經(jīng)典--初中數(shù)學(xué)三角形專題訓(xùn)練及例題解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上經(jīng)典三角形專題訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)梳理 考點(diǎn)一、三角形1、三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2、三角形的分類.三角形(按邊分)三角形(按角分) 3、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.4、三角形的重要線段三角形的中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線,三條中線交點(diǎn)叫重心三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段,三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心三角形的高：頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€,頂點(diǎn)和垂足間的線段.三條高的交點(diǎn)叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點(diǎn)的位置不同)5、三角形具有穩(wěn)定性6、三角形的內(nèi)

2、角和定理及性質(zhì) 定理：三角形的內(nèi)角和等于180. 推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互補(bǔ)。 推論2：三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論3：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。7、多邊形的外角和恒為3608、多邊形及多邊形的對(duì)角線正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形稱為凸多邊形；，若整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，稱這樣的多邊形為凹多邊形。多邊形的對(duì)角線的條數(shù):A.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。B.n 邊形共有條對(duì)角線。9

3、、邊形的內(nèi)角和公式及外角和多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180(n3)。多邊形的外角和等于360。10、平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。平面鑲嵌的條件：有公共頂點(diǎn)、公共邊；在一個(gè)頂點(diǎn)處各多邊形的內(nèi)角和為360。與三角形有關(guān)的角、多邊形及其內(nèi)角和例1 一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和9,第三邊為奇數(shù),則此三角形的周長(zhǎng)是多少？（三邊關(guān)系：判定能否成三角形；求線段的取值范圍；證明線段的不等關(guān)系）針對(duì)性練習(xí)：若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為17cm，一邊長(zhǎng)為3cm ,則它的另一邊長(zhǎng)是 。例2如圖,已知中, 的角平分線BD,CE相交于點(diǎn)

4、O,且求。（內(nèi)角和定理）OADCBAE例3 如圖，BP平分FBC，CP平分ECB，A=40求BPC的度數(shù)。ACEPB4213F7.2.1 三角形的內(nèi)角1.三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形各角的度數(shù)為（ ）A45、45、90B30、60、90C25、25、130D36、72、722.已知三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的,是第三個(gè)內(nèi)角的,則這個(gè)三角形各內(nèi)角的度數(shù)分別為( )A.60,90,75 B.48,72,60C.48,32,38 D.40,50,903.已知ABC中,A=2(B+C),則A的度數(shù)為( )A.100 B.120 C.140 D

5、.1604.在ABC中,A=B=C,則此三角形是( )A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形7.2.2 三角形的外角5.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是( )A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定6.如果三角形的一個(gè)外角和與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和為180,那么與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為( )A.30 B.60 C.90 D.1207.已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為( )A.90 B.110 C.100 D.1208.已知等腰三角形的一個(gè)外角是120,則它是( )A.等腰直角三角形; B.一般

6、的等腰三角形; C.等邊三角形; D.等腰鈍角三角形9.如圖1所示,若A=32,B=45,C=38,則DFE等于( )A.120 B.115 C.110 D.105(1)7.3 多邊形及其內(nèi)角和10.一個(gè)多邊形的外角中,鈍角的個(gè)數(shù)不可能是( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)11.不能作為正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的是( )A.120 B.(128) C.144 D.14512.若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),最多可以引10條對(duì)角線,則它是( )A.十三邊形 B.十二邊形 C.十一邊形 D.十邊形13.若一個(gè)多邊形共有十四條對(duì)角線,則它是( )A.六邊形 B.七邊形 C.八邊形 D.九邊形7.4

7、 課題學(xué)習(xí) 鑲嵌14.用形狀、大小完全相同的圖形不能鑲嵌成平面圖案的是( )A.等腰三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形15.下列圖形中,能鑲嵌成平面圖案的是( )A.正六邊形 B.正七邊形 C.正八邊形 D.正九邊形例1.如圖，求A+C+3+F的度數(shù)。例2已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。例5如圖，AP平分BAC交BC于點(diǎn)P，ABC=90，且PB=3cm，AC=8cm，則APC的面積是 cm2考點(diǎn)二、全等三角形 1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)

8、應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）3、全等變換只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折1

9、80，這種變換叫做對(duì)稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換?？键c(diǎn)三、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。2、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，

