淺談線性代數(shù)與空間解析幾何

1、線性代數(shù)論文題目淺談線性代數(shù)與空間解析幾何班級(jí)1401018學(xué)生郭雅楠學(xué)O五年七月九日摘要在我們的學(xué)習(xí)過程中，可以發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)和空間解析幾何中有很多相似之處。確切的說是線性代數(shù)中的一些理論是從空間解析幾何中發(fā)展和改進(jìn)而來的。比如說通過空間解析幾何中多元一次方程組的解法線性代數(shù)提出了行列式，使行列式有了幾何意義，同時(shí)是行列式直觀化。也是通過行列式，多元方程組的解答更便捷、快速。又比如在線性代數(shù)中先后提出來線性空間、歐氏空間。線性空間也將向量做了推廣，使向量抽象化。歐氏空間也在線性空間的基礎(chǔ)上提出內(nèi)積，使幾何空間中的向量的一些度量性質(zhì)推廣化，等等，這樣的例子很多很多。總體

2、來說線性代數(shù)與空間解析幾何是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的?？梢愿_切一點(diǎn)的說是空間解析幾何是線性代數(shù)的基石，而線性代數(shù)是空間解析幾何的推廣和并使之抽象化。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)解析幾何歐氏空間聯(lián)系促進(jìn)-10-AbstractInourstudyprocess,wecanfindlinearalgebraandspaceanalyticgeometryhavemuchincommon.Exactlylinearalgebratheoryfromsomeofthespaceanalyticgeometryindevelopmentandimprovement.Forexample,byspaceanalytic

3、geometryinamultiplelinearalgebraequationssolutionmethodproposeddeterminants,makethedeterminantwithgeometricmeaning,atthesametime,isthedeterminantdirect.Alsothroughthedeterminants,multipleequationssolutionmoreconvenient,fast.Forinstanceinlinearalgebraandlinearspace,hasbroughtouttheEuclideanspace.Thel

4、inearspacewillalsovectordopromotion,makevectorabstraction.Euclideanspaceinlinearspaceisputforwardbasedonthedotproduct,makethegeometryofspacevectorofthesomemeasurepropertiesofpromotion,andsoon.Keywords：LinearAlgebra;AnalyticGeometry;EuclideanSpace;Contact;Promotionijkaxp=-aaai23bbb123一.引言在十七世紀(jì),笛卡爾及費(fèi)馬

5、在幾何空間中引入了坐標(biāo)系,從而在幾何與代數(shù)間建立了一座橋梁,用代數(shù)方法解決空間的幾何問題,產(chǎn)生了解析幾何.解析幾何的產(chǎn)生,可以說是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍.恩格斯曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)1:數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就成了必要的了.從代數(shù)與幾何的發(fā)展歷史來看，線性代數(shù)與解析幾何從來就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。解析幾何中以代數(shù)為工具，解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)來定義來刻畫、描述和表達(dá)的。例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運(yùn)算的線性相關(guān)來刻畫的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來表述，再如，解析幾何

6、中的向量的外積(向量積)、混合積也是行列式工具來表示的典型事例。線性代數(shù)中的許多知識(shí)點(diǎn)的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義。例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實(shí)例模型。從概念的內(nèi)涵的外延來看，兩門課之間存在著特殊與一般的關(guān)系，解析幾何的一、二、三維空間是線性代數(shù)n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來源于一、二、三維幾何空間的推廣(抽象)。平面方程及平面間的位置關(guān)系與線性方程組的理論，二次曲線，二次曲面的化簡與代數(shù)中的二次型理論，幾何與代數(shù)中歐氏空間的理論等等。因此它們的關(guān)系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”。通過對(duì)線性代數(shù)和解析幾何

7、的學(xué)習(xí)和研究中，我們可以看到解析幾何和線性代數(shù)中有著緊密的聯(lián)系，運(yùn)用解析幾何來分析線性代數(shù)更直觀。同時(shí)，線性代數(shù)也是解析幾何的一個(gè)發(fā)展、拓寬，比如說歐氏空間。運(yùn)用線性代數(shù)的解題方法來解答解析幾何中的一些問題更加簡便、快捷，比如說運(yùn)用行列式的計(jì)算來解答多元方程組問題。二正文1線性代數(shù)中一些概念的幾何直觀解釋：1.1 關(guān)于行列式的幾何背景2設(shè)a=里,a2,a3)，B=(bi,b2,b3)，Y=(C1,c2,c3)；兩個(gè)向量的向量積可，它在幾何上表示的是與a,B向量都垂直且成右手系的向a1biaa23bb23cc23何解釋是它的絕對(duì)值等于棱所作的平行六面體的體特別地，當(dāng)(a,B,y)=0時(shí)，由于平行

