南航信號與系統(tǒng)3章-01_連續(xù)信號的正交分解

1、任課教師：王旭東任課教師：王旭東電話電話12510（辦）（辦）Email: 第三章 連續(xù)信號的正交分解知識要點(diǎn)：知識要點(diǎn)：周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù)傅里葉變換傅里葉變換信號特性：信號特性：3.1 3.1 引言引言函函域域上上波波形形數(shù)數(shù)f(t),單元信號單元信號(t),子響應(yīng)子響應(yīng)h(t);1.時時2. 頻域上：頻譜表示，即信號分解成正弦（虛指數(shù)）頻域上：頻譜表示，即信號分解成正弦（虛指數(shù)）的組合的組合頻譜分析頻譜分析3.2 正交函數(shù)集與信號分解 2EA1122AC AE誤差矢量誤差矢量 1221cos( )C AA112121222222cos( )

2、cos( )AA AAACAA AAA120AA兩矢量正交兩矢量正交怎樣分解，能得到最小的誤差分量？怎樣分解，能得到最小的誤差分量？0 12 C即即方式不是唯一的：方式不是唯一的：12AA用用表表示示，1122AC AE一一矢量的正交分解矢量的正交分解2C AE2C AE正交分解 空間中任一矢量可分解為空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解為平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量，二方向矢量，一個三維空間矢量一個三維空間矢量 ，必須用三個正交，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差：的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差： hz

3、j yi xV 0 , hzVj yi xVe在三維空間的物理世界中，三維的正交矢量集是一個完在三維空間的物理世界中，三維的正交矢量集是一個完備的正交矢量集，而二維的則是不完備。備的正交矢量集，而二維的則是不完備。二信號的正交分解二信號的正交分解1t2t1t2t)(2tf00tt)(1tf )(),(21為為任任意意兩兩個個信信號號，設(shè)設(shè)tftf1122( )( )( )f tc ftt1122( )( ) f tc ft若若，1122( )( )( )tf tc ft2121121222( )( )d ( )dttttf tfttcftt誤差函數(shù)誤差函數(shù)則則2122121( )( )dttt

4、tttt分解原則分解原則方均誤差最小方均誤差最?。鹤罴严嗨葡禂?shù)最佳相似系數(shù)2( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )()()tttttttttttttt dttttft dtcf t f t dtcft dtttf t f t dtcf t ftf tcf tct dtt212221112121122212222121121211211211121120 比較兩個相關(guān)系數(shù)211212( )( )dttAAf tf tt2122121( )( )dttttttt分解的原則對應(yīng)分解的原則對應(yīng)212222( )( )dttAAf tf tt121222AACAA2121121

5、222( )( )d ( )dttttf tfttcftt 對應(yīng)對應(yīng) 對應(yīng)對應(yīng) 2E對應(yīng)對應(yīng) ( )( )dttcf t ftt2112120正交性正交性12120CAA對應(yīng)對應(yīng)兩周期信號在同一周期內(nèi)兩周期信號在同一周期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi)同區(qū)間內(nèi))正交的條件是正交的條件是c12=0，即：，即： 總結(jié) 0d)()(21 Tttftf兩個信號不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一兩個信號不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一信號。信號。對一般信號在給定區(qū)間正交，而在其它區(qū)間不一定對一般信號在給定區(qū)間正交，而在其它區(qū)間不一定滿滿足正交。足正交。例例3.2-13.2-1：)2(1)0(1)(tttf設(shè)矩形脈沖試

6、用正弦函數(shù)試用正弦函數(shù)sint sint 在區(qū)間（在區(qū)間（0 0，2 2 ）內(nèi)來近似）內(nèi)來近似表示此函數(shù)，使均方誤差最小。表示此函數(shù)，使均方誤差最小。412t014)(tftdttdttfc2022012sinsin)()sin(sin120dtttdt4所以所以ttfsin)(4解：解：在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)近似為內(nèi)近似為)(tf),(20tctfsin)(12例例3.2-23.2-2：試用函數(shù)：試用函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)近似表示內(nèi)近似表示ttfsin)(1),(20ttfcos)(2解解：cossinttdtc122000也即也即costcost不包含不包含sintsint分量，或說分量，或說c

