0 0 歐氏空間向量夾角定義歐氏空間向量夾角定義0)(,特別地特別地o|,)(cos 222|cos2例例: : 已知已知 R3 R3 上的對(duì)稱雙線性函數(shù)上

28、的對(duì)稱雙線性函數(shù) f ( f ( , , ) ) 在基底在基底 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 下的度量矩陣為下的度量矩陣為 1) 1) 判斷判斷 f ( f ( , , ) ) 能否構(gòu)成能否構(gòu)成 R 3 R 3 上的內(nèi)積上的內(nèi)積; ;2) 2) 求基底求基底 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 使得使得 f f 在此基下的在此基下的 度量矩陣是單位矩陣度量矩陣是單位矩陣. . 310121011A 由兩兩正交的單位向量構(gòu)成的基底由兩兩正交的單位向量構(gòu)成的基底 稱為歐氏空間標(biāo)準(zhǔn)正交基稱為歐氏空間標(biāo)準(zhǔn)正交基 . . 1 , 1 , 2 , , 2 , , n n 是標(biāo)準(zhǔn)正交基

29、是標(biāo)準(zhǔn)正交基 I),(),(),(),(),(),(),(),(),(nn2n1nn22212n12111定理：定理： 設(shè)設(shè) 1 , 2 , , n 是歐氏空間的一組是歐氏空間的一組 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基, A 是是 n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣 . 令令 ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) A . 則則 1 , 2 , , n 是標(biāo)準(zhǔn)正交基是標(biāo)準(zhǔn)正交基 A 是正交矩陣是正交矩陣 設(shè)設(shè) W 是歐氏空間是歐氏空間 V 的子空間的子空間, 則則 W := V | ( , ) = 0 , W 是是 V 的子空間的子空間, 稱為稱為 W 的正交補(bǔ)的正交補(bǔ). 擴(kuò)充成擴(kuò)充成 V 的

30、標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , r , r +1 , , n W 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基W 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基 W W = V ( W) = W ( U + W ) = U W ( U W ) = U + W A 的解空間的解空間 = ( AT 列空間列空間 ) A 的解空間的解空間 = ( AT 列空間列空間 )例例: 設(shè)設(shè) W = 是帶標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的是帶標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積的 歐氏空間歐氏空間 R4 的子空間的子空間, 求求 W的一組基的一組基.2001121121, A 的解空間的解空間 = ( AT 列空間列空間 )解解:200112110X 32102001103201203224343434x

31、xxxxxxoW 在子空間在子空間 W 上的正交投影上的正交投影W| | 是是 的頂點(diǎn)到的頂點(diǎn)到 W 的最短距離的最短距離W 設(shè)設(shè) W 是歐氏空間的子空間是歐氏空間的子空間. 沿沿 W向向 W 所作投影變換所作投影變換 P 稱正交投影稱正交投影. 若若 1 , , r 是是 W 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基 , 則則 在在 W 上的正交投影上的正交投影 P 為為 ( , 1 ) 1 + + ( , r ) r 例例: 已知已知 1 , , r 是歐氏空間是歐氏空間 Rn 的的 子空間子空間 W 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基. 求求 Rn 向向 W 的的 正交投影正交投影 P 在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣在標(biāo)準(zhǔn)基下

32、的矩陣 . A = 1 1T + + r rT 解解: 將將 1 , , r 擴(kuò)充成擴(kuò)充成 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , r , , n . 則則 P 在此基下的矩陣為在此基下的矩陣為 , P 在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為 = 1 1T + + r rT rnr0ITnT2T1rnn21011222231111333),(),(),(),( ,11:解解1111222),(),( 保持內(nèi)積不變的線性變換稱為正交變換保持內(nèi)積不變的線性變換稱為正交變換 . A 是正交變換是正交變換 ( A , A ) = ( , ) , , A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的

33、矩陣是正交矩陣 正交變換保持向量長(zhǎng)度正交變換保持向量長(zhǎng)度, 夾角不變夾角不變 引理引理: 若若 A 是歐氏空間是歐氏空間 V 上的正交變換上的正交變換, 則則 A 的復(fù)特征值的復(fù)特征值 都滿足都滿足 | | = 1 .證證: 設(shè)設(shè) A 是是 A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣, 是是 A 的屬于的屬于 的復(fù)特征向量的復(fù)特征向量, 即即 A = , 0 于是有于是有 T AT = T , A = . 故故 T = T AT A = T . 由由 T 0 推得推得 | | = 1. 引理引理: 若若 A 是歐氏空間是歐氏空間 V 上的正交變換上的正交變換, 則則 V 一定有一定有 1 維

