多維隨機(jī)變量及分布2

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)聯(lián)合聯(lián)合 分布分布函數(shù)函數(shù)離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列 聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度j ijipyYxXP, 2, 1, jiyyxxj ijipyYxXPyxF,),(yxdudvvufyxF),(),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(),(),(),(2邊緣邊緣分布分布函數(shù)函數(shù)離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型 邊緣分布列邊緣分布列 邊緣概率密度邊緣概率密度dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(X 與與Y 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布,),(yYxXPyxF(X,Y)關(guān)于

2、關(guān)于X 和和Y 的邊緣分布的邊緣分布),()(xFxFX),()(yFyFY關(guān)于關(guān)于X 的的關(guān)于關(guān)于Y 的的關(guān)于關(guān)于X 的的關(guān)于關(guān)于Y 的的, 1ijj iixXPpp, 1iij ijyYPpp yyjYjpxF)( xxiXipxF)(yYdvdxvxfyF),()(xXdudyyufxF),()(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)兩個常見的二維分布兩個常見的二維分布1. 均勻分布均勻分布,0;),(,1),(其它其它GyxSyxfG是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域S為其面積為其面積.2. 正態(tài)分布正態(tài)分布( (X,Y) )N( ).( ). ,222211二維均勻分布的兩個二維均勻分布的兩個邊緣密度未必是邊緣

3、密度未必是均勻分布均勻分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布 yx,)()()(2)()1(2122222112112 yyxxe22121),( 1yxf聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系: 我們與一維情形相對照，采用類比和轉(zhuǎn)化的手段我們與一維情形相對照，采用類比和轉(zhuǎn)化的手段,介紹了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布介紹了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布.由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.二維隨機(jī)變量的兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系？二維隨機(jī)變量的兩個隨機(jī)變量之

4、間的關(guān)系？ 條件概率條件概率 獨(dú)立性獨(dú)立性 在事件在事件B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率 設(shè)有兩個隨機(jī)變量設(shè)有兩個隨機(jī)變量X, Y ，這個分布就這個分布就是條件分布是條件分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量推廣到推廣到)()()|(BPABPBAP 例如例如, ,考慮某大學(xué)的全體學(xué)生考慮某大學(xué)的全體學(xué)生, , 則則X 和和Y 都是隨機(jī)變量都是隨機(jī)變量, ,它們都有一它們都有一 定的概率分布定的概率分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念在第一章中，我們介紹了條件概率的概念體重體重X身高身高Y 從其中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分別以從其中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分別以X 和和Y 表示其表

5、示其 體重和身高體重和身高. 在給定在給定 Y 取某個取某個或某些值的條件下或某些值的條件下, ,求求 X 的概率分布的概率分布.3 二維隨機(jī)變量的條件分布二維隨機(jī)變量的條件分布 在這個條件下去求在這個條件下去求X 的的條件分布條件分布. 容易想象容易想象, , 這個分布與不加這這個分布與不加這個條件時(shí)的分布會很不一樣個條件時(shí)的分布會很不一樣:在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加 現(xiàn)在若限制現(xiàn)在若限制1.7Y 0， 有放回地連續(xù)摸有放回地連續(xù)摸兩次兩次, , 11ppj 解解 依題意有依題意有例例1(P(P9898 例例5 5續(xù)續(xù)) ) 一袋中裝有兩只白

6、球一袋中裝有兩只白球,三只紅球三只紅球,所以所以X 和和Y 的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列 試求條件試求條件X=1下隨機(jī)變量下隨機(jī)變量Y 的及的及Y=0下下 X 的的條件分布條件分布.;2595353)0, 0(YXP設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 .,0, 1第第一一次次摸摸出出紅紅球球第第一一次次摸摸出出白白球球；X ., 0, 1第第二二次次摸摸出出紅紅球球；第第二二次次摸摸出出白白球球Y;2545252)1,1(YXP X Y 0 1 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25p jpi 3/5 2/53/52/5)1(XjYP.5/30ip ;5/21jp 及邊緣分布列為及邊緣分布列為 00)0

