二元一次方程組地解法

1、二元一次方程組的解法一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .了解二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義；2 .會(huì)檢驗(yàn)一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解；3 .會(huì)用代入法和加減法解二元一次方程組，了解代入消元法和加減消元法的基本思想；4 .能夠根據(jù)題目特點(diǎn)熟練選用代入法或加減法解二元一次方程組；5.能借助二元一次方程組解決一些實(shí)際問(wèn)題，使用代數(shù)方法去反應(yīng)現(xiàn)實(shí)生活中的等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性.重點(diǎn)：二元一次方程組的解法.難點(diǎn)：熟練運(yùn)用代入法和加減法解二元一次方程組.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù)(一般設(shè)為x、v),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程

2、.如x+y=24,都是二元一次方程.要點(diǎn)詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).(2) “未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)(單項(xiàng)式)的次數(shù)是1.如xy的次數(shù)是2,所以方程6xy+9=0不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.如方程的左邊不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4)判斷某個(gè)方程是不是二元一次方程，一般先把它化為ax+by+c=0的形式，再根據(jù)定義判斷，例如：2x+4y=3+2x不是二元一次方程，因?yàn)橥ㄟ^(guò)移項(xiàng)，原方程變?yōu)?y=3,不符合二元一次方程的形式。知識(shí)點(diǎn)二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)

3、未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個(gè)，故每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解。如，都是二元一次方程x+y=3的解，我們把有無(wú)數(shù)組解的這樣的方程又稱之為不定方程。要點(diǎn)詮釋：(1)使二元一次方程左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值(二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，即二元一次方程的解都要用“”聯(lián)立起來(lái)，如，是二元一次方程x+y=2的解。(2)在二元一次方程的無(wú)數(shù)個(gè)解中，兩個(gè)未知數(shù)的值是相互聯(lián)系、一一對(duì)應(yīng)的。即其中一個(gè)未知數(shù)的值確定后，另一個(gè)未知數(shù)的值也隨之確定并且唯一。把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.例

4、如，都是二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)例如也是二元一次方程組.知識(shí)點(diǎn)四：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解要點(diǎn)詮釋：方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立，如，而不能表示成x=9,y=4.(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè).(3)檢驗(yàn)一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時(shí)，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個(gè)方程，看是否滿足每一個(gè)方程，只有這組數(shù)滿足方程組中的所有方程時(shí)，該組數(shù)才是原方程組的解，否則不是。知識(shí)點(diǎn)五：消元法1 .消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去

5、其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想2 .消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3 .消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程知識(shí)點(diǎn)六：代入消元法1 .代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。代入消元法就是把方程組其中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解。這種解二元一次方程組的方法叫代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。2 .用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個(gè)系

6、數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；(2)將變形后的這個(gè)關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；(4)將求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”聯(lián)立起來(lái)寫成方程組的解的形式.要點(diǎn)詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法。如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)

7、作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法。整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率。1 .加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，加減消元法是通過(guò)將兩個(gè)方程相加(或相減)消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解，這種解法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。2 .用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個(gè)方程，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)又不相等，就可用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘一個(gè)方程或兩個(gè)方程的兩邊，使兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)

8、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加減(相同時(shí)相減，相反時(shí)相加)，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求得其中一個(gè)未知數(shù)的值；(4)把所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”聯(lián)立起來(lái)寫成方程組的解的形式。要點(diǎn)詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1)選擇系數(shù)絕對(duì)值較小的未知數(shù)消元；(2)某一未知數(shù)絕對(duì)值相等，如果符號(hào)不同，用加法消元，如果符號(hào)相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，直接對(duì)其中一個(gè)方程變形，使其系數(shù)絕對(duì)值相等，再運(yùn)用加減法消元；(4)當(dāng)相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時(shí)，找出

9、某一個(gè)未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時(shí)對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值相同的系數(shù)，再用加減法來(lái)解。用加減法解方程組時(shí)需注意：對(duì)某個(gè)方程變形處理時(shí)各項(xiàng)都要擴(kuò)大相同的倍數(shù)；兩個(gè)方程的左右兩邊的各項(xiàng)都要同時(shí)相加或相減。三、規(guī)律方法指導(dǎo)3 .二元一次方程的整數(shù)解的求法：一般情況下，一個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，解這類問(wèn)題時(shí)，先用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后根據(jù)條件逐一求出相應(yīng)的解.4 .判斷二元一次方程組的方法：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起就組成一個(gè)二元一次方程組，判斷一個(gè)方程是不是二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個(gè)條件：(1)看整個(gè)方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個(gè)；(2)看含

