2.1-數(shù)學(xué)軟件 Matlabppt課件

1、數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件 Matlab Matlab 符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算本講主要內(nèi)容本講主要內(nèi)容n Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹符號(hào)運(yùn)算介紹n 符號(hào)對(duì)象與基本符號(hào)運(yùn)算符號(hào)對(duì)象與基本符號(hào)運(yùn)算n findsym 和和 subsn 六類常見的符號(hào)計(jì)算六類常見的符號(hào)計(jì)算符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算l 計(jì)算以推理方式進(jìn)行，不受計(jì)算誤差累積所帶來(lái)的困擾計(jì)算以推理方式進(jìn)行，不受計(jì)算誤差累積所帶來(lái)的困擾 l 符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)單，與教科書上的公式相近符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)單，與教科書上的公式相近 l 符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解封閉解不存在時(shí)值解封閉解不

2、存在時(shí) ）l 符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)q 符號(hào)運(yùn)算的特點(diǎn)符號(hào)運(yùn)算的特點(diǎn) Matlab 符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算l Matlab 符號(hào)運(yùn)算是通過(guò)符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱符號(hào)運(yùn)算是通過(guò)符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱Symbolic Math Toolbox來(lái)實(shí)現(xiàn)的。來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 l Matlab 的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)算功能，如：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)算功能，如：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)微積分，符號(hào)作圖，符號(hào)代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求微積分，符號(hào)作圖，符號(hào)代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求解等。解等。l 此外，該工

3、具箱還支持可變精度運(yùn)算，即支持以指定的此外，該工具箱還支持可變精度運(yùn)算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。精度返回結(jié)果。 q Matlab 符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算 符號(hào)運(yùn)算舉例符號(hào)運(yùn)算舉例l 求一元二次方程求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的根 solve(a solve(a* *x2+bx2+b* *x+c=0)x+c=0)l 求的根求的根 f (x) = (cos x)2 的一次導(dǎo)數(shù)的一次導(dǎo)數(shù) x=sym(x); x=sym(x); diff(cos(x)2) diff(cos(x)2)l 計(jì)算計(jì)算 f (x) = x2 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的定積分上的定積分 syms a

4、b x; syms a b x; int(x2,a,b) int(x2,a,b)l 符號(hào)對(duì)象：在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必須先定義基本的符號(hào)對(duì)符號(hào)對(duì)象：在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必須先定義基本的符號(hào)對(duì)象，可以是符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等象，可以是符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等 l 符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象l 符號(hào)表達(dá)式：含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱符號(hào)表達(dá)式：含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱l 符號(hào)矩陣符號(hào)矩陣/數(shù)組：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣數(shù)組：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣/數(shù)組數(shù)組 l sym 函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：q 符

5、號(hào)對(duì)象的定義符號(hào)對(duì)象的定義/聲明：聲明：sym、syms符號(hào)對(duì)象的建立符號(hào)對(duì)象的建立例：例： a=sym(a) a=sym(a) 符號(hào)變量符號(hào)變量 = sym(x)參數(shù)參數(shù) x 可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn) 是符號(hào)變量是符號(hào)變量b 是符號(hào)常量是符號(hào)常量 b=sym(1/3) b=sym(1/3)C 是符號(hào)矩陣是符號(hào)矩陣 C=sym(1 ab; c d) C=sym(1 ab; c d)符號(hào)對(duì)象的建立符號(hào)對(duì)象的建立syms 符號(hào)變量符號(hào)變量1 符號(hào)變量符號(hào)變量2 . 符號(hào)符號(hào)變量變量n 例：例： syms a b c syms a b c a=s

6、ym(a); a=sym(a); b=sym(b); b=sym(b); c=sym(c); c=sym(c);q 符號(hào)對(duì)象的定義符號(hào)對(duì)象的定義/聲明：聲明：sym、symsl syms 命令用來(lái)建立多個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：命令用來(lái)建立多個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：例：例：l 建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下 2 種方法：種方法：l (1) 用用 sym 函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。 (2) 使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。 y=sym(sin(x)+cos(x) y=sym(sin(x)+cos(x) x=