34、維 或或 2 維維 A -子空間子空間, 且且 A 在在 2 維維 A -子空間上的限制變換子空間上的限制變換 行列式都行列式都 = 1 .證證: 設(shè)設(shè) A 是是 A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣, 設(shè)設(shè) = u + i v 是的復(fù)特征值是的復(fù)特征值, = + i 是屬于是屬于 的復(fù)特征向的復(fù)特征向量量. 則有則有 A ( + i ) = ( u + i v ) ( + i ) 于是于是 A = u v , A = v + u 是是 1 維維 或或 2 維實(shí)維實(shí) A -子空間子空間若若 是是 1 維子空間維子空間, 不妨設(shè)不妨設(shè) 0 , = k . 則有則有 A = ( u + i

35、 v ) ,故故 A = u , u = 1 . 若若 是是 1 維子空間維子空間, 則有則有 A ( ) = ( ) 且且 u 2 + v 2 = | |2 = 1 . ( , ) = uvvu 引理引理: 設(shè)設(shè) A 是歐氏空間是歐氏空間 V 上的正交變換上的正交變換. 若若 W 是是 A -子空間子空間, 則則 W 也是也是 A 子空間子空間. WW A 證證: 任取任取 W , 我們來(lái)證明我們來(lái)證明 A W . 由于由于 A |W 是是 W上的正交變換上的正交變換, 在在 W上可逆上可逆. 故對(duì)故對(duì) W , 存在存在 W , 使得使得 = A . 即對(duì)即對(duì) W , 有有 ( A , )

36、= ( A , A ) = ( , ) = 0 A W 定理定理: 設(shè)設(shè) A 是歐氏空間是歐氏空間 V 上的正交變換上的正交變換. 則則 V 可分解為兩兩正交的可分解為兩兩正交的 1 維或維或 2 維維 A 子空間的直和子空間的直和 : V = W1 W2 Ws 1o21AAcossinsincos211A22A 若若 A 是正交變換是正交變換, 則存在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基則存在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 使得使得 A 在此基下的矩陣具有形式在此基下的矩陣具有形式mmmm1111cossinsincoscossinsincos111 若若 A 是正交矩陣是正交矩陣, 則存在正交矩陣則存在正交矩陣 P , 使得

37、使得 A = P B PT , 其中其中 B 具有形式具有形式mmmm1111cossinsincoscossinsincos111 對(duì)任意單位向量對(duì)任意單位向量 , 映射映射 R : ( I 2 T ) 是正交變換是正交變換, 稱為關(guān)于超平面稱為關(guān)于超平面 的的鏡面反射鏡面反射. ( , ) O 2 ( , ) 定理定理(Cartan-Dieudonne) n 維歐氏空間的正交變換都是不超過(guò)維歐氏空間的正交變換都是不超過(guò) n 個(gè)反射變換的乘積個(gè)反射變換的乘積.例例: 實(shí)方陣實(shí)方陣 A 是第一類正交矩陣是第一類正交矩陣 ( 行列式為行列式為 1 ) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) A 可寫成可寫成 的形式的

38、形式 , 其中其中 C 是實(shí)反對(duì)稱矩陣是實(shí)反對(duì)稱矩陣.32CC3!1C2!1CIe 注意到注意到若若 C 是實(shí)反對(duì)稱矩陣是實(shí)反對(duì)稱矩陣 , 則有則有 即即 是正交矩陣是正交矩陣.TC3T2TTC)e()C(3!1)C(2!1CIeTIeeeeee)e(CCCCCCCTCTCe 我們有我們有 我們來(lái)計(jì)算我們來(lái)計(jì)算2111C)UCU(2!1UCUIUeU1UCUe?e001ii11i00iii1100 1ii11e00eii11ii1i00iii11eii11 00ecossinsincos 例例: 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 C = , 其中其中 a , b , c 是不全為零實(shí)數(shù)是不全為零實(shí)數(shù). 證明證明:

39、 正交矩陣正交矩陣 給出給出 的線性變換的線性變換 X X 是繞是繞 c - b a T 的旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn), 旋轉(zhuǎn)角度為旋轉(zhuǎn)角度為 .000cbcabaCeCe222cba 證證: 注意到注意到 1 = 是矩是矩陣陣 C = 的特征值的特征值 0 的單位特征的單位特征向量向量. 將將 1 擴(kuò)充成擴(kuò)充成 R3 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , 2 , 3 , 并記并記 P = 1 2 3 . 則則 P 是正交矩陣是正交矩陣, 且有且有000cbcabaabccba2221 = 1 2 3 PT 又由又由 反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣C 1 = 02222222*Ccbcaba000cbcaba0000000

40、T22P0000000P222cba 于是于是 由此可看出由此可看出, 給出的線性變換是繞給出的線性變換是繞 1 的旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn), 旋轉(zhuǎn)角度為旋轉(zhuǎn)角度為 . T0000000CPePeTPcossin0sincos0001PCe222cba 若線性變換若線性變換 A 滿足滿足 ( A , ) = ( , A ) , , 則稱則稱 A 是對(duì)稱變換是對(duì)稱變換 . A 是對(duì)稱變換是對(duì)稱變換 A 在任意標(biāo)準(zhǔn)正交基下在任意標(biāo)準(zhǔn)正交基下 的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣 證證: 設(shè)設(shè) 1 , , n 是標(biāo)準(zhǔn)正交基是標(biāo)準(zhǔn)正交基, A ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) A A j = a1

41、 j 1 + + an j n 則有則有 ( i , A j ) = ai j 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, ( j , A i ) = ( A i , j ) = aj i 故故 A 是對(duì)稱變換是對(duì)稱變換 ai j = aj i 定理定理: A 是對(duì)稱變換是對(duì)稱變換 A 在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下 的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣 存在標(biāo)準(zhǔn)正交基存在標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , n , 使得使得 A 1 = 1 1 , , A n = n n 設(shè)設(shè) A : U V 是歐氏空間之間的線性映射是歐氏空間之間的線性映射. 取什么樣的標(biāo)準(zhǔn)正交基取什么樣的標(biāo)準(zhǔn)正交基, 可使可使 A 的矩陣的矩陣

42、 最簡(jiǎn)單最簡(jiǎn)單? A : U V A ( 1 , , n ) ( 1 , , m ) PT A Q ( 1 , , n ) Q ( 1 , , m ) P 若若 A ( 1 , , n ) = ( 1 , , m ) A ,設(shè)設(shè) ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) Q , ( 1 , , m ) = ( 1 , , m ) P , P, Q 是正交矩陣是正交矩陣, 則則 A ( 1 , , n ) = A ( 1 , , n ) Q = ( 1 , , m ) A Q = ( 1 , , m ) PT A Q 每個(gè)每個(gè) mn 實(shí)矩陣實(shí)矩陣 A 都能寫成都能寫成 A = P S

43、QT , 其中其中 P 、Q 分別是分別是 m 階與階與 n 階正交矩陣階正交矩陣 ,nmr10S 0 r21秩秩Ar ATA 正特征值正特征值的平方根的平方根引理引理 1: 若若 A 是是 mn 實(shí)矩陣實(shí)矩陣, 則則 ATA 的特征值都是非負(fù)實(shí)數(shù)的特征值都是非負(fù)實(shí)數(shù) .引理引理 2: 設(shè)設(shè) A 是是 mn 實(shí)矩陣實(shí)矩陣, 則則 ATA 秩秩 = A 秩秩 = A AT秩秩. 特別地特別地, ATA 解空間解空間 = A 的解空間的解空間 設(shè)設(shè) A A 是是 m mn n 實(shí)矩陣實(shí)矩陣. . 由于由于 A AT A AT 實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱, , 存在正交矩陣存在正交矩陣 P , P , 使得使得

44、且且 AAT AAT 的特征值非負(fù)的特征值非負(fù) : : 1 1 r r r+1 = = 0 r+1 = = 0 Tr1m21TP0AAP 由由 可看出可看出 AT P 的列向量滿足的列向量滿足 ( AT i , AT j ) =0PAAPPA)PA(r1TTTTT其它其它0rjii 即即 AT r +1 = = AT m = 0 ; AT 1 , , AT r 兩兩正交且長(zhǎng)度分別兩兩正交且長(zhǎng)度分別為為令令 i = AT i , i = 1 , , r ;并將并將 1 , , r 任意擴(kuò)充成任意擴(kuò)充成 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正的標(biāo)準(zhǔn)正交基交基 1 , , r , , n r21,i1則有則有 A = P