7、(ppYiXPiY| |X=1 0 1 pk 3/5 2/5條件條件X=1下的下的條件分布列為條件分布列為 先求先求聯(lián)合聯(lián)合分布列分布列和邊緣分布列和邊緣分布列.2565352)1,0()0,1(YXPYXP 求二維離散型隨機(jī)變量的條件分布列求二維離散型隨機(jī)變量的條件分布列, , 需知需知邊緣分布邊緣分布和和聯(lián)合分布聯(lián)合分布.如何求條件分布函數(shù)？如何求條件分布函數(shù)？ij iijppxXyYP)|(jj ijippyYxXP)|(X 、Y 的的條件分布列分別為條件分布列分別為: 在已知在已知 Y = yj 下下, , X 的的條件分布函數(shù)為條件分布函數(shù)為: 在已知在已知 X = xi 下下, ,

8、Y 的條件分布函數(shù)為的條件分布函數(shù)為:|)|(|ijYXyYxXPyxFyyj iiiXYjppxyF1)|(|jixxyYxXPi,jjiyYPyYxXPxxj ijipp1類條概公式類條概公式 設(shè)設(shè)( (X,Y) )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x, y), 概率密度為概率密度為 f (x, y), 由于由于 x, y, P X=x =0, ,P Y=y =0, ,所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，類似地類似地,條件條件 X = x 下下Y 的條件分布函數(shù)為的條件分布函數(shù)為 定義定義2 若極限若極限連連續(xù)續(xù)，若若),(yxf;)(),()|(|

9、yfyxfyxfYYX則則條件條件Y = y 下下X 的的條件密度條件密度為為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布 設(shè)設(shè)( (X,Y) )是是二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量, ,)(),()|( yYyPyYyxXPyYyxXP 下面我們用極限工具下面我們用極限工具給出條件概率密度的定義給出條件概率密度的定義: 00lim lim 存在，存在， 則稱它為則稱它為條件條件Y = y下下 X 的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù)，則其邊緣密度函數(shù)則其邊緣密度函數(shù) fX (x), fY (y) 也也連續(xù)，連續(xù)， )(),(lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX)()(yF

10、yFYY ),(),(yxFyxF )(),(yFyxFYy )(),(yfudyufYx.)(),()|(|xfyxfxyfXXY，)(),()|(|xfvdvxfyxFXyXY條件條件 X = x 下下Y 的的條件密度條件密度為為記為記為 FX| |Y( (x| |y) ). . / / )()|(),(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfxyfXXY)()|()()|(|yfxyfxfyxfYXYXYX 解解例例2(P99(P99例例8) 8) 設(shè)設(shè)( (X,Y) )的概率密度為的概率密度為. )|()|(|xyfyxfXYYX和和 .,0,10,6),(2他他其其xxyxyxf同理

11、同理, , 求條件概率密度求條件概率密度 ., 0;,6其他其他yxydxyy由類條概公式，由類條概公式， ,0)( yfY當(dāng)當(dāng) y 0 和和 y 1 時(shí)，時(shí)， 0 xy ; 2xyx dyyxfxfX),()(y = x y = x2 yx 應(yīng)先求兩個邊緣密度應(yīng)先求兩個邊緣密度 fX (x), fY (y)： ， xxdy26.,0他他其其, )(62xx dxyxfyfY),()(, )(6yy )(),()|(|yfyxfyxfYYX. ,0;,1)|(2|其其他他xyxyyyxfYX不存在不存在, 當(dāng)當(dāng) 0 y 1 時(shí)，時(shí)， 同理同理, , ,0)(xfX當(dāng)當(dāng) x 0 和和 x 1 時(shí)

