2.3常用的離散分布ppt課件

1、2.3 2.3 常用的離散型分布常用的離散型分布一、退化分布一、退化分布如果隨機變量如果隨機變量X X則稱隨機變量則稱隨機變量X X服從服從 處的退化分布處的退化分布.*a即即此時此時 0DXaEXPXa1Xa 1二、兩點分布二、兩點分布如果隨機變量如果隨機變量X X 只取兩個值只取兩個值其中其中此時此時當當時，時，即為即為0101分布分布. .也稱也稱X X是參數(shù)為是參數(shù)為p p的的此時此時 p則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p p的兩點分布的兩點分布. .伯努利隨機變量伯努利隨機變量. .01p1px2()1xp11,x 20 x 12,xx12xxX1ppEX10X1ppEXDX)1(

2、pp三、離散均勻分布三、離散均勻分布X12.nxxx111.nnn如擲一顆骰子如擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)出現(xiàn)的點數(shù)X具有離散均勻分布具有離散均勻分布. .612345X111111666666EX11xn21xn1.nxn1n12.nxxxxDXE2XEX2E Xx21()1xnx22()1xnx2.(1. .)nxxn四、二項分布四、二項分布可形象地把這兩個對立結(jié)果可形象地把這兩個對立結(jié)果每一次試驗每一次試驗, ,設(shè)在一次試驗中設(shè)在一次試驗中, ,只有兩個對立的結(jié)果只有兩個對立的結(jié)果: :A或或A叫作叫作“勝利勝利”重復(fù)進行重復(fù)進行 次獨立試驗次獨立試驗, ,n(“(“反復(fù)反復(fù)指指 一樣一樣,

3、, “ “獨立獨立指各次試驗的結(jié)指各次試驗的結(jié)果果互不影響互不影響) ) 各次試驗的條件各次試驗的條件成功的概率都是成功的概率都是失敗的概率都是失敗的概率都是這樣的這樣的 次獨立重復(fù)試驗次獨立重復(fù)試驗 n稱作稱作 重貝努里重貝努里 n簡稱貝努里試驗簡稱貝努里試驗 或貝努里概型或貝努里概型. . 用用 表示表示Xn n重貝努里試驗中重貝努里試驗中事件事件A(A(勝利勝利) )出現(xiàn)的出現(xiàn)的可能取值可能取值: :X和和“失敗失敗”次數(shù)次數(shù), ,實驗實驗, , 0,1,2,3,.,n, pq 1pPnkX.210設(shè)設(shè) 表示表示 iA 第第 次發(fā)生事件次發(fā)生事件A A iiP A()0P X12.()n

4、AP AA12() (). ()nPPPAAA()iP Ap1p qnq1P X231.(.nAAPAA 213.nAAAA 11.)nnAAA231.().nA APAA132.()nP A A AA11.).(nnAAPAp1nq1nCnq111nnpCq12() (). ()nPPPAAA12() (). ()nPPAAP A .11(). () ()nnP APPAAP Xk11.(. .nkkAAPAA11.).nn kknAAAA .P Xn12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAAnpknCkpn kq2p2P X312.(.nPAAAA .121.)nnnAAA

5、A2nC2nq132() () (). ()nPPP APAAA.121() (). () ()nnAAAPPP APPnkX.210設(shè)設(shè) 表示表示 iA 第第 次發(fā)生事件次發(fā)生事件A A iiP A().()iP Ap1p qnq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp312.(.)nAPAAA .121(.)nnnPAAAA11.()nkkAAPAA.11.).(.n knn kAAAP A PnkX.210.稱隨機變量稱隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為,n p的二項分布的二項分布, ,記為記為p1nqkpn kq當當n=1n=1時時, , 二項分布二項分布1即即qp即是參數(shù)為

6、即是參數(shù)為p p的的0101分布分布. .EXpnDXqn p可以證明，可以證明， 二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為分別為 ( , )Xb n pP Xkn kqknC0,1,2,.,knnq 111nnqC p222nnqC p.kknn kpCq.np()nqp1(, )bp01Xnq1nC2nC2p2nqknCnpkp20例例 已知隨機變量已知隨機變量求求5P X 解解4.26q 4.20.31P X2P X3P X4P X10i 40P XEXpnDXqn p可以證明，可以證明， 二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為分別為EXpn6DXqn p1