45、PTA = P ( AT P ) T = P AT 1 AT n T = P S QT TnT2T1r10P 每個(gè)每個(gè) mn 實(shí)矩陣實(shí)矩陣 A 都能寫成都能寫成 A = P S QT TnT2T1nmr1m210TrrrT222T111這里這里 1 , , r 是是 A AT 正特征值的平方正特征值的平方根根 ,1 , , n 與與 1 , , m 分別是分別是 A AT 與與 ATA 的單位正交特征向量組的單位正交特征向量組, 且有且有 i = i A i , i = 1 , , r TnT2T1nmr1m210A A = 1 1 1T + 2 2 2T + + r r rT 1 r 0 又

46、稱為又稱為 A 的奇異值的奇異值. 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō), 排在后面的排在后面的 值會(huì)非常接近值會(huì)非常接近 0 . 省略這些值省略這些值, 會(huì)得到矩陣會(huì)得到矩陣 A 在秩在秩 k 意義下意義下的最佳逼近的最佳逼近 : A k = 1 1 1T + + k k kT A 在內(nèi)積在內(nèi)積 ( A , B ) = tr( AT B ) 下下, Mm,n( R ) 構(gòu)成歐氏空間構(gòu)成歐氏空間.定理定理: 給定給定 A Mm,n( R ) . 在所有秩在所有秩 k 的的 m n實(shí)矩陣中實(shí)矩陣中, 矩陣矩陣 Ak = 1 1 1T + k k kT到到 A 的歐氏距離最短的歐氏距離最短.定理定理: 歐氏空間上的線

47、性變換都可唯一地寫成歐氏空間上的線性變換都可唯一地寫成 一個(gè)正交變換與一個(gè)對(duì)稱變換的乘積一個(gè)正交變換與一個(gè)對(duì)稱變換的乘積. 實(shí)矩陣實(shí)矩陣 A 的廣義逆的廣義逆: 若若 A = P S QT , 則則 Tmn1r11P0QA在在 R4 中引入中引入 Minkowski 內(nèi)積內(nèi)積 ( , ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 x4 y4得到得到 Minkowski 空間空間.洛倫茲變換洛倫茲變換 ( A , A ) = ( , ) 1 雙線性函數(shù)雙線性函數(shù) 2 Euclid 空間空間 3 正交變換與對(duì)稱變換正交變換與對(duì)稱變換 4 酉空間酉空間 在復(fù)線性空間上在復(fù)線性空間上 , 滿足滿

48、足 ( , ) = ( , ) ( k + l , ) = k ( , ) + l ( , ) ( , k + l ) = k ( , ) + l ( , ) ( , ) 0 , 0 的二元函數(shù)的二元函數(shù) ( , ) 稱為稱為 Hermite 內(nèi)積內(nèi)積 . 具有具有 Hermite 內(nèi)積內(nèi)積 ( , ) 的復(fù)線性空間的復(fù)線性空間 稱為酉空間稱為酉空間. 酉空間上有向量長(zhǎng)度酉空間上有向量長(zhǎng)度, 距離距離, 正交的概正交的概念念 , 可以取標(biāo)準(zhǔn)正交基可以取標(biāo)準(zhǔn)正交基),(|:|:終點(diǎn)間的歐氏距離終點(diǎn)間的歐氏距離,o|,|)(有有對(duì)任意復(fù)數(shù)對(duì)任意復(fù)數(shù), t0)(,tt0),(),(),(),(2|t

49、tt得得取取,)()(,/,t),)(,(),( ),(|,|)(共線共線等號(hào)成立等號(hào)成立, 例例: ( h , g ) = 是復(fù)線性空間是復(fù)線性空間 C 0 , 1 上的上的 Hermite 內(nèi)積內(nèi)積. 對(duì)對(duì) h( x ) , g( x ) , 有有102102)()(xd|xg|xd|xh| 210)()(xdxgxh 10)()(xdxgxh0 0 酉空間向量夾角定義酉空間向量夾角定義0,)(o| ),( |cos 222|cos2,Re2)(,一一般般來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)在在 V 中取定一組基中取定一組基 1 , , n . 設(shè)向量設(shè)向量 , 在在此基底下的坐標(biāo)分別為此基底下的坐標(biāo)分別為 X =