10、并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。考點(diǎn)四、直角三角形 1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余2、在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 4直角三角

11、形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)ACB=90 CDAB 6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC經(jīng)典例題解析：例1.如圖，BP平分FBC，CP平分ECB，A=40求BPC的度數(shù)。 分析：可以利用三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解。解：1= 例2.如圖，求A+C+3+F的度數(shù)。分析：由已知B=30，G=80，BDF=130，利用四邊形內(nèi)角和，求出3的度數(shù)，再計(jì)算要求的值。解：四邊形內(nèi)角和為（4-2）180=3603=360-30-80-130=12

12、0又A C F是三角形的內(nèi)角 A+C+F+3=180+120=300例3已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。分析：每一個(gè)外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的，而每個(gè)外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和為180。解：設(shè)此多邊形的外角為x，則內(nèi)角的度數(shù)為x 例4.用正三角形、正方形和正六邊形能否進(jìn)行鑲嵌？ 分析：可以進(jìn)行鑲嵌的條件是：一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為360 解：正三角形的內(nèi)角為 正方形的內(nèi)角為正六邊形的內(nèi)角為 可以鑲嵌。一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正方形和1個(gè)正六邊形。例5.如圖，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則CHD

13、= 解：在ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CFAB，BAC=75，且CFAB，ACF=15，ACB=60，BCF=45在CDH中，三內(nèi)角之和為180，CHD=45，故答案為CHD=45點(diǎn)評(píng)：考查三角形中，三條邊的高交于一點(diǎn)，且內(nèi)角和為180例6如圖，AD、AM、AH分別ABC的角平分線、中線和高（1）因?yàn)锳D是ABC的角平分線，所以 = = 1/2 ；（2）因?yàn)锳M是ABC的中線，所以 = = ；（3）因?yàn)锳H是ABC的高，所以 = =90分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的定義知：角平分線平分該角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義知：中線平分該中線所在的線段；（3）根據(jù)三角形的高的定義知，高與高所在

14、的直線垂直解答：解：（1）AD是ABC的角平分線，BAD=CAD=1/2BAC；（2）AM是ABC的中線，BM=CM=1/2BC；（3）AH是ABC的高，AHBC，AHB=AHC=90；故答案是：（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC例8如圖，AP平分BAC交BC于點(diǎn)P，ABC=90，且PB=3cm，AC=8cm，則APC的面積是 cm2解：AP平分BAC交BC于點(diǎn)P，ABC=90，PB=3cm，點(diǎn)P到AC的距離等于3，AC=8cm，APC的面積=832=12cm2例9. 已知：點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BPC150，PB2，PC3，求PA的長(zhǎng)。分析：將BA

15、P繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC。例10. 兩個(gè)全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題：嘗試去證明EMMC，要證線段相等可以尋找全

16、等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題：如何構(gòu)造一對(duì)全等三角形？根據(jù)已知點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角

17、形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會(huì)轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。例11.如圖，等腰直角三角形ABC中，ACB90，AD為腰CB上的中線，CEAD交AB于E求證CDAEDB提示：作CFAB于F，則ACF45，在ABC中，ACB90，CEAD，于是，由ACGB45，ABAC ，且易證12，由此得AGCCEB（ASA）再由CDDB，CGBE，GCDB，又可得CGDBED（SAS），則可證CDAEDB例12.如圖，ABC中，12

18、，34，56A60求ECF、FEC的度數(shù)ABCDFGE123456略解：因?yàn)?A60，所以 23（18060）60；又因?yàn)?B、C、D是直線，所以 4590；于是 FEC2360，F(xiàn)CE4590，F(xiàn)EC60ABCDEFGH例13. 在RtABC中，A90，CE是角平分線，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求證：AEBG略解：作EHBC于H，由于E是角平分線上的點(diǎn)，可證 AEEH ；且又由 AECBECBCADECAAFE可證 AEAF，于是由 AFEH，AFGEHB90，BAGF可得 AFGEHB；所以 AGEB，即 AEEGBGGE，所以 AEBG反饋練習(xí)1.如圖，AD是ABC的中線，如果ABC的面積是18cm2，則ADC的面積是 cm22.如圖，ABC中，ABC=BAC=45，點(diǎn)P在AB上，ADCP，BECP，垂足分別為D，E，已知DC=2，則BE= 3（2009宜賓）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交