一元三次方程與一元四次方程的根

1、3.6一元三次方程與一元四次方程的根3.6.1 一兀三次方程的根一元二次方程的求根公式是眾所周知的，下面我們給出一元三次與一元四次方程的求根公式.設(shè)一元三次方程y3+ay2+by+c=0（立方和展開公式：+短門城）人am令y=x一一，得33x+px+q=0（5-1）所以，所有一元三次方程均可化為無(wú)二次項(xiàng)的方程設(shè)Xo是方程（5-1）的根，即3Xopxoq=0現(xiàn)在討論方程u2-x0u-03設(shè)它的兩個(gè)根a與P,則（5-2）-x03（：）3p（：）q=0303nr（5-3）-一（3-：3-p）（-3'，1）q=0-q3p27所以a3與P3是一元二次方程的兩個(gè)根.解此方程得X0Z=2-42723

2、qp=：3-2、427,3q一2一23q.p427這樣，我們就把方程的根X0求出來(lái)了這個(gè)公式稱為卡丹公式.但是由于上式開了3次方,共有3個(gè)值，因而a+P共有9個(gè)值，這9個(gè)值不可能都是方程（5-1）的根，對(duì)于取定的a,只能取P，使得aP=_p.設(shè)%是3319+叵+可24273個(gè)開方值中的一個(gè)，6是1的立方根.2二.2二1一3；=cosisin一=-=3322而月是適合%3=的值3如果1十也是方程（5-1）的根，則方程（5-1）的另外兩個(gè)根為1；/2；2；3227現(xiàn)在討論(1)當(dāng)如d>0,則Dd是實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)-9土Jd的立方根有一個(gè)實(shí)數(shù)，兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)2設(shè)%是3Lqf/D中的實(shí)數(shù)，冏是q-JD中

3、的實(shí)數(shù).則A=«1+P1是方程（5-1）的實(shí)數(shù)根（因?yàn)椤癛=是實(shí)數(shù)），其余兩個(gè)根分別為32一；：；-；1學(xué)"-3_：1-I_i3：1-I一2一2這里顯然有小#A,所以三次方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)根23qp(2)當(dāng)D=匚+匚=0時(shí),427設(shè)=3：二9為實(shí)數(shù)值，由于口B=-q知，月=*二q也為實(shí)數(shù)值，所以根為232ri=L21另外兩個(gè)根為2=1；,'I:1（；2）-13-1；2,；一：1（；2,；）一i所以三個(gè)根都是實(shí)數(shù)，且有兩個(gè)根相同.（3）當(dāng)D<0時(shí)，二9十而與二Q-JD是兩個(gè)共軻復(fù)數(shù).令JD=ik,k為實(shí)數(shù)，所以22二=3-q.D=3-q-D.22由于實(shí)

4、系數(shù)三次方程必有一個(gè)根是實(shí)數(shù)，設(shè)x1=-0=-1''1（復(fù)數(shù)的開方：設(shè)z=r（cos0+isin仇）其中r>0,則z的n次方根有n個(gè)，它們是：而空土且十.空也）k=。，2一）是實(shí)數(shù)根，因?yàn)?十4為實(shí)數(shù)根%義文=：也是實(shí)數(shù)，所以與3是共軻復(fù)數(shù)，這時(shí)方程的另外兩個(gè)根是x2=、；:2x3=、；2）；由于%名=日產(chǎn)2,%名2=3名=%名+3/與小/十日送都是實(shí)數(shù)，所以三次方程的根都是實(shí)數(shù)，且是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)例1解方程y33y23y14=0解用y=x-1代換，得3x-6x-19=0這時(shí)p=£,q=9,327即方程有一個(gè)實(shí)根，兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)根：二=3一q7=3.8,22-=3

5、-2-2=31.工1=2,-1=1X0=21=33.3X1二一I223.3x2二一一I22原方程的根為y0=25.必二1例2解方程3x-12x16=0解這里p=-12,q=16,所以D=3E27162它2427方程的根為x0=(-2)(-2)=-4x1=2,x2=2兩個(gè)重根3.6.2一兀四次方程的根我們給出一元四次方程的求根公式.設(shè)實(shí)系數(shù)四次方程為43.2yaybycyd=0利用代換y=x-q,消去y；得442x+px+qx+r=0(5-2)在上述方程加一參數(shù)«得2p.-0(5-3)x4px2qxr=(x2二，)2qxr-2-2:x2242,2P、2_2"P_(x"工)一2：xqx，：工，p。-r=0取口使得方括號(hào)里是完全平方項(xiàng)，這時(shí)判別式D=0,即222p、q-r2二(二p>-r)=04方程（5-3）除a外均為已知數(shù)，a是一個(gè)一元三次方程的根.因此a可以求出如果口0是方程（5-3）的一個(gè)根，則（x2衛(wèi)10）2-2二。J-9）2=024：0即x22二2：0（x-q-）2-4：0原方程變?yōu)?/p>