12、，時(shí)， )(),()|(|xfyxfxyfXXY. ,0;,1)|(2|其其他他yxyxxxyfXY當(dāng)當(dāng) 0 x1) ) .)|()(),(|xyfxfyxfXYX ,lny dxyxfyfY),()(解解 ( (1) )0， 其他其他.( (2) ) 在在 X=x ( (0 x1) )已知邊緣密度和條件密度已知邊緣密度和條件密度0 xyy = x y = 1 - - x ., 0,212222他他其其yRxyRdyyxfxfX),()()(),()|(|xfyxfxyfXXY2222)2(1xRRR ,2122xR ,0;,1),(2222其其它它RyxRyxf 例例4 設(shè)設(shè)( (X,Y )

13、 )服從圓域服從圓域 x 2 + + y 2 = R2 上的均勻分布，上的均勻分布，求求 及及 )|(|yxfYX).|(|xyfXY 222221xRxRdyR RxRxxRR|,0;|,2222 RyRyyRRyfY|,0;|,2)(222 解解 ( (X,Y) ) 關(guān)于關(guān)于X 的邊緣密度的邊緣密度為為 其其他他，,0;,212222xRyxRX 已知下已知下Y 的條件密度的條件密度是是 y 的取值范圍的取值范圍 X 作為已知變量作為已知變量 )(yxfYX( (X, ,Y ) )的聯(lián)合分布服從均勻分布的聯(lián)合分布服從均勻分布 邊緣分布服從均勻分布邊緣分布服從均勻分布 條件分布仍為均勻分布條

14、件分布仍為均勻分布如如y =0 時(shí)的圖形為時(shí)的圖形為- -R 0 0 R xfXY(x| y)恰為恰為 y 取值區(qū)間的長度取值區(qū)間的長度都服從均勻分布都服從均勻分布恰為恰為 x 取值區(qū)間的長度取值區(qū)間的長度 當(dāng)當(dāng)| x | R 時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)| x | R 時(shí)時(shí), , 1/21/2R。 。 21122222 )()1(21 xye22121)( xyfXY 我們知道我們知道, ,二維聯(lián)合正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布二維聯(lián)合正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布 可以證明可以證明: 對二維正態(tài)分布對二維正態(tài)分布, ,已知已知 X= x下下Y 的條件分布的條件分布, ,和已和已知知Y= y下下X

15、 的條件分布的條件分布, ,都仍是正態(tài)分布都仍是正態(tài)分布.例例5(P101(P101例例10) 10) 設(shè)設(shè), );,;,(),(222211 NYX求條件密度函數(shù)求條件密度函數(shù)解解 ( (X,Y) )的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 ( (X,Y ) )關(guān)于關(guān)于X 的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為xexfxX,21)(21212)(1 條件條件X= x下下Y 的的條件分布條件分布為為 是正態(tài)分布是正態(tài)分布 N( ( ) ),(1122 x)1(222 條件條件Y = y下下X 的條件分布仍是正態(tài)分布的條件分布仍是正態(tài)分布) )1(),(2212211 yN. )|(|xyfXYyx,)()(

16、)(2)()1(2122222112112 yyxxe22121),( 1yxfx小結(jié)小結(jié) 二維均勻分布的兩個二維均勻分布的兩個邊緣密度未必是邊緣密度未必是均勻分布均勻分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布 條件分布仍為條件分布仍為均勻或正態(tài)分布均勻或正態(tài)分布二維隨機(jī)變量的條件分布二維隨機(jī)變量的條件分布離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型,|jj ijippyYxXPij iijppxXyYP|yyj iiiXYjppxyF1)|(|,1)(xxj ijjYXippyxF)(),()|(,)(),()|(|xfyxfxyfyfyxfyxfXXYYYX )()|()

