第10講多元函數(shù)的極值學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第第10講多元函數(shù)講多元函數(shù)(hnsh)的極值的極值第一頁，共43頁。設(shè))(Xfu 在nRX)U(0內(nèi)有定義.若, )(U0XX 總有則稱)(0Xf為函數(shù))(Xf的極大值0X稱為函數(shù)的極大點一一. .無約束極值無約束極值(極小(j xio)點).(極小值).第1頁/共42頁第二頁，共43頁。例1函數(shù)221yxz在點)0,0(處函數(shù)22yxz在點)0,0(處例2取極大值.取極小值.例1函數(shù)xyz 在點)0,0(處不取極值(j zh).第2頁/共42頁第三頁，共43頁。定理(dngl)若在點具有偏導(dǎo)數(shù), 且在),(yxfz ),(00yx處取極值, 則必有),(00yx . 0),( ,0

2、),( grad 0000yxfyxf或該結(jié)論還可寫為第3頁/共42頁第四頁，共43頁。處的切平面(pngmin)方程為由可微函數(shù)取極值(j zh)的必要條件： 此時(c sh), 切平面平行于 xy 平面.設(shè)函數(shù)在點),(00yx處可微且取),(yxf極值, 則相應(yīng)的曲面在點),(00yx),(yxfz 函數(shù)極值的幾何意義故切平面方程實際為 .0zz 第4頁/共42頁第五頁，共43頁。定理(dngl)若)(Xfu 在點0X具有偏導(dǎo)數(shù), 且在0X處取極值, 則必有0)(0ixXf. ), 2, 1(ni該結(jié)論還可寫為,0)(0Xf.0)( grad0Xf使函數(shù))(Xfu 零的點0X稱為函數(shù)的駐

3、點.的一階偏導(dǎo)數(shù)全為第5頁/共42頁第六頁，共43頁。定理(dngl)(可微的二元函數(shù)極值(j zh)判別法)記,),(2200yxxfA,),(200yxyxfB,),(2200yxyfC設(shè)第6頁/共42頁第七頁，共43頁。例例3 3求yxxyxyxf12153),(23的極值.解解聯(lián)立方程(lin l fn chn)組, 求駐點:解之得駐點, )2, 1(, )2, 1(, )1, 2(. ) 1, 2(第7頁/共42頁第八頁，共43頁。點) 1, 2(是極大點,極大值為. 28)1, 2(f點)2, 1(不是極值點.01082 BAC, 01382 BAC)2, 1(點不是極值點.點)

4、1 , 2(是極小點,極小值為. 28)1, 2(f第8頁/共42頁第九頁，共43頁。 函數(shù)的駐點以及使函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)不存在(cnzi)的點, 稱為函數(shù)的極值可能點. 函數(shù)(hnsh)在其極值可能點處, 可能取極值,也可能不取極值.第9頁/共42頁第十頁，共43頁。如果, )()(CXf)(Xf為有界閉區(qū)域, 則函必在上取到它的最大值和最小值.數(shù)第10頁/共42頁第十一頁，共43頁。上的最大值和最小值.在它們就是取出最大者和最小者 )( ,Xf第11頁/共42頁第十二頁，共43頁。如果知道可微函數(shù))(Xf的最大值或最小值一定在區(qū)域內(nèi)達到, 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)又僅有一個駐點, 則該駐點一定是最大值點

5、或最小值點.第12頁/共42頁第十三頁，共43頁。例例4 4距離(jl)之平方和為最大及最小的點.解所求距離(jl)之平方和為第13頁/共42頁第十四頁，共43頁。所討論的問題(wnt)歸結(jié)為下面的問題(wnt):第14頁/共42頁第十五頁，共43頁。求函數(shù)f在有界閉區(qū)域D上的最大、最小值的一般(ybn)步驟為：f上的可能極大、極小值點;先求在開區(qū)域D再求fD上的可能極大、極小值點;在邊界將所求出的可能極值(及邊界上的特殊點的函數(shù)值)進行比較, 即可得出函數(shù)的最大、最小值.第15頁/共42頁第十六頁，共43頁。 : D 內(nèi)在由方程組得到駐點, ),(3131且 .),(343131f第16頁/

6、共42頁第十七頁，共43頁。 : D 上在 C由一元函數(shù)求極值(j zh)的方法, 得駐點：, ) ,(310函數(shù)值：) ,(310f35第17頁/共42頁第十八頁，共43頁。 : D 上在 C由一元函數(shù)求極值(j zh)的方法, 得駐點：, ) , (310函數(shù)值：) , (31035f第18頁/共42頁第十九頁，共43頁。 : D 上在 C由一元函數(shù)求極值(j zh)的方法, 得駐點：, ),(2121函數(shù)值：), (2121f23第19頁/共42頁第二十頁，共43頁。綜上所述f) ,(31350f) , (31035f),(212123f),(313134邊界(binji)上端點值：第2