7、sym(x); x=sym(x); y=sin(x)+cos(x) y=sin(x)+cos(x)符號(hào)表達(dá)式符號(hào)表達(dá)式 syms x; syms x; y=sin(x)+cos(x) y=sin(x)+cos(x)q 符號(hào)表達(dá)式：含符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式符號(hào)表達(dá)式：含符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式Matlab 符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱和使用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同和使用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同基本符號(hào)運(yùn)算基本符號(hào)運(yùn)算l 普通運(yùn)算：普通運(yùn)算：+ - * / l 數(shù)組運(yùn)算：數(shù)組運(yùn)算：.* . ./ .l 矩陣轉(zhuǎn)置：

8、矩陣轉(zhuǎn)置： .例：例： X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Z1=X Z1=X* *Y; Z2=X.Y; Z2=X.* *Y;Y;q 基本運(yùn)算符基本運(yùn)算符符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、sqrt、log2、log10、abs、conj、real、ima

9、g、rank、det、inv、eig、diag、triu、tril、expm、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等q 基本函數(shù)基本函數(shù)若表達(dá)式中有兩個(gè)符號(hào)變量與若表達(dá)式中有兩個(gè)符號(hào)變量與 x 的距離相等，的距離相等，則則ASCII 碼大者優(yōu)先。碼大者優(yōu)先。findsymfindsym(expr)按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式 expr 中的所有符中的所有符號(hào)變量號(hào)變量findsym(expr, N)按順序列出按順序列出 expr 中離中離 x 最近的最近的 N 個(gè)符號(hào)個(gè)符號(hào)變量變量常量常量 pi, i, j 不作為符號(hào)變量不作為

10、符號(hào)變量q 查尋符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量查尋符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量例：例： f=sym(2 f=sym(2* *w-3w-3* *y+z2+5y+z2+5* *a)a) findsym(f) findsym(f) findsym(f,3) findsym(f,3) findsym(f,1) findsym(f,1)findsym 舉例舉例subssubs(f,x,a) 用用 a 替換字符函數(shù)替換字符函數(shù) f 中的字符變量中的字符變量 x a 是可以是是可以是 數(shù)數(shù)/數(shù)值變量數(shù)值變量/表達(dá)式表達(dá)式 或或 字符變字符變量量/表達(dá)式表達(dá)式假設(shè)假設(shè) x 是一個(gè)由多個(gè)字符變量組成的數(shù)組或矩陣，是一個(gè)由多個(gè)

11、字符變量組成的數(shù)組或矩陣，那么那么 a 應(yīng)該具有與應(yīng)該具有與 x 相同的形狀的數(shù)組或矩陣。相同的形狀的數(shù)組或矩陣。q 符號(hào)替換符號(hào)替換l 用給定的數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量用給定的數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量subs 舉例舉例 f=sym(2 f=sym(2* *u);u); subs(f,u,2) subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) f2=subs(f,u,u+2) a=3; a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y syms x y f3=sub

12、s(f,u,x+y) f3=subs(f,u,x+y) subs(f3,x,y,1,2) subs(f3,x,y,1,2)ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*(a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6例：指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果例：指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果f=2*u下面的命令運(yùn)行結(jié)果會(huì)是什么？下面的命令運(yùn)行結(jié)果會(huì)是什么？ subs(f3,x,y,x+y,x+y) subs(f3,x,y,x+y,x+y)R2019版本已修正版本已修正符號(hào)矩陣符號(hào)矩陣 A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x) A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x)l 使

13、用使用 sym 函數(shù)直接生成函數(shù)直接生成l 將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成符號(hào)矩陣將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成符號(hào)矩陣l 符號(hào)矩陣中元素的引用和修改符號(hào)矩陣中元素的引用和修改 B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3); B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3); C=sym(B) C=sym(B) A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x); A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x); A(1,2) % A(1,2) % 引用引用 A(2,2)=sym(cos(x) % A(2,2)=sym(cos(x) % 重新賦值重新賦值六類常見符號(hào)運(yùn)算六類常見符號(hào)運(yùn)算q