10、未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是1.5 .檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解，常用的方法是：將這對(duì)數(shù)值分別代入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這對(duì)數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說(shuō)這對(duì)數(shù)值是此方程組的解；否則，如果這對(duì)數(shù)值不滿足其中的任何一個(gè)方程，那么它就不是此方程組的解6 .運(yùn)用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問(wèn)題：(1)當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，用代入法比較簡(jiǎn)單；(2)若方程組中未知數(shù)的系數(shù)為1(或一1),選擇系數(shù)為1(或一1)的方程進(jìn)行變形，用代入法比較簡(jiǎn)便；(3)當(dāng)方程組中的兩個(gè)方程有某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時(shí)，進(jìn)行加減消元比較方便；(4)若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)

11、的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成(3)的類型，選擇加減消元法比較簡(jiǎn)便；(5)若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6)對(duì)于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(jiǎn)(去分母、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等),通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮.經(jīng)典例題透析類型一：求二元一次方程的解1.寫出二元一次方程4x+y=20的所有正整數(shù)解.思路點(diǎn)撥：要把4x+y=20變形，再

12、根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)求解.解析：由原方程得y=204x.因?yàn)閤、y都是正整數(shù)，所以當(dāng)x=1,2,3,4時(shí)，y=16,12,8,4.所以方程4x+y=20的所有正整數(shù)解為：，.總結(jié)升華：(1)可以把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)看成已知數(shù)，先解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，然后兩個(gè)未知數(shù)取正整數(shù)值即可.(2)對(duì)題意理解，要注意兩點(diǎn)：要正確；不重、不漏.兩個(gè)未知數(shù)的取值均為正整數(shù)才符合題意的解舉一反三：【變式1】在方程3x+4y2=0中，若y分別取2、0、一1、一4,求相應(yīng)的的值.【答案】將3x+4y2=0變形得.把已知y值依次代入方程的右邊，計(jì)算相應(yīng)值，如下表:201一4226【變式2求二元一次方程2

13、x+y=9在自然數(shù)圍的解。思路點(diǎn)撥：首先明確自然數(shù)的概念，自然數(shù)是指0,1,2,3,，也就是非負(fù)整數(shù)，最小的自然數(shù)是0。再把二元一次方程變形，用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，可變?yōu)閥=9-2x,這樣再讓未知數(shù)x按順序0,1,2,3,取值，即可獲得所求的自然數(shù)圍的解。解析：原方程變形為y=92x當(dāng)x=0時(shí)，y=9,當(dāng)x=1時(shí)，y=7,當(dāng)x=2時(shí)，y=5當(dāng)x=3時(shí)，y=3,當(dāng)x=4時(shí)，y=1,當(dāng)x=5時(shí)，y=1所以方程在自然數(shù)圍的解為，。類型二：確定方程的待定系數(shù)2 .若是關(guān)于的二元一次方程，求的值.思路點(diǎn)撥：根據(jù)兀一次方程的定義，a3w0,即aw3;|a|2=1,即a=±3,所以a=3.

14、解析：由題意得|a|-2=1,所以a=±3.而a3w0,即aw3,所以a=3.總結(jié)升華：二元一次方程的待定系數(shù)的求解，要同時(shí)考慮兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)與次數(shù)，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,這兩個(gè)條件.舉一反三：【變式1】如果是方程組的解，求a20092b2009的值.思路點(diǎn)撥：把代入方程組，可以得到關(guān)于a、b的方程組，解這個(gè)方程組，可得a、b的值.解析：由是方程組的解，得.解這個(gè)方程組，得，當(dāng)時(shí)，a2009-2b2009=12009-2xi2009=-1.總結(jié)升華：把x、y的值代入方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，解出a、b的值.本題體現(xiàn)了“系數(shù)”與“未

15、知數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系.【變式2】方程2xm+1+3y2n=5是二元一次方程，則m=,n=.【答案】0,解析：由方程是二元一次方程得：1=1,2n=1,解得：m=0,n=?！咀兪?】若是方程組的解，則a=,b=.【答案】a=2,b=1解析：把代入原方程得。3 .已知方程組與方程組的解相同，求的值.思路點(diǎn)撥：因?yàn)閮蓚€(gè)方程組的解相同，所以可先求出方程組的解，然后把此解代入方程組中，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，即可導(dǎo)出a、b的值.解析：解方程組，得.把代入方程組，得，解這個(gè)方程組，得.總結(jié)升華：由于此題的解題步驟較多，所以解方程組的過(guò)程可以省略舉一反三：【變式1】已知方程組與方程組的解相