8、六面體的體積為零。量。表示為圖1平行以用行列式寫為所以aibic1a2b2c2a3b=0oa,P,Y共面。3c3由此可得:過平面上兩點(diǎn)(xi,yi),(x2,y2)的直線方程為推廣空間中有不在同一直線上的三點(diǎn)(xi,yi,zi)(i=xy1xy1二011xy122xyz1xyz1111方程為xyz1222xyz13331.2 關(guān)于正交變換的幾何意義在二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),可以采用可逆變換或正交變換,但由于可逆變換對(duì)應(yīng)于仿射坐標(biāo)系的變換,正交變換則對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系的變換,所以區(qū)別比較大。例如:蘭+竺+蘭=1.149rxr1通過可逆線性變換y2<z丿krxr1線性變換y2<z丿ky

9、9;，化成x'2+y2二1,即橢球面變成了圓柱面。而正交變換保持y'化成x'2+y'2+z'2=1,即橢球面變成了球面。通過3丿Iz'丿向量長度和角度不變,因此幾何圖形不變。所以在討論二次方程決定的圖形時(shí),必須用正交變換;如果只考慮它所屬類型時(shí),可以用可逆變換(當(dāng)然包括正交變換)。還應(yīng)注意正交變換中: 當(dāng)正交陣的行列式表示為1時(shí),是旋轉(zhuǎn)變換； 當(dāng)正交陣的行列式為-1時(shí),為鏡面反射變換。1.3 關(guān)于正交化的幾何解釋線性無關(guān)的向量組可以由Schmidt正交化得到與其等價(jià)的正交組,它的幾何解釋為,如果有3個(gè)線性無關(guān)的向量a,a,a則可以通過Schmid

10、t正交化得到相應(yīng)的3個(gè)正交向量123p,P,P。這里P=a,P=a一丫,P=aY，其中Y2為a2在B1上的投影向12311222333量;Y3為a3在B1、B2所確定的平面上的垂直投影向量。2向量組線性相關(guān)(無關(guān))與幾何中向量共面、共線之間的關(guān)系3右a,B,y是三維空間的向量，則:a線性相關(guān);a,B線性相關(guān);a,B,y線性相關(guān)分別對(duì)應(yīng)于幾何直觀的a為零向量;a,B共線;a,p,y共面。因此，一維空間的基是空間中任意一個(gè)非零向量;二維空間的基是空間中兩個(gè)不共線向量;三維空間的基是空間中3個(gè)不共面的向量組成的。例1在三維空間中有向量,OA=(a,a,a),OB=(b,b,b),OC=(c,c,c)

11、，那么,A,B,C共123123123線的充分必要條件是什么?x解:過a,b兩點(diǎn)的直線方程為1y1112aa-12GGG+12aa2=共線,即存在t,使得OC=(l-t)OA+tOB于是,A,B,C共線.當(dāng)且僅當(dāng)OA,OB,OC中某一向量可以由其余向量線性表示,而且表出系數(shù)之和為1。3線性方程組與直線、平面的位置關(guān)系空間直線、平面的位置關(guān)系為線性方程組的結(jié)構(gòu)理論提供了直觀的幾何解釋,同樣線性代數(shù)中的線性方程組的結(jié)構(gòu)理論對(duì)深刻領(lǐng)會(huì)直線、平面的位置關(guān)系起到重要作用。4例.2已知平面上有三條不同的直線，它們的直線方程分別為l:ax+2by+3c=0l:bx+2cy+3a=0l:cx+lay+3b=0

12、,試證這3條直線交于123點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0。5證明:必要性，設(shè)3條直線11,12,13相交于一點(diǎn).ax+2by=-3c則線性方程組bx+2cy=-3a有唯一解,cx+2ay=-3b'a2b''a2b-3c'故系數(shù)矩陣A=b2c與增廣矩陣A-=b2c-3ac2a丿、c2a-3b丿的秩均為2,于是IAI=0,由于IA1=2b2c2a-3c-3a=6(a+b+c)a2+b2+c2-ab-ac-bc=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-3b但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2工0,a+b+c=0充分性:由a+b+c=0,則從