14、因式分解、展開、合并、簡(jiǎn)化及通分等因式分解、展開、合并、簡(jiǎn)化及通分等q 計(jì)算極限計(jì)算極限q 計(jì)算導(dǎo)數(shù)計(jì)算導(dǎo)數(shù)q 計(jì)算積分計(jì)算積分q 符號(hào)求和符號(hào)求和q 代數(shù)方程和微分方程求解代數(shù)方程和微分方程求解因式分解因式分解factor( f ) syms x; f=x6+1; syms x; f=x6+1; factor( f ) factor( f )l factor 也可用于正整數(shù)的分解 s=factor(100) s=factor(100) factor(sym(12345678901234567890) factor(sym(12345678901234567890)l 大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)

15、常量大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量例：例：例：例：函數(shù)展開函數(shù)展開expand( f ) syms x; f=(x+1)6; syms x; f=(x+1)6; expand( f ) expand( f )l 多項(xiàng)式展開l 三角函數(shù)展開 syms x y; f=sin(x+y); syms x y; f=sin(x+y); expand( f ) expand( f )合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)collect(f,v): 按指定變量按指定變量 v 進(jìn)行合并進(jìn)行合并collect( f ) : 按默認(rèn)變量進(jìn)行合并按默認(rèn)變量進(jìn)行合并 syms x y; syms x y; f= x2 f= x2* *y

16、 + yy + y* *x - x2 + 2x - x2 + 2* *x ;x ; collect( f ) collect( f ) collect( f,y) collect( f,y)例：例：函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化y=simple( f ): 對(duì)對(duì) f 嘗試多種不同嘗試多種不同的算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，返回其中最簡(jiǎn)短的形式的算法進(jìn)行簡(jiǎn)化，返回其中最簡(jiǎn)短的形式y(tǒng),How=simple( f ): y 為為 f 的最的最簡(jiǎn)短形式，簡(jiǎn)短形式，How 中記錄的為簡(jiǎn)化過(guò)程中使用的中記錄的為簡(jiǎn)化過(guò)程中使用的方法。方法。fyHOW2*cos(x)2-sin(x)2 3*cos(x)2-1 simplify(x+1)*

17、x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化y=simplify( f ): 對(duì)對(duì) f 進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)行簡(jiǎn)化 syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2 ; syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2 ; simplify( f ) simplify( f ) syms c alpha beta; syms c alpha beta; f=exp(c f=exp(c* *log(sqrt(alpha+beta);log(sqrt(alpha+beta)

18、; simplify( f ) simplify( f )例：例：函數(shù)簡(jiǎn)化舉例函數(shù)簡(jiǎn)化舉例 syms x; syms x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); y1=simplify( f ) y1=simplify( f ) g1=simple( f ) g1=simple( f ) g2=simple(g1) g2=simple(g1)多次使用多次使用 simple 可以達(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)可以達(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)3321612()8fxxxx 例：簡(jiǎn)化例：簡(jiǎn)化分式通分分式通分q 通分通分N,D=numden(f ): N 為通分后的

19、分子，為通分后的分子，D 為通為通分后的分母分后的分母 syms x y; syms x y; f=x/y+y/x; f=x/y+y/x; N,D=numden(f ) N,D=numden(f ) n,d=numden(sym(112/1024) n,d=numden(sym(112/1024)例：例：horner 多項(xiàng)式多項(xiàng)式q horner 多項(xiàng)式：嵌套形式的多項(xiàng)式多項(xiàng)式：嵌套形式的多項(xiàng)式 syms x; syms x; f=x4+2 f=x4+2* *x3+4x3+4* *x2+x+1;x2+x+1; g=horner(f ) g=horner(f )11 111( )( ()nnf

20、xxxxxx x x 例：例：例：例：計(jì)算極限計(jì)算極限limit(f,x,a): 計(jì)算計(jì)算limit(f,a): 當(dāng)默認(rèn)變量趨向于當(dāng)默認(rèn)變量趨向于 a 時(shí)的極時(shí)的極限限limit(f ): 計(jì)算計(jì)算 a=0 時(shí)的極限時(shí)的極限limit(f,x,a,right): 計(jì)算右極限計(jì)算右極限limit(f,x,a,left): 計(jì)算左極限計(jì)算左極限lim( )xaf x例：計(jì)算例：計(jì)算 ，0ln()ln( )limhxhxLh 1limnnxMn syms x h n; syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) L=limit(log(x+h)-log(x)

