一元二次知識點和易錯點總結

1、次 方 程 知 識 點 總 結知識結構梳理(1)含有 個未知數(shù)。(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是1、概念(3)是 方程。(4) 一元二次方程的一般形式是 。(1) 法，適用于能化為x m)2 n n 0 的一元。二次方程(2) 法，即把方程變形為ab=0的形式，2、解法(a, b為兩個因式),貝Ua=0或(3) 法(4) 法，其中求根公式是當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。(5)J當時，方程有兩個相等的實數(shù)根。當 時，方程有沒有的實數(shù)根。可用于解某些求值題j (1) 珀勺應用(2) I (3) k可用于解決實際問題的步4(4) (5) (6) 知識點歸類I建立一元二次方程模型知識點一 一元二次方程的定義

2、如果一個方程通過移項可以使右邊為0,而左邊只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：方程是整式方程。它只含有一個未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。例 下列關于x的方程，哪些是一元二次方程？2一23； x 6x 0 ; (3) Jx x 5 ; (4) x 0; (5) 2x(x 3) 2x 1x 5知識點二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2 bx c 0 (a, b, c是已知數(shù)，a 0)。其中a, b, c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。注意：(1)二次項、二次項系數(shù)

3、、一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項都包括它前面的符號。(2)要準確找出一個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須把 它先化為一般形式。(3)形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，當且僅當a 0時是一元二次方 程。例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。27.一 一一，一一一一 2(1) 5X2_x；(2)x 2x 38;(3)3x4 x 3x 222 c例2已知關于x的方程m 1 x m 1 x 2 0是一元二次方程時，則m 知識點三一元二次方程的解2使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解， 如：當x 2時，x 3x 20所以x 2是x2

4、 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識點四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設未知數(shù)、列方程。注意：(1)審題過程是找出已知量、未知量及等量關系；(2)設未知數(shù)要帶單位；(3) 建立一元二次方程模型的關鍵是依題意找出等量關系。例 如圖(1),有一個面積為150 1tf的長方形雞場雞場一邊靠墻(墻長18m),另三邊用竹籬笆圍成，若竹籬笆的長為35m,求雞場的長和寬各為多少？雞場(只設未知數(shù)，列出方程，并將它化成一般形式。)| 因式分解法、直接開平方法知識點一因式分解法解一元二次方程如果兩個因式的積等于0,那么這兩個方程中至少有一個等于 0,即若pq

5、=0時，則p=0或 q=0o用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程的右邊化為0; (2)將方程左邊 分解成兩個一次因式的乘積。(3)令每個因式分別為 0,得兩個一元一次方程。(4)解這 兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關鍵點：(1)要將方程右邊化為0; (2)熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有： 提公式法，公式法(平方差公式，完全平方公式)等。例 用因式分解法解下列方程：(1) 5x2 4x ；(2) (2x2 3) 25 0；(3) x2 6x 9 5 2x 2。知識點二直接開平方法解一元二次方程若x2 a a 0 ,則x叫做a的平方根，表示為x 右,這種解一元二

6、次方程的方法叫做直接開平方法。(1) x2 a a 0 的解是 x JT ； (2) x m 2 n n 0 的解是 x Jn m ；(3) mx n 2 c m 0,且 c 0 的解是 x n。m例用直接開平方法解下列一元二次方程222(1) 9x 16 0 ；(2) x 516 0 ；(3) x 5 3x 1知識點三靈活運用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程2形如ax b k 0 k 0的萬程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平萬法解。例運用因式分解法和直接開平方法解下列次方程。(1) 4 x 5 2360 ;2(2) 1 2x 30知識點四用提公因式法解次方程把方程左邊的多項式（方

7、程右邊為 0時）的公因式提出，將多項式寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時,則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。如：0.01t2 2t 0 ,將原方程變形為t 0.01t 20 ,由此可得t0或 0.0t 20,即 ti0,t2200注意：在解方程時，千萬注意不能把方程兩邊都同時除以一個含有未知數(shù)的式子，否則可 能丟失原方程的根。”的方程的解法。知識點五 形如“ x2 a b x b 0 a,b為常數(shù)對于形如“x2 a b x b 0 a,b為常數(shù)”的方程（或通過整理符合其形式的）可將左邊分解因式，方程變形為x a xx1a, x2b o注意：應用這種方法解一元二次