13、必要性的證明可知:IA1=0,故:秩(A)<3。由于2b=2(ac-b2)=-2(a+1b)2+3b2豐02c24,故：秩2,于是，秩秩3y因此線性方程組有唯一解,即,3條直線11,12,13相交于一點(diǎn)。4線性代數(shù)中解析幾何的幾種應(yīng)用或原理4.1行列式幾何意義的應(yīng)用ax+axFFax=b1111221nn1將n元一次線性方程組<ax+axFFax=b2112222nn2ax+axHFax=bn11n22nnnn川以表示成.tidi+a-202+.林m二R!屮13/1=f4.).當(dāng)血口zolb;.從兒何.tji=1.1.3ilI-'.i扁門，一】.丄.心1訂門宀勺.下面先通過

14、一個(gè)二維圖形說明如何來確定這些仿射坐標(biāo).從圖2可以看出，以B與a2為鄰邊組成的平行四邊形有向面積與以x1a1與a2為鄰邊組成的平行四邊形有向面積相等.這是因?yàn)閮蓚€(gè)平行四邊形均是以a2為底,h為高因此，易于看出它們中每一個(gè)的有向面積與以a1,a2為鄰邊的平行四邊形有向面積之比均為X1同理，可以看出x2與哪些平行四邊形的有向面積之比相關(guān).因?yàn)檫@些平行四邊形的有向面積可以由行列式給出,所以由以上分析立刻可以詰_IBml吃_ICh.叫“看出”如下結(jié)果'"-'；-m推廣到一般n維空間的情況，即有當(dāng)aW0時(shí)，顯然h(x)>0;當(dāng)0<a<J"時(shí)，由圖2仿

15、射坐標(biāo)4.2二次型與二次曲面和二次曲線的聯(lián)系在解析幾何中，我們看到，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)與中心重合時(shí)，一個(gè)有心二次曲線的一般方程是(1)ax2+2bxy+cy2=f為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕嵌?作轉(zhuǎn)軸(反時(shí)針方向轉(zhuǎn)軸)x=x'cos0-y'sin0;y=x'sin0+y'cos0(2)把方程(1)化為標(biāo)準(zhǔn)方程。在二次曲面的研究中也有類似情況。從代數(shù)角度看，所謂化標(biāo)準(zhǔn)方程就是用變量的線性代換(2)化簡一個(gè)二次其次多項(xiàng)式，使它只含有平方項(xiàng)。二次型就是在這個(gè)基礎(chǔ)上提出來的。就譬如說二次曲面吧。研究二次曲面："I+41辭.匸鬼+2(iI-.

16、A'lA-.+2A|A-l+2f/-.LA-.A+|A'|+440AAjEZJJa可以利用矩陣運(yùn)算，把方程寫為-I淇中這里,i,j=l,2,3。再利用實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化知，有正交變換Q'AQ=X2.x=Qy,使得：即有XAX=扎用+扎Y+y3；和!畝曲一B'X=(BXQCr+，痂+丄丹這樣則1-'1-.-V'、-.-:-|：|由于正交變換對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸的變換,因此,方程中的常數(shù)項(xiàng)不變。于是就可據(jù)此用解析幾何討論圖形的形狀。二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可以利用解析幾何中二次曲線，二次曲面來直觀表示；同時(shí)，一些二次曲面，二次曲線的化為標(biāo)準(zhǔn)方程

17、的化簡可以運(yùn)用線性代數(shù)中的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法來簡化，例如配方法、初等變換以及正交變換。例.3：化簡二次曲面2xy+2xz-6yz=0x=x'-y'-z'01A=101-30112001"10-30-20則由ra1-30006-3=100/1-1-101E010110001001可利用二次型中的初等變換，配方法或正交變換來化簡。比如初等變換f(x,y,z)=2xy+2xz-6yz故原二次曲面經(jīng)過坐標(biāo)變換y=x'+y'化簡為2x'2_2y'2+6z'2=o.正交變換也可以。z=z'4.3歐氏空間的幾何理論在線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為線性運(yùn)算。如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個(gè)具體模型，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)向量的度量性質(zhì)，如長度、夾角等。6在解析幾何中我們看到，向量的長度、夾角等度量性質(zhì)都可以通過向量的內(nèi)積來表示，而且向量的內(nèi)積有明顯的代數(shù)性質(zhì)。在這種情況下，歐幾里得空間（即歐氏空間）應(yīng)運(yùn)而生。結(jié)論：線性代數(shù)與解析幾何密不可分。在求解空間解析幾何的問題中，線性代數(shù)發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。二者是相互聯(lián)系、