16、同，求a、b的值.解析：由方程3xy=5與4x7y=1組成方程組，之后解題過(guò)程見(jiàn)例3,求出x、y的值，代入方程組，再求出a、b的值，得.【變式2】若等式中的x、y滿足方程組，求mn的值。解析：由2x4=0,y-=0,得，把代入方程組得解得：把代入2mn+得原式=2X318+=°類型三：二元一次方程組的求法4 .解方程組.思路點(diǎn)撥：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可以選用不同的方法來(lái)解解析：方法一：原方程組化簡(jiǎn)得由得，y=36-5x.把代入，得一x+5(365x)=24,解得x=6.把x=6代入，得y=365X6=6.所以原方程組的解是.方法二：原方程組化簡(jiǎn)得X5,得25x+5y=180.，得26x

17、=156,解得x=6.把x=6代入，得y=6.所以原方程組的解是.方法三：原方程組化簡(jiǎn)得X3,得9(x+y)+6(xy)=108.X2,得4(x+y)6(xy)=48.十，得13(x+y)=156,解得x+y=12.把x+y=12代入，解得x-y=0.解方程組，得.所以原方程組的解是.總結(jié)升華：(1)方法一和方法二都利用了二元一次方程組的常規(guī)解法：代入法和加減法；方法三根據(jù)題目的特點(diǎn)應(yīng)用了整體的思想方法先求出x+y和xy的值，再進(jìn)一步求x、y的值，這是解方程(組)的一種重要的思想.(2)解方程組時(shí)，不要急于求解，要先觀察特點(diǎn)，因題而異，靈活選擇方法，才能事半功倍.同時(shí)，注意一題多解，訓(xùn)練思維的

18、敏捷性和解題的靈活性舉一反三：【變式1已知方程組，求x+y+z的值.思路點(diǎn)撥：這是個(gè)三元一次方程組，只含有兩個(gè)方程，一般不能分別求出x、y、z的值,可把“x+y+z”作為一個(gè)整體，把方程組變形，根據(jù)特殊性求解解析：將原方程組整理，得X3,得6(x+3y)+3(x+y+z)=21,x2,得6(x+3y)+2(x+y+z)=16,一，得x+y+z=5.【變式2】解方程組解：由，得5x+53y=85X300,即5(x+y)+48y=85X300.將代入，得5X300+48y=85X300。解得y=500.將y=500代入，得x=200.所以原方程組的解是.【變式3】解方程組解：設(shè)，則原方程組可化為解

19、得，即，解得。類型四：實(shí)踐應(yīng)用題5 .直角三角形ABC中，ZC=90°,兩個(gè)銳角的差是30°,求兩個(gè)銳角的度數(shù).思路點(diǎn)撥：許多幾何中的問(wèn)題，如邊、角問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)來(lái)列方程組，使幾何問(wèn)題中的量的關(guān)系變得更直接、更易懂.解析：設(shè)兩個(gè)銳角的度數(shù)分別是x和y。，根據(jù)題意列方程組為，解方程組，得.所以兩個(gè)銳角的度數(shù)分別是60。和30。.總結(jié)升華：列簡(jiǎn)單的二元一次方程組時(shí)應(yīng)先設(shè)未知數(shù)，然后列出含有未知數(shù)的兩個(gè)方程,再用大括號(hào)聯(lián)立，組成二元一次方程組.舉一反三：【變式1】美術(shù)小組的同學(xué)分鉛筆若干支，若其中4人每人各取4支，其余的人每人各取3支，則還剩16支；若有1人只取2支，則其余

20、的人恰好每人各得6支，問(wèn)美術(shù)小組的同學(xué)有多少人？鉛筆有多少支？解析：設(shè)美術(shù)小組有名同學(xué)，有支鉛筆，根據(jù)題意，得,解方程組，得.答：美術(shù)小組有8名同學(xué)，44支鉛筆.【變式2（中考）某刊物報(bào)道：“2008年12月15日，兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動(dòng)，大三通基本實(shí)現(xiàn).大三通最直接好處是省時(shí)間和省成本，據(jù)測(cè)算，空運(yùn)平均每航次可節(jié)省4小時(shí)，海運(yùn)平均每航次可節(jié)省22小時(shí)，以兩岸每年往來(lái)合計(jì)500萬(wàn)人次計(jì)算，則共可為民眾節(jié)省2900萬(wàn)小時(shí)”根據(jù)文息，求每年采用空運(yùn)和海運(yùn)往來(lái)兩岸的人員各有多少萬(wàn)人次.解析：設(shè)每年采用空運(yùn)往來(lái)的有x萬(wàn)人次，海運(yùn)往來(lái)的有y萬(wàn)人次，依題意得解得答：每年采用空運(yùn)往來(lái)的有450萬(wàn)人次，海運(yùn)往來(lái)的有50萬(wàn)人次.6 .小明做拼圖游戲時(shí)發(fā)現(xiàn)：8個(gè)一樣大小的小長(zhǎng)方形恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，如圖1所示.小麗看見(jiàn)了，也來(lái)試一試，結(jié)果拼成了如圖2所示的正方形