7、pq 0.7q 6np6EX 4.2DX ( , )Xb n pXb0.320,5P X 15P X 1 4P X 120iC0.3i200.7i401i P Xi3232q例例 (2,)XBp ，(3,)YBp且且519P X求求1P Y解解591P X 11P X 1 0P X 12q5194923q13pYB3,131P Y 11P Y 1 0P Y 13q 11927設(shè)設(shè)0.5, 0.5 XU0.30.3 在四舍五入時在四舍五入時, ,今有今有n n個加數(shù)個加數(shù), ,每個加數(shù)的取整誤差每個加數(shù)的取整誤差服從服從 0.5, 0.5上的均勻分布上的均勻分布, ,計算它們中計算它們中絕對誤差

8、小于絕對誤差小于 的概率的概率. .0.3例例 設(shè)設(shè) 表示一個加數(shù)的取整誤差表示一個加數(shù)的取整誤差X解解P10.50.5)(xfy 的概率為的概率為: :每個加數(shù)的絕對誤差小于每個加數(shù)的絕對誤差小于0.3 0.3X P 0.30.3X( )Xfx dx0.30.31dx 0.6設(shè)設(shè) 為為n n個加數(shù)中個加數(shù)中Y絕對誤差小于絕對誤差小于0.30.3的個數(shù)的個數(shù). .Y的可能取值為的可能取值為0,1,2,.,n至少有至少有3 3個的個的1)n1)n個加數(shù)個加數(shù)2)2)每個加數(shù)的絕對誤差每個加數(shù)的絕對誤差4)4)各加數(shù)的絕對誤差是否各加數(shù)的絕對誤差是否至少有至少有3 3個加數(shù)的個加數(shù)的10.50.5

9、)(xfy 或者小于或者小于0.3 0.3或者或者3)3)每個加數(shù)的絕對誤差每個加數(shù)的絕對誤差小于小于 的概率都是的概率都是0.30.6小于小于0.3互不影響互不影響. . ()Yb,n0.6絕對誤差絕對誤差小于小于 的概率為的概率為: :0.3P 3Y 0P Y設(shè)設(shè) 為為n n個加數(shù)中個加數(shù)中Y絕對誤差小于絕對誤差小于0.30.3的個數(shù)的個數(shù). . 1P 3Y 11P Y 2P Y 10.4n10.61nC10.4n20.62nC20.4n0.5, 0.5 XU設(shè)設(shè) 表示一個加數(shù)的取整誤差表示一個加數(shù)的取整誤差XP 0.3X0.30.3( )Xfx dx0.30.31dx 0.6五、幾何分布

10、五、幾何分布一般地一般地, ,假定一個試驗假定一個試驗直到首次成功為止直到首次成功為止, ,成功的概率是成功的概率是p ( 01)p 不斷地重復(fù)試驗不斷地重復(fù)試驗, ,且各次試驗的且各次試驗的結(jié)果是獨立的結(jié)果是獨立的.令令 表示表示X試驗的次數(shù)試驗的次數(shù). .X可能取的值是可能取的值是: :1,2,3,., ,.n123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 設(shè)設(shè) 表示表示iA“第第 次成功次成功” ” i()iP Aq 令令p ()iP A1p1P X 21()P A A 12() ()A P AP qp 123()A A AP 123() () ()AAPP AP 1()P A p

11、 2P X 3P X pqq 121.()nnA AAPA 121() (). ()nnAAAPAPPP （ ） 1npq 2pq P Xn 服從服從X參數(shù)為參數(shù)為 的幾何分布的幾何分布. .p123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 幾何分布：幾何分布：01,p p pq 2pq 1.npq . 1qp11n11nnxn2)1(1x 時，時，1 x21(1)q23(.)nxxxx21p1pn1npq1npn1nqp1n()nx1nnx1xxpEX1pEX p 2 pq 23 pq 1.npqn . 123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp 01,p 1EXp1n2n1

12、npq2EX p 22 pq 223 pq 21.npqn . 1np2n1nq121nnxn時，時，1 x1n()nnx1nnnxx11nnxnx2(1)x31(1)xxp3(1)q 1q p3p1q 2p 1q DX 2EX 2()EX21pq 21p2qp 幾何分布有性質(zhì)：幾何分布有性質(zhì)：123.XnPppq2pq1npq .XmXnmPnP X對任意自然數(shù)對任意自然數(shù)m m，n n， 有有證證XmXnmPP XmnPXm XmmP XP XnmP Xm1mP X2P Xm.P Xmk. mpq 1mpq 1.m kqp .1qmpqmq mqnmq nq nP X稱為無記憶性，稱為無記

13、憶性， 是幾何分布的特征性質(zhì)是幾何分布的特征性質(zhì). .六、超幾何分布六、超幾何分布0100010C0600C一個池塘中有一個池塘中有10001000條魚條魚, ,從池中任意撈從池中任意撈100100條魚條魚, ,其中有其中有600條草魚條草魚, 400400條鰱魚條鰱魚, ,草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量求這求這100100條魚中條魚中解解 設(shè)設(shè) 表示表示X草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量.條草魚條草魚條鰱魚條鰱魚400600X的可能取值為的可能取值為0,1,2,3,.,1000P X 040010C0100010C600kCP Xk140000 kC0,1,2,3,. 00,1k 例例 100的概率分布的概率分布

14、. .撈出的撈出的100100條魚中條魚中一個池塘中有一個池塘中有10001000條魚條魚, ,從池中任意撈從池中任意撈100100條魚條魚, ,其中有其中有80條草魚條草魚, 920920條鰱魚條鰱魚, ,中草魚的數(shù)量中草魚的數(shù)量求這求這100100條魚條魚解解 設(shè)設(shè) 表示表示X草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量.條草魚條草魚條鰱魚條鰱魚92080X的可能取值為的可能取值為0,1,2,3,.,800100010C80kCP Xk192000 kC0,1,2,3,. 80.,k 例例 100的概率分布的概率分布. .撈出的撈出的100100條魚中條魚中規(guī)定規(guī)定1808C08280C80100.C即當即當k

15、80k 80時時, ,800kC,81,82100,.,一個池塘中有一個池塘中有10001000條魚條魚, ,從池中任意撈從池中任意撈100100條魚條魚, ,其中有其中有930條草魚條草魚, 7070條鰱魚條鰱魚, ,草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量求這求這100100條魚中條魚中解解 設(shè)設(shè) 表示表示X草魚的數(shù)量草魚的數(shù)量.條草魚條草魚條鰱魚條鰱魚70930X的可能取值為的可能取值為,31,.30.,1000100010C930kCP Xk07010kCk 例例 100的概率分布的概率分布. .撈出的撈出的100100條魚中條魚中規(guī)定規(guī)定07010C09970C7701.C即當即當j 70j 70時時,

16、 ,700jC30, 31, .,1000,1,., 29,EX 1NnN可以證明可以證明, ,定義定義對給定的自然數(shù)對給定的自然數(shù)12,n NN以及以及12NNN共共 12NNN個個個個k1N2N個個n kn個個假設(shè)假設(shè)P XknNC1kNC2kNnC0,1,2,.,kn則稱則稱 服從服從 X超幾何分布超幾何分布.超幾何分布超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為的數(shù)學(xué)期望和方差分別為1NnNDX n 12NN這里約定這里約定,ab當當時時,0abC 2NN1NnN(1)(1)無返回?zé)o返回(2)(2)有返回有返回1kNN2)2)每次或取到紅球或取到黑球每次或取到紅球或取到黑球. .3)3)每次取到紅

17、球的概率都是每次取到紅球的概率都是4)4)各次摸取互不影響各次摸取互不影響NN1個黑球個黑球, ,2N設(shè)袋中有設(shè)袋中有 個紅球個紅球, ,1N從中取從中取 次次, ,n每次取一個球每次取一個球, ,表示取到的紅球個數(shù)表示取到的紅球個數(shù). .XP Xk12nNNC1kNC2kNnC0,1,2,.,kn服從超幾何分布服從超幾何分布. .X1) 1) 次摸取次摸取n服從二項分布服從二項分布. .XP Xk2n kNNknC0,1,2,.,kn當當 很大時很大時, ,N無返回?zé)o返回接近于有返回接近于有返回, ,故超幾何故超幾何分布分布 接近于二項分布接近于二項分布. .1N2N共共 12NNN個個1n