7、ostcost與與sintsint正交。正交。三正交函數(shù)集三正交函數(shù)集任意信號任意信號f(t)可表示為可表示為n維正交函數(shù)之和：維正交函數(shù)之和： 11221( )( )( )( )( )( )nrrnnrrrf tc g tc g tc g tc gtc g t原函數(shù)原函數(shù)近似函數(shù)近似函數(shù) 2121212( )( )d( )d( )( )d 3trtrtrttrtrf t g ttcgttf t g ttk 相相互互正正交交：tgtgtgr21,210,( )( ),tmntmmngtgt dtkmnr =0, 1, 2, . n基底函數(shù)基底函數(shù)分解原則還是誤差函數(shù)方均值最小 21222112

8、1( ) ( )( )ntrrtrtf tc g tdttt ,222212 00003rncccc 令令可可得得式式理解2211212( )( )d( )( )d( )dttrrttrtrrtf t g ttf t g ttckgtt正交函數(shù)集規(guī)定：正交函數(shù)集規(guī)定： 所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。 不能因一個函數(shù)集中某幾個函數(shù)相互正交就說該不能因一個函數(shù)集中某幾個函數(shù)相互正交就說該函數(shù)集是正交函數(shù)。函數(shù)集是正交函數(shù)。 是相互獨(dú)立的，互不影響，計算時先抽取是相互獨(dú)立的，互不影響，計算時先抽取 哪一個都可以，非正交函數(shù)就無此特性。哪一個都可以，非正交函數(shù)就無此特性。 12,nc cc此

9、公式是個通式，適合于任何正交函數(shù)集。此公式是個通式，適合于任何正交函數(shù)集。復(fù)變函數(shù)的正交特性 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， 若復(fù)變函數(shù)集若復(fù)變函數(shù)集 滿足以下關(guān)系滿足以下關(guān)系 則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集。則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集。 ),(21tt( ) ,(0,1,2, )rg trn21*( )( )d0tijtg t g ttij21*( )( )d tiiitg t g ttk用用 表示表示 ，求分量系數(shù)，求分量系數(shù) ( ) ,(0,1,2, )rg trn)(tf2121( )( )d( )( )dtrtrtrrtf t g ttcg t g tt定義定義1 1： 定義定義2 2： 四完備

10、正交函數(shù)集四完備正交函數(shù)集11221( )( )( )( )( )( )nrrnnrrrf tc g tc g tc g tc gtc g t 為為完完備備的的正正交交函函數(shù)數(shù)集集。，此此時時，則則下下降降，若若增增加加時時，當(dāng)當(dāng)tgtgtgtgnnnr2122,0 不不完完備備。數(shù)數(shù)集集于于此此正正交交函函數(shù)數(shù)集集，原原函函必必屬屬，則則有有如如果果存存在在函函數(shù)數(shù)tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21 2 , 1 , rtgr為完備的正交函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集 tgr稱為完備正交函數(shù)集的基底稱為完備正交函數(shù)集的基底 一個信號可用完備的正交函數(shù)集表示，正交函數(shù)

11、集一個信號可用完備的正交函數(shù)集表示，正交函數(shù)集有許多，如有許多，如 正弦函數(shù)集正弦函數(shù)集 指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集 walsh函數(shù)集函數(shù)集 正弦函數(shù)集有許多方便之處正弦函數(shù)集有許多方便之處,如易實現(xiàn)等，我們將討如易實現(xiàn)等，我們將討論如何用正弦函數(shù)集表示信號。論如何用正弦函數(shù)集表示信號。 常用正交函數(shù)集 一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)cos,sinntnt 是一個完備的正交函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，n=0,1,. 11cossin0tTtntmt11,coscos20,tTtTmnntmtmn11,sinsin20,tTtTmnntmtmn 由積

12、分可知由積分可知1.三角函數(shù)集在滿足狄氏條件時，可展成在滿足狄氏條件時，可展成 ( )cossin01 12nnnaf tantbnt 直流分量直流分量( )dtTtaf ttT1102余弦分量的幅度余弦分量的幅度( )cosd112tTntaf tnttT 正弦分量的幅度正弦分量的幅度( )sind112tTntbf tnttT 稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2級數(shù)形式 2, f tTT周周期期信信周周期期基基波波角角 率率: : 號號 為為 頻頻 基波分量基波分量n次斜波分量次斜波分量其他形式22nnnAab nnnabarctan cosnnnaA si