8、方程時，要熟悉“0 a,b為常數(shù)型方程的特征。例解下列方程：（1） x2 5x 60 ;(2)12配方法知識點一配方法解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數(shù)一半的平方,再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直 接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解次方程x2 px q 0 ,當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個數(shù)。 例用配方法解下列方程：(1) x2 6x 50 ；(2) x27 x 202知識點用配方法解二次項系數(shù)為1的次方程用配方法解二次項系數(shù)為1的次

9、方程的步驟:(D(2)在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù);把原方程變?yōu)閤 m 2 n的形式。(3)若n 0,用直接開平方法求出x的值，若n<0,原方程無解。例解下列方程：x2 4x 30知識點三用配方法解二次項系數(shù)不是1的次方程當一元二次方程的形式為ax2 bx c 0 a 0,a 1時，用配方法解一元二次方程的步驟：(1)先把二次項的系數(shù)化為1:方程的左、右兩邊同時除以二項的系數(shù)；(2)移項：在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，把原方程化為x m 2 n的形式；(3)若n 0,用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。 例用配方法解下列方程：(1)

10、3x2 9x 2 0 ；(2)x2 4x 3 0公式法2 一b % b 4ac2 a JI知識點一 一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的求根公式是：x用求根公式法解一元二次方程的步驟是:(1)把方程化為ax2 bx c 0 a 0的形式，確定的值a,b.c (注意符號)；(2)求出b2 4ac的值；(3)若b2 4ac 0,則a,b.把及b2 4ac的值代人求根公式x b *b2 4aC ,求出x,x2。2a例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1 0 ；(2) 2x x V2 1 0 ；(3) x2 x 250知識點二選擇適合的方法解一元二次方程|直接開平方法

11、用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個非負數(shù)或也是一個含未知 數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0,左邊能分解因式；公式法是由配方法推導而來的，要比配方法簡單。注意：一元二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法 或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配 方法，因為配方法解題比較麻煩。例 用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?八一_2_2,、2 一一一，、一一(1) 2x39 2x3 ; (2)x 8x60 ； (3)x 2 (x1)0知識點三一元二次方程根的判別式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0根的判別式 =b2

12、 4ac運用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況:(1) A = b2 4ac >0 方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) A = b2 4ac=0 方程有兩個相等的實數(shù)根；(3) A = b2 4ac<0 方程沒有實數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定a,b.c的值；計算b(3) (x1 a)(x2 a) x1 x2 axi x2 a ;(4)|xx2I="x1x22= v' x1x2 24x1x2例 已知方程2x2 5x 3 0的兩根為?2,不解方程，求下列各式的值。 222 4ac的值；根據(jù)b

13、2 4ac的符號判定方程根的情況。例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：(1) 2x2 3x 50; (2) 9x230 x 25; (3) x2 6x 100知識點四根的判別式的逆用在方程ax2 bx c 0 a 。中，(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根b2 4ac >0(2)方程有兩個相等的實數(shù)根b2 4ac=0(3)方程沒有實數(shù)根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不 為0這一條件。例 m為何值時，方程2m 1x2 4mx 2m 3 0的根滿足下列情況：(1)有兩個不相等的實數(shù)；(2)有兩個相等的實數(shù)根；(3)沒有實

14、數(shù)根；知識點五一元二次方程的根與系數(shù)的關系若x1，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的兩個根，則有x1 x2 , x1x2 aa根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系求值常用的轉化關系：22211% 乂2(1) x1x2x1 x22x1x2(2) - x x2x x2增長率問題與降低率問題的數(shù)量關系及表示法：(1)若基數(shù)為a,增長率x為，則一 次增長后的值為al x ,兩次增長后的值為al x2； (2)若基數(shù)為a,降低率x為,則一次降低后的值為al x ,兩次降低后的值為a 1 x 20例某農場糧食產量在兩年內由3000噸增加到3630噸，設這兩年的年平均增長率為x ,列 出關于x的方

15、程為知識點三用一元二次方程解與市場經(jīng)濟有關的問題與市場經(jīng)濟有關的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關的常用關系式有：(1)每件利潤=銷售價-成本價；(2)利潤率=(銷售價一進貨價)+進貨價X 100%;(3)銷售額=售價x銷售量例 某商店如果將進貨價為8元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高售價，減少進貨價的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷量減少10件。(1)要使每天獲得700元，請你幫忙確定售價。(2)當售價定為多少時，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤。易錯知識辨析：(1)判斷一個方程是不是一元二次方程，應把它進行整理，化成一般形式后再進行

16、判斷，注意一元二次方程一般形式中 a 0.(2)用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式.(3)用配方法時二次項系數(shù)要化1.(4)用直接開平方的方法時要記得取正、負.一元二次方程測試題一、選擇題1、若關于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一個根為0,則m的值等于()A、1B、2C、1 或2D、02、巴中日報訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產量預計由前年的45萬噸提升到50萬噸，設從前年到今年我市的糧油產量年平均增長率為x,則可列方程為()22A. 45 2x 50 B. 45(1 x) 50 C. 50(1 x) 45 D, 45(1 2x) 503、已知a,

17、 b是關于x的一元二次方程x2 nx 1_222A. n 2 B. n 2 C. n 24、已知a、b、c分別是三角形的三邊，則方程況是()A.沒有實數(shù)根C有兩個相等的實數(shù)根0的兩實數(shù)根，則式子上 總的值是()a b2D. n2 2(a + b)x 2 + 2cx + (a + b) =0 的根的情B.可能有且只有一個實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根5、已知m, n是方程x22x 1 0的兩根，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8,貝U a 的值等A. 5B.5C.-9D.96、已知方程bx a0有一個根是a(a0）,則下列代數(shù)式的值包為常數(shù)的是（A.abB.C. a7、x22x0的

18、一較小根為Xi,下面對Xi的估計正確的是 （A.Xi1 B.1x10C. 0 x11 D. 1x128、關于x的次方程x2mx 2m1 0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，且x2 x2 7 ,則（xi x2 ）2的值是（A. 1B.12C. 13D. 259、某校九年級學生畢業(yè)時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念, 全班共送了 2450張相片，如果全班有x名學生，根據(jù)題意，列出方程為（）A、x(x 1) 2450 B、x(x1) 2450 C、2x(x 1) 2450 D、Xx) 245010、若關于x的次方程k-212c1 x x k0的一個根為1,則k的值為（）A. -1B

19、. 0C. 1D.?；?111、設 a, b 是方程 x2 x 20090的兩個實數(shù)根，則a2 2ab的值為（A. 2006B. 2007C. 2008D. 200912、對于次方程 ax2+bx+c=O（aw 0）,下列說法:若a+c=0,方程ax2+bx+c=O必有實數(shù)根；若b2+4ac<0,則方程ax2+bx+c=O一定有實數(shù)根；若a-b+c=0,則方程ax2+bx+c=O一定有兩個不等實數(shù)根；若方程ax2+bx+c=O有兩個實數(shù)根，則方程cx2+bx+a=0一定有兩個實數(shù)根.其中正確的是（）A . B . C . D .二、填空題1、若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的兩個實數(shù)根分別是3、b,則a+b=2、設x1、x2是一元二次方程 x2+4x 3=0的兩個根，2x1(x22+5x23)+a =2，貝U a=3、方程(x-1) (x + 2 ) = 2 (x + 2 )的根是.24、已知關于x的一元二次方程" bx 1 0(a 0)有兩個相等的實數(shù)根，求ab3x2 6x/ 2 C 21_ 2A(a 2)b4的值為.5、在等腰4ABC中，三邊分別為a、b、c ,其中a 5,若關于x的方程2x b 2 x 6 b 0有兩個相等的實數(shù)根，則4 ABC的周長為.22,6、已知關于x的一兀二次萬程x 6x k 0 ( k為常數(shù)).設x1 , x2為方程的兩個實