10幾何向量及線性運算3.1-3.2.3向量積ppt課件

1、哈工大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室哈工大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室 王王 寶寶 玲玲t(yī)數(shù)量積、向量積、混合積數(shù)量積、向量積、混合積t 幾何向量的坐標，用幾何向量的坐標，用坐標表示坐標表示t 幾何向量的運算幾何向量的運算. ., , AB a, a,ABaABaa 10a ab 同向或反向的向量同向或反向的向量.任意兩向量都共面任意兩向量都共面. .baa+baba+b首尾相連首尾相連,a,a起點起點指向指向b b終點終點c = a+ba bcdee = a + b + c + db兩起點置一處兩起點置一處, , b b終點指向終點指向a a終點終點aa - b(1) 1a = a, (-1)a = -a

2、(2) k(la)=(kl) a(3) (k+l)a= ka+la(4) k(a+b)=ka + kbka a長度長度 0, 0,0,aaakkkkkk方向方向同向同向反向反向不定不定規(guī)定規(guī)定: 若若a = 0， k， ka = 0 若若k = 0， a， ka = 0a0 ,a0 = a|a|,為與為與a同向同向的單位向量的單位向量.a = a a0/(), / a bba aa0 01aba（2） a b無意義無意義.abab（3）a = kb或或b = ka,aaa1 122330kkka2a3a1平行四邊形平行四邊形ABCD(ABCD(如圖如圖),),試用試用a a、b b 表示表示

3、. .,ab ABAD和和, MA MB MCMD所以所以 2ab ACMC()12ab MCabMABCD()12ab MAMC,()122abab DBMBMB()()1122abba MDMB 前面討論的向量及運算只是在幾何前面討論的向量及運算只是在幾何作圖，而這節(jié)的目的是用投影法得到向作圖，而這節(jié)的目的是用投影法得到向量的坐標，即將向量與數(shù)對應起來，把量的坐標，即將向量與數(shù)對應起來，把向量的代數(shù)運算轉化為數(shù)量坐標的向量的代數(shù)運算轉化為數(shù)量坐標的代數(shù)運算，實際上是對向量及運算進行代數(shù)運算，實際上是對向量及運算進行定量的描述定量的描述.a b 注：零向量與任一向量的夾角可以在注：零向量與任

4、一向量的夾角可以在0 到到 間任意間任意 取值取值. 向量與軸及軸與軸的夾角都是正向向量與軸及軸與軸的夾角都是正向 間不超過間不超過 的夾角的夾角.ab2.2.點在點在u u軸上的投影：若軸上的投影：若A A為空間中一點為空間中一點, , u u 為一軸，過為一軸，過 A A點作垂直于點作垂直于 u u 軸的軸的平面平面 ，那么，那么 與軸與軸 的的交點交點 為為A A在在 軸軸 上的投影上的投影. .uAuAB 設有向量設有向量 , 則軸則軸 上的有向上的有向線段線段 的值為的值為 （數(shù)量（數(shù)量 同向為正數(shù)，同向為正數(shù)， 向為負數(shù)）向為負數(shù)）, 稱為向量稱為向量 在軸在軸 上的投影，記作上的

5、投影，記作 u(),uuAA1投軸()uuBB2投軸 A Bu 與與A Bu 與與 反反A B與與 A B A BuABuAB投影軸投影軸u1u2BA3.3.向量在向量在u u軸上投影軸上投影: :urj21P ABA BuuuABu1u2ABCCu3abABu1u2BuBAuurjPcos,ABABABu uuurjrjrjP ()PPabab|cos| |cos WFSFSF SF 物理背景：一物體在常力物理背景：一物體在常力 的作用下，沿直線的作用下，沿直線運動產(chǎn)生的位移為運動產(chǎn)生的位移為 時，則力時，則力 所做的功是所做的功是: FS 抽去物理意義，就是兩個向量確定一抽去物理意義，就是

6、兩個向量確定一 個數(shù)的運算個數(shù)的運算.rjrj|cos,|P|Paba baba babba 一個向量的模乘以另一個向量在這個向量一個向量的模乘以另一個向量在這個向量上的投影上的投影.aba bb a （1交換律：交換律：()ab ca cb c （2分配律：分配律：()()()a ba bab () ()()mmaba b（3結合律：結合律：0a b , a baba b c ,a ba c abc 0abc22| cos|0, |a aaaaa a（4）0a a a 0a (b-c).（1 1求模長：求模長：（2 2求夾角：求夾角：（4 4求投影：求投影：|a|=aa,ab00(,) ab

7、a b32a b a b=0,0brjPba bab,arccos| a ba bab設設(a +3b)(7a-5b),且且(a -4b)(7a-2b)求求.2222(3 ) (75 )715160(4 ) (72 )78300abababa babababa bcos2ba由上式消去由上式消去2223460aba b 得得cos2ab由上式消去由上式消去221613220baa b 得得1cos,23用向量證明余弦定理用向量證明余弦定理. .ABC2BC2ACAB() ()ACABACAB AC ACAC ABAB AB2 cosACAC ABAAB222 cos Aabcbc2222中中b

8、caABCsin,a ba ba b都非零且不共線都非零且不共線, ,那那么么,a b| |cab, a b以以 為鄰邊的平行四邊形的面積為鄰邊的平行四邊形的面積. .aba b, a ba a bbb a()()()ababa b kkk()abca ba c abb a aa 0（1 1）0 a b（2 2）（3 3反交換律：反交換律：（4 4結合律結合律: :（5 5分配律分配律: :規(guī)定規(guī)定/0a/ ,a b(1)(1)求平行四邊形面積：求平行四邊形面積：(2)(2)求夾角：求夾角：abhh=|b|sina，b=|ab|a|(3)(3)求平行四邊形的高：求平行四邊形的高：(4)(4)可判斷向量平行可判斷向量平行: :/a ba b 000absin,| aba ba