7、0頁/共42頁第二十一頁，共43頁。f),(313134第21頁/共42頁第二十二頁，共43頁。例例5 5求內(nèi)接于半徑(bnjng)為 a 的球且有最大體積(tj)的長方體 .x球面球面(qimin)解解選擇坐標系, 使球心位于坐標原點, 則球面方程為設(shè)所求長方體在第一卦限中的頂點為則長方體的三個棱邊長是長方體體積為2228yxaxy8)2)(2)(2(xyzzyxV第22頁/共42頁第二十三頁，共43頁。原問題(wnt)歸結(jié)為下面的優(yōu)化問題(wnt):第23頁/共42頁第二十四頁，共43頁。由解之得第24頁/共42頁第二十五頁，共43頁。由解之得應(yīng)用題, 又僅有唯一的個駐點, 故該駐點即為極

8、值點, 從而所求球內(nèi)接長方體的邊長為 . 32222azyx第25頁/共42頁第二十六頁，共43頁。應(yīng)滿足(mnz)方程 對自變量附加一定條件(tiojin)的極值問題就是有約束極值問題 .例如, 上面講的求球內(nèi)接體積最大的長方體的問題, 就是一個有約束的極值問題: 長方體頂點必須位于球面上 , 其坐標x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .第26頁/共42頁第二十七頁，共43頁。 有約束極值(j zh)(條件極值(j zh)的定義若,0LX , )(U0XLX有)()(0XfXf( 或,)()(0XfXf則稱)(0Xf為函數(shù))(Xf在約束條件,0)(1X)( ,0)(nmXm下的極大值

9、 (或極小值). 這種極值通常(tngchng)簡稱為函數(shù)的條件極大(小)值. 這里的約束稱為(chn wi) 等式約束.第27頁/共42頁第二十八頁，共43頁。問題： 求函數(shù)),(yxfu 在0),(yx下的極值.條件 運用變量替代法求解有約束極值問題時, 往往會遇到困難 有時不能從條件中解出變量間的顯函數(shù)(hnsh)表示式.第28頁/共42頁第二十九頁，共43頁。 拉格朗日乘數(shù)(chn sh)法第29頁/共42頁第三十頁，共43頁。求解(qi ji)構(gòu)造(guzo)拉格朗日函數(shù)第30頁/共42頁第三十一頁，共43頁。由取極值(j zh)的必要條件解方程組 駐點(zh din) 進行(jnx

10、ng)判別第31頁/共42頁第三十二頁，共43頁。例例7 7求函數(shù)xyzzyxf),(在條件下的極小值, 并證明此時(c sh)不等式成立：其中(qzhng), x、y、z、a 0為實數(shù).第32頁/共42頁第三十三頁，共43頁。解解作拉格朗日函數(shù)(hnsh)令第33頁/共42頁第三十四頁，共43頁。由前三式(sn sh)得從而(cng r)將它代入最后一式, 得到(d do)拉格朗日函數(shù)的駐點： 該駐點是否為原函數(shù)的極值點?第34頁/共42頁第三十五頁，共43頁。設(shè)方程(fngchng)確定(qudng)隱函數(shù)則可令從而(cng r)第35頁/共42頁第三十六頁，共43頁。在點ayx3處,06

11、22axFA又故函數(shù) F (x, y)在點(3a, 3a)處取極小值, 這等價(dngji)于函數(shù) f (x, y, z) 在(3a,3a,3a)取極小值 .27)3 ,3 ,3(3aaaaf第36頁/共42頁第三十七頁，共43頁。下面(xi mian)證明不等式：311113xyzzyx由于點 (3a ,3a,3a) 是可微函數(shù)xyzzyxf),(的唯一(wi y)(條件)極小值點, 故在中有即有D),(zyx第37頁/共42頁第三十八頁，共43頁。由 x、y、z、a 0 的任意性, 即可得第38頁/共42頁第三十九頁，共43頁。由 x、y、z、a 0 的任意性, 即可得311113xyzzyx)0, 0, 0(zyx將上式稍加變形, 即可得到一個(y )重要的不等式：)0, 0, 0(zyx幾何(j h)平均值算術(shù)(sunsh)平均值第39頁/共42頁第四十頁，共43頁。例例第40頁/共42頁第四十一頁，共43頁。多元(du yun)函數(shù)的極值 無約束極值(j zh) 有約束(yush)極值 變量替代法 拉格朗日乘數(shù)法第41頁/共42頁第四十二頁，共43頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。第2頁/共42頁。具有偏導(dǎo)數(shù)(do sh), 且在。極值, 則相