18、N2nN(1)(1)無返回?zé)o返回(2)(2)有返回有返回時時pNN1其中其中P55 (2.57)P55 (2.57)1N2N共共 12NNN個個P Xk12nNNC1kNC2kNnC0,1,2,.,kn1kNNP Xk2n kNNknC0,1,2,.,kn對于固定的對于固定的,n,N 當當P Xk12nNNC1kNC2kNnCkpn kqknC1qp當當 很大時很大時, ,N無返回接近于有返回?zé)o返回接近于有返回, ,故超幾何分布故超幾何分布接近于二項分布接近于二項分布. .1,N 2,N 且且例例 設(shè)設(shè)1010粒種子中粒種子中10NC80.9共共N N粒粒10NC1010C910C一大批種子的

19、發(fā)芽率為一大批種子的發(fā)芽率為90%從中任取從中任取1010粒粒, ,求播種后求播種后(1)(1)恰有恰有8 8粒發(fā)芽的概率粒發(fā)芽的概率; ;(2)(2)不少于不少于8 8粒發(fā)芽的概率粒發(fā)芽的概率. .解解有有 粒種子發(fā)芽粒種子發(fā)芽. .X(1)8P X 80.9NC20.1NC20.1810C(2)8P X 8P X9P X 10P X 20.1NC80.9NC10NC10.1NC90.9NC10NC00.1NC00.91NC80.920.1810C90.910.1100.900.10.9N0.1N七、泊松分布七、泊松分布定義定義 且取這些值的概率為且取這些值的概率為其中其中( )XP 為常數(shù)

20、為常數(shù), ,則稱則稱 服從服從X參數(shù)為參數(shù)為的的記為記為設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 可能取的值為可能取的值為X!kek e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e 0,1,2,., ,.k0,1,2,., ,.kP Xk0, 分布分布, ,泊松泊松( )XP 滿足歸一性滿足歸一性. .1由由e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e xe21.2!nxxxn x 0n!nxn0nP Xne 1!1e 2.2.!e .!nne e 1 1!1 2.2.! .!nn e e 泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別為泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別為 EX DXEX 泊松分布：泊松分布：.1用同樣的

21、方法可求得用同樣的方法可求得DX2EX 2()EXe 2!2 1.!(.)n1n .e 1!1e 2!22e 3!33e .!nenn e1!1e .2!2e 2EX 222 e .01.2.nXP!nen 例例書籍中每頁的印刷錯誤書籍中每頁的印刷錯誤 服從泊松分布服從泊松分布,一個印刷錯誤的頁數(shù)一個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)同同,求任意檢驗求任意檢驗4 4頁頁, ,每頁上都沒有印刷錯誤的概率每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解解 設(shè)任一頁上設(shè)任一頁上X有有 個印刷錯誤個印刷錯誤.P Xm!mem0,1,2,3,.m 1P X 2P X 總頁數(shù)總頁數(shù)有一個印刷錯誤的頁

22、數(shù)有一個印刷錯誤的頁數(shù)總頁數(shù)總頁數(shù)有兩個印刷錯誤的頁數(shù)有兩個印刷錯誤的頁數(shù)2P X0P X 任取任取4 4頁頁, ,設(shè)設(shè) 表示表示iA有有“第第 頁上頁上i沒有印刷錯誤沒有印刷錯誤”P1234A A A A1234() () () ()P A P A P A P A為一頁上沒有印刷錯誤的概率為一頁上沒有印刷錯誤的概率.2e2e2e2e8e相相1P X 1!1e 2!2e 2 2e 0!0e 定理定理2.4 (2.4 (泊松定理泊松定理) ) 在在 重貝努利試驗中重貝努利試驗中, ,n事件事件A A在每次試驗中發(fā)生的概率為在每次試驗中發(fā)生的概率為np（與試驗的次數(shù)（與試驗的次數(shù)n有關(guān)）有關(guān)）假設(shè)假設(shè)n 時，時，nnp （ 0， 為常數(shù)為常數(shù) )則對任意則對任意k0,1,2,.,n有有; ,nb k n plimnlimn!kek knp(1)nn kpknC根據(jù)此定理根據(jù)此定理, ,參數(shù)為參數(shù)為!k假假設(shè)設(shè) (,)Xb n p充分大充分大, ,n充分小充分小, ,p則則X X近似服從近似服從的泊松分布的泊松分布. .即即np P Xk()knp()npekp(1)knpknC!kek 例例 1) 1) 有有2 2個元件發(fā)生故障的概率個元件發(fā)生故障的概率. .2) 2) 有不少于有不少于2 2個元件發(fā)生故障的概率個元件發(fā)生故障的概率. .1) 10001) 1000個元件個