量子力學(xué)期末考試試卷試題及答案集

1、量子力學(xué)試題集量子力學(xué)期末試題及答案(A)選擇題（每題3分共36分）1黑體輻射中的紫外災(zāi)難表明：CA. 黑體在紫外線部分輻射無限大的能量；B. 黑體在紫外線部分不輻射能量；C.經(jīng)典電磁場理論不適用于黑體輻射公式；D.黑體輻射在紫外線部分才適用于經(jīng)典電磁場理論。2關(guān)于波函數(shù) 的含義，正確的是：BA. 代表微觀粒子的幾率密度；B. 歸一化后， 代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度；C. 一定是實(shí)數(shù)；D. 一定不連續(xù)。3對(duì)于偏振光通過偏振片，量子論的解釋是：DA. 偏振光子的一部分通過偏振片；B.偏振光子先改變偏振方向，再通過偏振片；C.偏振光子通過偏振片的幾率是不可知的；D.每個(gè)光子以一定的幾率通過偏振片。

2、4對(duì)于一維的薛定諤方程，如果 是該方程的一個(gè)解，則：AA. 一定也是該方程的一個(gè)解；B. 一定不是該方程的解；C. 與 一定等價(jià)；D.無任何結(jié)論。5對(duì)于一維方勢壘的穿透問題，關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng)，正確的是：CA. 粒子在勢壘中有確定的軌跡；B.粒子在勢壘中有負(fù)的動(dòng)能；C.粒子以一定的幾率穿過勢壘；D粒子不能穿過勢壘。6如果以表示角動(dòng)量算符，則對(duì)易運(yùn)算為：BA. ihB. ihC.iD.h7如果算符 、 對(duì)易，且 =A，則：BA. 一定不是 的本征態(tài)；B. 一定是 的本征態(tài)；C.一定是 的本征態(tài)；D. 一定是 的本征態(tài)。8如果一個(gè)力學(xué)量 與 對(duì)易，則意味著：C A. 一定處于其本征態(tài)；B.一定不處于本

3、征態(tài)；C.一定守恒；D.其本征值出現(xiàn)的幾率會(huì)變化。9與空間平移對(duì)稱性相對(duì)應(yīng)的是：BA. 能量守恒；B.動(dòng)量守恒；C.角動(dòng)量守恒；D.宇稱守恒。10如果已知?dú)湓拥?n=2能級(jí)的能量值為-3.4ev，則 n=5能級(jí)能量為：DA. -1.51ev;B.-0.85ev;C.-0.378ev;D. -0.544ev11三維各向同性諧振子，其波函數(shù)可以寫為，且 l=N-2n，則在一確定的能量 (N+)h下，簡并度為：BA. ；B. ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12判斷自旋波函數(shù) 是什么性質(zhì)：C A. 自旋單態(tài)；B.自旋反對(duì)稱態(tài)；C.自旋三態(tài)；D. 本征值為1.二 填空題（每題4分共24分

4、）1如果已知?dú)湓拥碾娮幽芰繛?，則電子由n=5 躍遷到n=4 能級(jí)時(shí)，發(fā)出的光子能量為：，光的波長為。2如果已知初始三維波函數(shù) ，不考慮波的歸一化，則粒子的動(dòng)量分布函數(shù)為 =，任意時(shí)刻的波函數(shù)為。3在一維勢阱（或勢壘） 中，在x=x 點(diǎn)波函數(shù)（連續(xù)或不連續(xù)），它的導(dǎo)數(shù)（連續(xù)或不連續(xù)）。4如果選用的函數(shù)空間基矢為 ，則某波函數(shù) 處于 態(tài)的幾率用 Dirac符號(hào)表示為，某算符 在 態(tài)中的平均值的表示為。5在量子力學(xué)中，波函數(shù) 在算符操作下具有對(duì)稱性，含義是，與 對(duì)應(yīng)的守恒量 一定是算符。6金屬鈉光譜的雙線結(jié)構(gòu)是，產(chǎn)生的原因是。三計(jì)算題（40分）1設(shè)粒子在一維無限深勢阱中，該勢阱為：V(x)=0,

5、當(dāng)0xa，V(x)=,當(dāng)x<0或x>0,求粒子的能量和波函數(shù)。(10分)2設(shè)一維粒子的初態(tài)為，求。（10分）3計(jì)算表象變換到表象的變換矩陣。（10分）4 。4個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)單態(tài) ，把所有滿足對(duì)稱性要求的態(tài)寫出來。（10分）B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)（4分） 2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)和偶宇稱態(tài)（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫出兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。（6分） 5、簡述測不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出時(shí)間和能量的測不準(zhǔn)關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，滿足

6、，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài) ，其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值。2、時(shí)體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值四、（15分）當(dāng)為一小量時(shí)，利用微擾論求矩陣 的本征值至的二次項(xiàng)，本征矢至的一次項(xiàng)。五、（10分）一體系由三個(gè)全同的玻色子組成, 玻色子之間無相互作用. 玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài). 問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè) 它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡并態(tài)是指一個(gè)本征

7、值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對(duì)稱波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標(biāo)的對(duì)易關(guān)系是：，將其代入測不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值，由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個(gè)關(guān)系式稱為測不準(zhǔn)關(guān)系。時(shí)間和能量之間的測不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是： 設(shè)在A表

8、象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（為任意實(shí)常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對(duì)有：，對(duì)有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為： ， 當(dāng)時(shí)有：，于是時(shí)的波函數(shù)可寫成：，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為：，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、 時(shí)體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變，故時(shí)體系

9、能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同。四、解：將矩陣改寫成：能量的零級(jí)近似為：，能量的一級(jí)修正為：，能量的二級(jí)修正為：， ，所以體系近似到二級(jí)的能量為：，先求出屬于本征值1、2和3的本征函數(shù)分別為：，利用波函數(shù)的一級(jí)修正公式，可求出波函數(shù)的一級(jí)修正為：，近似到一級(jí)的波函數(shù)為：，五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱函數(shù)。以表示第個(gè)粒子的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)，體系可能的狀態(tài)有以下四個(gè)：（1）；（2）（3）； （4）一、（20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài) 其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時(shí)的波函數(shù)。 解 已知?dú)湓拥谋菊髦禐?， （1）將時(shí)的波

10、函數(shù)寫成矩陣形式 （2）利用歸一化條件 （3）于是，歸一化后的波函數(shù)為 （4）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （5）能量平均值為 （6）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （7）自旋分量的平均值為 （8） 時(shí)的波函數(shù) （9）二. （20分） 質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運(yùn)動(dòng) 若已知該粒子在此勢阱中有一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。解 對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為 （1）其中， （2）利用波函數(shù)再處的連接條件知，。在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件 （3）得到 （4）于是有 （5）此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于 （6）故 （7）最后得到勢阱的寬度 （8）三、（20分）

11、 證明如下關(guān)系式（1）任意角動(dòng)量算符滿足 。證明 對(duì)分量有同理可知，對(duì)與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影算符是一個(gè)厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明 在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為 而投影算符的共軛算符的矩陣元為 顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明 四、（20分） 在與表象中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)的子空間中，分別計(jì)算算符、與的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解 在與表象下，當(dāng)軌道角動(dòng)量量子數(shù)時(shí)，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角元為相

12、應(yīng)的本征值，于是有 （1）相應(yīng)的本征解為 （2）對(duì)于算符、而言，需要用到升降算符，即 （3）而 （4）當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對(duì)角元皆為零，并且， （5）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即 （6）于是得到算符、的矩陣形式如下 （7）滿足的本征方程為 （8）相應(yīng)的久期方程為 （9）將其化為 （10）得到三個(gè)本征值分別為 （11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （12）滿足的本征方程為 （13）相應(yīng)的久期方程為 （14）將其化為 （15）得到三個(gè)本征值分別為 （16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （17）五、（20分） 由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微

13、擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。 提示： 線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為 式中， 。解 體系的哈密頓算符為 （1）其中 （2）已知的解為 （3）其中 （4）將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來 （5） 對(duì)于基態(tài)而言，體系無簡并。利用公式 （6）可知 （7）顯然，求和號(hào)中不為零的矩陣元只有 （8）于是得到基態(tài)能量的二級(jí)修正為 （9）第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級(jí)修正滿足的久期方程為 （10）其中 （11）將上式代入（10）式得到 （12）整理之，滿足 （13）于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正為 （14）1. 微觀粒子具有 波粒 二象性

14、。2德布羅意關(guān)系是粒子能量E、動(dòng)量P與頻率n、波長l之間的關(guān)系，其表達(dá)式為： E=, p= 。3根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，的物理意義為：粒子在xdx范圍內(nèi)的幾率 。4量子力學(xué)中力學(xué)量用 厄米 算符表示。5坐標(biāo)的分量算符和動(dòng)量的分量算符的對(duì)易關(guān)系為： 。6量子力學(xué)關(guān)于測量的假設(shè)認(rèn)為：當(dāng)體系處于波函數(shù)y(x)所描寫的狀態(tài)時(shí)，測量某力學(xué)量F所得的數(shù)值，必定是算符的 本征值 。7定態(tài)波函數(shù)的形式為： 。8一個(gè)力學(xué)量為守恒量的條件是：不顯含時(shí)間，且與哈密頓算符對(duì)易 。9根據(jù)全同性原理，全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的交換對(duì)稱性，費(fèi)米子體系的波函數(shù)是_反對(duì)稱的_,玻色子體系的波函數(shù)是_對(duì)稱的_ _。10每個(gè)電子