50、x 1 , , x n T , Y = y 1 , , y n T則二元函數(shù)則二元函數(shù) f ( , ) 可表示為可表示為)()(n1jjjn1iii,yxf,f),(jin1in1jjfyxiYAX),(Tff 在基底在基底 1 , , n下的度量矩陣下的度量矩陣),(jin1in1jjfyxiY),(),(),(),(),(),(),(),(),(Xnn2n1nn22212n12111Tfffffffff例例: 設(shè)設(shè) f ( , ) 是是 C2 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù) , 滿足滿足1) f ( , ) = f ( , ) 2) f ( k + l , ) = k f ( , ) + l f

51、 ( , ) 3) f ( , ) 在基在基 1 , 2下的度量矩陣為下的度量矩陣為證明證明: f ( , ) 是是 Hermite 內(nèi)積并求此內(nèi)積并求此 內(nèi)積下的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基內(nèi)積下的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , 22ii1A定理：定理： 設(shè)設(shè) 1 , , n 是酉空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交是酉空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基基, A 是是 n 階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣 . 令令 ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) A . 則則 1 , , n 是標(biāo)準(zhǔn)正交基是標(biāo)準(zhǔn)正交基 AT A = I 證：證： 設(shè)設(shè) X i 是是 A 的第的第 i 個(gè)列向量個(gè)列向量. 則有則有 i = ( 1 , , n ) X i ,

52、( i , j ) = X iT X j . 于是于是 1 , , n 是標(biāo)準(zhǔn)正交基是標(biāo)準(zhǔn)正交基 AT A = I 若復(fù)矩陣若復(fù)矩陣 A 滿足以下條件滿足以下條件 A AT = I 或或 AT A = I 則稱則稱 A 是酉矩陣是酉矩陣 . ( A-1 = AT ) 定理定理: 酉矩陣的復(fù)特征值酉矩陣的復(fù)特征值 都滿足都滿足 | | = 1 . 證證: 設(shè)設(shè) 是酉矩陣是酉矩陣 A 的復(fù)特征值的復(fù)特征值, 是是 屬于屬于 的復(fù)特征向量的復(fù)特征向量, 即即 A = , 0 于是有于是有 T AT = T . 故故 T = T AT A = T . 由由 T 0 推得推得 | | = 1. 酉空間上

53、保持內(nèi)積不變的線性變換稱為酉空間上保持內(nèi)積不變的線性變換稱為 酉變換酉變換 . 即即 A 是酉變換是酉變換 ( A , A ) = ( , ) 定理定理: A 是酉變換是酉變換 A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣 滿足條件滿足條件 A = AT 的復(fù)矩陣的復(fù)矩陣 A 稱為稱為 Hermite 矩陣矩陣. 定理定理: Hermite 矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù). 若酉空間上的線性變換若酉空間上的線性變換 A 滿足滿足 ( A , ) = ( , A ) , , 則稱則稱 A 是是 Hermite 變換變換 . 定理定理: A 是是 Hermite 變換變換

54、 A 在標(biāo)準(zhǔn)在標(biāo)準(zhǔn) 正交基下的矩陣是正交基下的矩陣是 Hermite 矩陣矩陣 酉變換與酉變換與Hermitian 變換是歐氏空間上的變換是歐氏空間上的正交變換與對(duì)稱變換在酉空間上的自然推廣正交變換與對(duì)稱變換在酉空間上的自然推廣.酉變換與酉變換與Hermitian 變換都可通過(guò)取適當(dāng)?shù)淖儞Q都可通過(guò)取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)角化標(biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)角化, 因?yàn)樗鼈兌际钦?guī)變換因?yàn)樗鼈兌际钦?guī)變換 設(shè)設(shè) A 是酉空間上的線性變換是酉空間上的線性變換. 若線性變換若線性變換 A* 滿足滿足 ( A , ) = ( , A* ) , , 則稱則稱 A* 是是 A 的伴隨變換的伴隨變換 .例例: 酉變換酉變換 U 的

55、伴隨變換為的伴隨變換為 U-1 ; Hermite 變換變換 A 的伴隨變換為的伴隨變換為 A .定理定理: 酉空間上的任何線性變換酉空間上的任何線性變換 A 都有都有 伴隨變換且唯一伴隨變換且唯一, 記作記作 A* . 在同一標(biāo)準(zhǔn)正交基下在同一標(biāo)準(zhǔn)正交基下, 若若 A 的矩陣為的矩陣為 A , 則則 A* 的矩陣為的矩陣為 AT .證：設(shè)證：設(shè) A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基在標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , n下的矩下的矩陣陣 為為 A , 設(shè)設(shè) A* 在在 1 , , n 下矩陣為下矩陣為 B , 即即 A ( 1 , , n ) = ( 1 , , n ) A A* ( 1 , , n ) = ( 1 , ,