13、n nnnbA 余弦形式余弦形式 ( )cosnnnaf tAnt01 22uAn是頻率是頻率n 的的偶函數(shù)，偶函數(shù)， n 是頻率是頻率n 的的奇函數(shù)。奇函數(shù)。周期信號能夠進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開的一組充分條件：周期信號能夠進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開的一組充分條件：(1)在一周期內(nèi)在一周期內(nèi),信號是絕對可積的信號是絕對可積的,即即 等于有限值等于有限值.(2)在一周期內(nèi)在一周期內(nèi),如果有間斷點(diǎn)存在如果有間斷點(diǎn)存在,則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個是有限個.(3)在一周期內(nèi)在一周期內(nèi),極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個.|( ) |11tTtftd t 3. 狄利克雷(Dir

14、ichlet)條件4傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差 cossin012nnnaf tantbnt)()12(tfN項項來來逼逼近近取取前前 cossin012NNnnnaSantbnt 誤差函數(shù)誤差函數(shù) NNStft )( 方均誤差方均誤差( )( )d11221tTNNNtEtttT ( )2222201142NNNnnnaEtftab 例例3.2-33.2-3：()( )()Ttf tTt 102102試用它進(jìn)行傅立葉展開試用它進(jìn)行傅立葉展開1T2T2t0-1)(tf( )cosdTTnaf tnttT2220 /( )sindsindTTnTbf tnttTnttTn22202440 (

15、)dTTaf ttT20220( )sin()sin()sin()f tttt4113535 N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它約等于總跳變很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它約等于總跳變吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象中出現(xiàn)的峰起愈靠近中出現(xiàn)的峰起愈靠近f(t)的不連續(xù)點(diǎn)。的不連續(xù)點(diǎn)。項數(shù)越多，項數(shù)越多，值的值的9%， 并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏震蕩的形式逐漸衰并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏震蕩的形式逐漸衰減下去減下去f(t)9%tcossin012NNnnnaSantbnt 二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集,jntne 012 2 2級數(shù)形式級數(shù)形式3 3系數(shù)

16、系數(shù)( )ddtTjnttntTjntjnttf ttct1111eee ( )jntnnf tce 4 ( )dtTjn tntcf ttT111e 5 利用復(fù)變函數(shù)的正交特性利用復(fù)變函數(shù)的正交特性也可寫為也可寫為 ,jn t e周周期期信信可可分分解解上上的的指指信信的的性性合合。 說明 ( )jntnnf tce 4 ( ) ( )45ncf t如如出出 ，惟惟一一確確定定， 、 式式是是一一 ( )dtTjn tntcf ttT111e 5 號號 為為 區(qū)間區(qū)間 數(shù)數(shù) 號號 線線 組組 給給 對變換對對變換對結(jié)論結(jié)論(4)和和(6)相等，且相等，且三兩種系數(shù)之間的關(guān)系三兩種系數(shù)之間的關(guān)

17、系()()()( )nnnj n tj n tnnnj n tnnjn tnnaf tA eAAAeee-011221=21= (6) 2 余弦形式余弦形式 ( )cosnnnaf tAnt01 22比較于比較于 ( )jntnnf tce4 12nncA四函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系四函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量1偶函數(shù)信號波形相對于縱軸是對稱的信號波形相對于縱軸是對稱的)()(tftf )(tfOtTET ( )sindTTnbf tn ttT2220( )cosd2040Tnaf tn ttT 傅傅里

18、里中中不不含含正正弦弦分分量量，只只含含直直流流和和余余弦弦。葉級數(shù)葉級數(shù)項項項項2奇函數(shù))()(tftf 對對稱稱的的：波波形形相相對對于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfOtTT 11 0= d)(1 220 TTttfTa( )cosd2220TTnaf tn ttT ( )sindTTnbf tn ttT222 ( )sind2040Tf tn ttT 傅傅里里中中余余弦弦分分量量。葉級數(shù)葉級數(shù)無無0 6 , 4 , 2 nnban時時3奇諧函數(shù), ,( )cosd2041 3 5 Tnnaf tn ttT ( )sind204Tnbf tn ttT f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttf