高中數(shù)學高考導數(shù)題型分析及解題方法(2)

1、秋風清，秋月明，落葉聚還散,寒鴉棲復驚。導數(shù)題型分析及解題方法一、考試內(nèi)容導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,二、熱點題型分析函數(shù)的最大值和最小值。題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1.f(xrx3-3x2在區(qū)間-1,1】上的最大值是222已知函數(shù)y=f(x)=x(xc)在x=2處有極大值，則常數(shù)c=633.函數(shù)yTS-x有極小值1,極大值3題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程1 .曲線y=4x_X在點-1,_3處的切線方程是y=X_242 .若曲線f(x)=x_x在p點處的切線平行于直線3x_y=0，貝yp點的坐標

2、為(1，Q)43若曲線y=x的一條切線I與直線X4y-8=0垂直，則|的方程為4x-y-3=04.求下列直線的方程：(1)曲線y=x3x21在P(-1,1)處的切線；(2)曲線y=x2過點p©,5)的切線；解:(1)；點P(/,1)在曲線y=x3亠x2亠1上,/2/y，=3x22x.k|x一=32=1所以切線方程為y-1二x1，即x-y暇=0_2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點為A(x0,y0)，則y0=xo又函數(shù)的導數(shù)為y=2x，所以過A(x0，y0)點的切線的斜率為k二y|xM=2x0，又切線過&冷,)、p(3,5)點，所以有2X0=心X0一3，由聯(lián)立方

3、程組得,卜二1或*X。二5y。曰兇=25，即切點為(1，1)時，切線斜率為M=2X0=2;；當切點為(5,25)時，切線斜率為k2=2X0"0；所以所求的切線有兩條，方程分另I為y-1=2(x_1)或y-25=10(x_5),即卩y=2x-1或y=10x-25題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值32仁已知函數(shù)f(x)=x+ax+bx+c,過曲線y=f(x)上的點P(1,f(1)的切線方程為y=3x+1(I)若函數(shù)f(x)在x=2處有極值，求f(x)的表達式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù)y二f(x)在3,1上的最大值；(川)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的

4、取值范圍解.(1)由f(x)=x3ax2bxc,求導數(shù)得f(x)二3x2-2axb.過y=f(x)上點p(1，f(1)的切線方程為：y一f(1)=f(1)(X-1),即y(abc1)=(32ab)(x1).而過y=f(x)上P1,f(1)的切線方程為y=3x1.即a+b=0ac=3y=f(x)在x-2時有極值,故f(-2)=0,.-4a-1232由得a=2,b=4,c=5f(x)=x2x-4x5.(2)f(x)=3x24x-4=(3x-2)(x2).2.-3乞x：-2時，f(x)0;當一2乞x：時，f(x)：0;3當x乞1時,f(x)0.f(x)極大二f(-2)=133又f(1)=4，f(x)

5、在3,1上最大值是13。2(3)y=f(x)在2,1上單調(diào)遞增，又f(X)二3x2axb，由知2a+b=0。依題意f(x)在2,1上恒有f(x)>0，即3x2-bxb一0.bX二一_1時，f(x)min=f(1)=3bb0,b-6當6bX乞一2時,f(x)min二f(-2)=122bb-0,.b當62蘭6蘭1時，f(x)min=12b_b>0,則0蘭bE6.當b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是【°，=：)322.已知三次函數(shù)f(x)=xaxbxc在x=1和x=_1時取極值，且f(-2)=-4.(1) 求函數(shù)y=f(x)的表達式；求函數(shù)y二f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；若函數(shù)g

6、(x)=f(xm)4m(m0)在區(qū)間m-3,n上的值域為-4,16，試求m、n應(yīng)滿足的條件.解：f(x)=3x2axb,2由題意得，1,-1是3x2ax°的兩個根，解得，a=0,b=3.3再由f(衛(wèi))=4可得c-2f(x)=x-3x-2.2(2) f(x)=3x-3=3(x1)(x-1)當xc1時，f(x)：0；當x=1時，f(x)=0；當-1：x：1時，f(x)：0；當x=1時，f(x)=°；當x1時，f(x).0.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-：，-1上是增函數(shù)；在區(qū)間-1，】上是減函數(shù)；在區(qū)間1廠二)上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f(_1°，極小值是f(1)=V

7、.(3) 函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位，向上平移4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間【一3,n一呵上的值域為Y-4m，16-4m(m0).而f(£)=一2°y_4m=-20，即m=4.于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間【一3,n一4上的值域為一20,0.令f(x)=0得x=-1或x=2.由f(x)的單調(diào)性知，-1剟n-42，即3剟n6.綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m=4,且3剟n6.3.設(shè)函數(shù)f(x)=x(x_a)(x_b)(1) 若f(x)的圖象與直線5x-y-8=0相切，切點橫坐標為2,且f(x)在x"處取極值，求實數(shù)a，b的值；(2)

8、 當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.2解：(1)f(x)=3x-2(ab)xab.由題意f(2)=5,f=°，代入上式，解之得：a=1,b=1.(2)當b=1時，令f(x)=0得方程3x22(a+1)x+a=0.因厶=4(a_a1)0,故方程有兩個不同實根xi，x2.II不妨設(shè)xi：；x2，由f(X)=3(X-xi)(x-X2)可判斷f(x)的符號如下：當X:：捲時，f(X)>0.當為：:：x:X2時，f(x)V0.當x-X2時，f(X)>0因此Xl是極大值點，X2是極小值點.，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值

9、點。題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象D)3方程2x36x2十7=0在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍1322f（x）x2ax-3axb,0：a:1.1設(shè)函數(shù)3（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值.a的取值范圍.f(x)-x24ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)=0得X1=a,X2=3a列表如下:x(a.3a)3a(3a,+7（2）若當aJa2時，恒有|f（x）|a，試確定f(x)f(x)極小極大f(x)在(a,3a）上單調(diào)遞增，在（玄）和（3a,+8）上單調(diào)遞減x=a時,43f極小勺一孑，x=3a時,f極?。▁）二b(2)f"(x)=x?*

10、4ax-3.Ocav1,.對稱軸x=2aca+1,f(x)在a+1,a+2上單調(diào)遞減fMax二-(a1)'4a(a1)-3a二2a-1fmin=-(a24a(a2)-3a?二4a-4依題|f(x)|乞a=|fMax-a,1fmina即12a-1匸a,|4a-4|乞a4.4a-1,1)解得5,又0：a：1a的取值范圍是521）求a、b的值與函2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3與x=1時都取得極值數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x1,2,不等式f(x):c2恒成立，求c的取值范圍。解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b21241a

11、+b0由f(3)=93,f'(1)=3+2a+b=0得a=2,b=2f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表：x2(oO,3)232(3,1)1(1,+°0)f(x)1+0一0+f(x)極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(一:，3)與(1,+：),遞減區(qū)間是(一3,1)1222(2)f(x)=x32x22x+c,1,2，當x=3時，f(x)=27+c為極大值，而f(2)=2+c,貝Uf(2)=2+c為最大值。要使f(x)<c2(一1,2)恒成立，只需c2>f(2)=2+c,解得X1或c>2題型六：利用導數(shù)研究方程的根

12、_1応1.已知平面向量a=(3,1).b=(2,2).(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t23)b,y=-ka+tb,x丄y,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.7丿-11解：(1)x丄yxy=o即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.i21丄i2整理后得-ka+t-k(t2-3)ab+(t2-3)-b=0221/ab=0,a=4,b=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)11討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù)33于是f'(t

13、)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).令f'(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f'(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-m,-1)-1(-1,1)1(1,+m)f'(t)+0-0+F(t)/極大值極小值/1當t=1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：11(1)當k>2或kv2時，方程f(t)k=0有且只有一解;11當k=2或k=2時，方程f(t)k=0有兩解;11當一2vkv2時，方程f(t)k=0有三解.題型七：導數(shù)與

14、不等式的綜合31設(shè)a0,函數(shù)f(x)=x-ax在：)上是單調(diào)函數(shù).(1) 求實數(shù)a的取值范圍；(2) 設(shè)X。>1,f(x)>1,且f(f(Xo)=X。，求證：f(Xo)=Xo.解:(1)y'f(x)=3x-a,若f(x)在町=上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須/:0,即a3x-這樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在L7上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a<3x2,由于x«：,故3x-3.從而o<aw3.(2)方法1、可知f(X)在1"=上只能為單調(diào)增函數(shù).若1<X。"f(X。)，則f(X。)”：f(f(X。)=xo矛盾,若

15、1wf(Xo)<Xo,則f(f(Xo)：f(Xo),即Xo：f(Xo)矛盾，故只有f(Xo)=X°成立.33方法2:設(shè)f(Xo)=U,則f(u)=xo,-Xo-axo二u,u-au=Xo,兩式相減得(X。'U)-(Xo'口)=口'X。.(X。'UX。xouuT-)=0廠xo2222二xo+xou+u>3,又0ca蘭3二xo+xou+u+1a：>0f(x)=(x2+)(x+a)2已知a為實數(shù)，函數(shù)2(1) 若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍(2) 若f'(-1)=o，(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間XX“-1

16、o)1f(xiHf(X2)K5(n)證明對任意的Xi、x2(-1,o)，不等式16恒成立323323*f(x)=xaxxa.f'(x)=3x2ax-解：22,2t函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f'(x)=o有實數(shù)解.:-4a2-433_0a2>-(一°°,一3血1?應(yīng),+°°)2，所以a的取值范圍是223/f'(-1)=0二3-2a=092af'(x)=3x49312Xr3(x2)(x1)1x>由f'(x)°,x:：-1或2；由f'(x)<0,一1：x：一丄21(sa1)

17、(+oc)f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是2；單調(diào)減區(qū)間為(-匕)f(T)=25易知f(x)的最大值為8,f(x)的極小值為fT4916，又f(0)煜f(x)在T，°上的最大值M2749m8，最小值16-對任意X"x2(T,0)，恒有7一宀2)1""161649題型八：導數(shù)在實際中的應(yīng)用32（x一1）2=82x(單位：m故底面正六邊形的面積為:、.33.36T（、82xx2）2=W2（82x-x）5(單位:1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點0到底面中心°1的距離為多

18、少時，帳篷的體積最大?解：設(shè)001為xm，則1：x：4由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：V(x)求導得=（12一3x2）2帳篷的體積為：3屈21J33V（x）-（82x-x2）（x1）1（1612xx）3232（單位：m）令V'(x)二0，解得x-2(不合題意，舍去)，x=2，當1：x：2時，V'(x)0，V(x)為增函數(shù);當2x:4時，V(x)：0，V(x)為減函數(shù)。.當x=2時，V(x)最大。答：當001為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為16'-3口3。2統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/13y=x3x+8(0cx蘭120).小時)的函數(shù)解析式可以表示為：12800080已知甲、乙兩地相距100千米。(I)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(II)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？1002.5解：(I)當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了40小時，133(40408)2.5=17.5要耗沒12800080(升)。100(II)當速度為X千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了x小時，設(shè)耗油量為h(x)升,依題意得h(x)=(1128000x8).x280080x1280x15(0：x叮20),4h'(x)二x640800x2x3-8036