15、具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值為： 。1、（10分）利用坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，證明軌道角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系：證明： 2、（10分）由Schrödinger 方程證明幾率守恒：其中幾率密度 幾率流密度證明：考慮 Schrödinger 方程及其共軛式：在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：1、（10分）設(shè)氫原子處于狀態(tài) 求氫原子能量E、角動(dòng)量平方L2、角動(dòng)量Z分量LZ的可能值及這些可能值出現(xiàn)的幾率。 解：在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值 ，幾率為1 角動(dòng)量平方有確定值為 ，幾率為1 角動(dòng)量Z分量的可能值為 其相應(yīng)的幾率分別為， 2、（10分）求角動(dòng)量z分量

16、 的本征值和本征函數(shù)。解：波函數(shù)單值條件，要求當(dāng) 轉(zhuǎn)過 2角回到原位時(shí)波函數(shù)值相等，即：求歸一化系數(shù)最后，得 Lz的本征函數(shù)3、（20分）某量子體系Hamilton量的矩陣形式為：設(shè)c << 1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似。解：c << 1，可取 0 級(jí)和微擾 Hamilton 量分別為：H0 是對(duì)角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 級(jí)近似為：E1(0) = 1 E2(0) = 3E3(0) = -2由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：二級(jí)近似下能量本征值為：量子力學(xué)期末試題及答案（B）一、填空題：1、 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：

17、單值、連續(xù)性、有限性。2、 |（r,t）|2的物理意義： t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在r處的概率密度。3、 一個(gè)量的本征值對(duì)應(yīng)多個(gè)本征態(tài)，這樣的態(tài)稱為 簡并。4、 兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符 對(duì)易，它們具有共同的確定值。二、簡答題：1、 簡述力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符必須是線性厄米的。答：力學(xué)量的觀測值應(yīng)為實(shí)數(shù)，力學(xué)量在任何狀態(tài)下的觀測值就是在該狀態(tài)下的平均值，量子力學(xué)中，可觀測的力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符必須為厄米算符；量子力學(xué)中還必須滿足態(tài)疊加原理，而要滿足態(tài)疊加原理，算符必須是線性算符。綜上所述，在量子力學(xué)中，能和可觀測的力學(xué)量相對(duì)應(yīng)的算符必然是線性厄米算符。2、 一個(gè)量子態(tài)分為本征態(tài)和非本征態(tài)，這種說法確切嗎？答：不確切

18、。針對(duì)某個(gè)特定的力學(xué)量，對(duì)應(yīng)算符為A，它的本征態(tài)對(duì)另一個(gè)力學(xué)量（對(duì)應(yīng)算符為B）就不是它的本征態(tài)，它們有各自的本征值，只有兩個(gè)算符彼此對(duì)易，它們才有共同的本征態(tài)。3、 輻射譜線的位置和譜線的強(qiáng)度各決定于什么因素？答：某一單色光輻射的話可能吸收，也可能受激躍遷。譜線的位置決定于躍遷的頻率和躍遷的速度；譜線強(qiáng)度取決于始末態(tài)的能量差。三、證明題。 2、證明概率流密度J不顯含時(shí)間。四、計(jì)算題。1、第二題： 如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。 解：這種分布只對(duì)的區(qū)域有影響，對(duì)的區(qū)域無影響。據(jù)題意知 其中是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即 為考

19、慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在區(qū)域， 在區(qū)域，可由下式得出， 由于很小，所以，可視為一種微擾，由它引起一級(jí)修正為（基態(tài)） ，故。 第三題其相應(yīng)的久期方程：即：由歸一化條件得：量子力學(xué)期末試題及答案(C)一、填空題1、 黑體輻射揭示了經(jīng)典物理學(xué)的局限性。2、 索末非提出的廣義量子化條件是3、 一粒子有波函數(shù)由描寫，則=4、 粒子在勢場U(r)中運(yùn)動(dòng)，則粒子的哈密頓算符為5、 量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。6、 氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)中，對(duì)于n=2的能級(jí)由原來的一個(gè)能級(jí)分裂為個(gè)子能級(jí)。7、 1925年，烏論貝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脫（Goudsmit）提出每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在任何方向的投影只能取兩