56、 n ) B . 設(shè)設(shè) A = ai j , B = bi j . 則有則有 ( A i , j ) = aj i = ( i , A* j ) = bi j 于是于是 B = AT , A* 由由 A 唯一確定唯一確定.再證再證 A* 的存在性的存在性: 設(shè)設(shè) A 在標(biāo)準(zhǔn)正交基在標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , n下的矩陣為下的矩陣為 A , 設(shè)設(shè) B 是在是在 1 , , n 下矩陣為下矩陣為 AT 的變換的變換 , 則由以上討論知?jiǎng)t由以上討論知 ( A i , j ) = ( i , B j ) , i , j 作線性組合作線性組合, 可得可得 ( A , ) = ( , B ) , , 若酉空間

57、上的線性變換若酉空間上的線性變換 A 滿足滿足 A A* = A*A , 則稱則稱 A 是正規(guī)變換是正規(guī)變換 . 若復(fù)矩陣若復(fù)矩陣 A 滿足滿足 A AT = AT A , 則稱則稱 A 是是 正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣.引理引理: 設(shè)設(shè) A 是酉空間是酉空間 V 上的正規(guī)變換上的正規(guī)變換. 若若 W 是是 A -子空間子空間, 則則 W 是是 A 子空間子空間. 證證: 將將 W 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , r 擴(kuò)充成擴(kuò)充成 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , , n , 則則 r+1 , , n 構(gòu)成構(gòu)成 W 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基. 設(shè)設(shè) A 在在 1 , , n 下的矩陣下的矩陣為

58、為 , 則則 A*在在 1 , , n 下的矩陣為下的矩陣為 D0CBATTTTDC0BAD0CBTTTDC0BTTTDC0BD0CB*CCBBTT*BBT 比較比較 得得 于是有于是有 , 故故 C = 0 . 這說(shuō)明這說(shuō)明 W 也是也是 A 子空間子空間. AAAATTBBCCBBTTT)CCtr()BBtr()CCBBtr(TTTT)BBtr(T0)CCtr(T定理定理: A 是正規(guī)變換是正規(guī)變換 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 存在一組標(biāo)準(zhǔn)存在一組標(biāo)準(zhǔn) 正交基正交基, 使得使得 A 的矩陣是對(duì)角矩陣的矩陣是對(duì)角矩陣. 特別地特別地, 酉變換酉變換, Hermitian 變換都可通過(guò)變換都可通過(guò) 取適

59、當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)角化取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)角化.定理定理: A 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) A 可寫成可寫成 A = U D U -1 = U D UT . 其中其中 U 是酉矩陣是酉矩陣, D 是復(fù)對(duì)角矩陣是復(fù)對(duì)角矩陣. 特別地特別地, 酉矩陣酉矩陣, Hermitian 矩陣矩陣 都可用都可用 酉矩陣對(duì)角化酉矩陣對(duì)角化.考試范圍考試范圍 : 1) 多項(xiàng)式環(huán)多項(xiàng)式環(huán) Z , Kx , 2) 線性空間線性空間 3) 線性變換的結(jié)構(gòu)線性變換的結(jié)構(gòu) 4) 帶度量的線性空間帶度量的線性空間例例 1. 求矩陣求矩陣 A = 的相抵標(biāo)準(zhǔn)型的相抵標(biāo)準(zhǔn)型 E 及可逆矩陣及可逆矩陣 P , Q ,

60、使得使得 A = P E Q -1 . 2111101011012. 設(shè)設(shè) A = . 求正交矩陣求正交矩陣 P , Q , 使得使得 A = P S QT , 其中其中120002100101000000000S3210321例例 3. 已知線性變換已知線性變換 A 在在 V 的基底的基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩陣為下的矩陣為 1) 求求 A 的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式; 2) 求根子空間分解求根子空間分解 V = W1 W2 , dim W1 = 1;3) 求沿求沿 W1 向向 W2 所做的投影變換所做的投影變換 P ( 將其寫成將其寫成 A 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式, 并驗(yàn)證并驗(yàn)證 P