21、/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf) M=limit(1-x/n)n,n,inf)計(jì)算導(dǎo)數(shù)計(jì)算導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v)：求符號(hào)表達(dá)式：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于關(guān)于 v 的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)數(shù)g=diff(f )：求符號(hào)表達(dá)式：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于默認(rèn)變量關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v,n)：求：求 f 關(guān)于關(guān)于 v 的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)q 計(jì)計(jì)算算導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)： diff syms x; syms x; f=sin(x)+3 f=sin(x)+3* *x2; x2; g=diff(f,x) g=diff(f,x)例：例：計(jì)算積分計(jì)算積分int(f,v,a,b): 計(jì)

22、算定積分計(jì)算定積分int(f,a,b): 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的定積分計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的定積分int(f,v): 計(jì)算不定積分計(jì)算不定積分int(f): 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分 syms x; syms x; f=(x2+1)/(x2-2 f=(x2+1)/(x2-2* *x+2)2;x+2)2; I=int(f,x) I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf) K=int(exp(-x2),x,0,inf)( )baf v dv ( )f v dv 例：計(jì)算例：計(jì)算 和和2221(22)xIdxxx 20 xKedx 符號(hào)求和符號(hào)求和 sy

23、ms n; f=1/n2; syms n; f=1/n2; S=symsum(f,n,1,inf) S=symsum(f,n,1,inf) S100=symsum(f,n,1,100) S100=symsum(f,n,1,100)symsum(f,v,a,b): 求和求和symsum(f,a,b): 關(guān)于默認(rèn)變量求和關(guān)于默認(rèn)變量求和( )bv af v 例：計(jì)算級(jí)數(shù)例：計(jì)算級(jí)數(shù) 及其前及其前100項(xiàng)的部分和項(xiàng)的部分和211nSn 例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù)例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù)21nxSn syms n x; f=x/n2; syms n x; f=x/n2; S=symsum(f,n,1,inf) S=sy

24、msum(f,n,1,inf)代數(shù)方程求解代數(shù)方程求解solve(f,v)：求方程關(guān)于指定自變量的解，：求方程關(guān)于指定自變量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)可以是用字符串表示的方程、符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)方程；方程； solve 也可解方程組也可解方程組(包含非線性包含非線性)； 得不到解析解時(shí)，給出數(shù)值解。得不到解析解時(shí)，給出數(shù)值解。略詳見略詳見 “多項(xiàng)式運(yùn)算與代數(shù)方程求解器多項(xiàng)式運(yùn)算與代數(shù)方程求解器”）q 代代數(shù)數(shù)方程求解：方程求解： solve微分方程求解微分方程求解q 微分方程求解：微分方程求解： dsolvey=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond

25、2, . ,v)其中其中 y 為輸出的解，為輸出的解， eq1、eq2、. . . 為微分方程，為微分方程，cond1、cond2、.為初值條件，為初值條件， v 為自變量為自變量略詳見略詳見 “實(shí)驗(yàn)四：求微分方程的解實(shí)驗(yàn)四：求微分方程的解”其它運(yùn)算其它運(yùn)算q 反函數(shù)反函數(shù)finverse(f,v)：求：求 f 關(guān)于指定變量關(guān)于指定變量 v 的反的反函數(shù)函數(shù)finverse(f )：求：求 f 關(guān)于默認(rèn)變量的反函數(shù)關(guān)于默認(rèn)變量的反函數(shù) syms x t; f=x2+2 syms x t; f=x2+2* *t;t; g1=finverse(f,x) g1=finverse(f,x) g2=fi

26、nverse(f,t) g2=finverse(f,t)例：計(jì)算函數(shù)例：計(jì)算函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù)22fxt 上機(jī)作業(yè)上機(jī)作業(yè) a1=1e10; b1=1e-10; a1=1e10; b1=1e-10; c1=(a1+b1-a1)/b1; c1=(a1+b1-a1)/b1; a2=sym(a1); b2=sym(b1); a2=sym(a1); b2=sym(b1); c2=(a2+b2-a2)/b2; c2=(a2+b2-a2)/b2; 1、指出下面的、指出下面的 M1，M2，M3 分別是什么，并上機(jī)驗(yàn)證。分別是什么，并上機(jī)驗(yàn)證。 a=1; b=2; c=3;d=4; a=1; b=2; c=3;d=4; M1=a,b;c,d; M1=a,b;c,d