17、()|(),(|xfxyfyfyxfyxfXXYYYXvdvxfxfxyFduyufyfyxFyXXYxYYX),()(1)(,),()(1)()(),(yFyxFYy )(),(xFyxFXx 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個重要概念隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個重要概念則稱則稱X , ,Y 相互相互獨(dú)立獨(dú)立 .4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 兩事件兩事件A, ,B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立也可用也可用分布函數(shù)分布函數(shù)給出等價(jià)形式給出等價(jià)形式, 即即)()(),(yFxFyxFYX 設(shè)設(shè) X,Y是兩個隨機(jī)變量是兩個隨機(jī)變量, ,若對任意的若對任意的x, y, 有有則稱則稱X與與Y 相互相互獨(dú)

18、立獨(dú)立 . 它表明它表明, ,兩個隨機(jī)變量兩個隨機(jī)變量相互相互獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí), ,它們的它們的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)等于等于兩個邊緣分布函數(shù)兩個邊緣分布函數(shù)的乘積的乘積 . .獨(dú)立性在獨(dú)立性在分布列分布列和和概率密度概率密度這兩個平行概念上的反應(yīng)這兩個平行概念上的反應(yīng)?定義定義1(P102(P102 定義定義7) 7) 一、二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性若若P(AB)=P(A)P(B), ,則稱事件則稱事件A , ,B相互獨(dú)立相互獨(dú)立 .隨機(jī)變量隨機(jī)變量推廣到推廣到若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量( (X, ,Y) )對任意的對任意的x, ,y, ,有有)()(),(yYPxXPyY

19、xXP P103 P103 例例1111請自讀請自讀 ij ijijj ijippxXyYPppyYxXP,),()()(),(NjiyYPxXPyYxXPjiji X與與Y 相互相互獨(dú)立獨(dú)立充分必要條件充分必要條件:jij ippp 1. 若若( (X, ,Y) )為離散型為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量),()()(),(yxyfxfyxfYX對對任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) X與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立充分必要條件：充分必要條件：)()|(),(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfxyfXXY),()()(),()(RyxyfxyfxfyxfYXYXYX|ijijijj ixXyYPpyYxXPpp連續(xù)型

20、隨機(jī)變量的連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度聯(lián)合密度等于其等于其邊緣密度邊緣密度的乘積的乘積任 一 變 量 的任 一 變 量 的 條 件 密 度條 件 密 度 等 于 其等 于 其 邊 緣 密 度邊 緣 密 度任 一 變 量 的任 一 變 量 的 條 件 分 布 列條 件 分 布 列 等 于 其等 于 其 邊 緣 分 布 列邊 緣 分 布 列jijijipxXyYPpyYxXP)|(,)|(2. 若若( (X, ,Y) )為連續(xù)為連續(xù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列等于其等于其邊緣分布列邊緣分布列的乘積的乘積無無 條條 件件P103 P103 定理定理2 2P104

21、P104 定理定理3 3證證 vdudvfufyYXx )()(證證( (P104P104) )“”：“”： 若若 X 與與 Y 相互相互獨(dú)立，獨(dú)立， 則則)()(),(yFxFyxFYX dvvfduufyYxX )()(),()()(),(yxyfxfyxfYX對對任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)),()()(),(yxyfxfyxfYX對對任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若 則則vdudvufyxFyx ),(),(vdudvfufyYXx )()(dvvfduufyYxX )()(, )()(yFxFYX 所以所以 X 與與 Y 相互相互獨(dú)立獨(dú)立 . 對對 F( (x, ,y) )求二階混合偏導(dǎo)即得聯(lián)合密度求二階混

22、合偏導(dǎo)即得聯(lián)合密度 小結(jié)小結(jié),yYPxXPyYxXP 概概率率分布分布函數(shù)函數(shù))()(),(yFxFyxFYX聯(lián)合聯(lián)合 與與邊緣邊緣jij ippp)()(),(yfxfyxfYX條件條件 與與邊緣邊緣jijijipxXyYPpyYxXP |,|)()(),()(yfxyfxfyxfYXYXYX 離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型 離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型X 1 2 3 1/31/6 a 1/ 9 b1/18 Y12jpip試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 與與 b , ,使使X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 先求先求( (X,Y) )關(guān)于關(guān)于X, ,Y 的邊緣分布列的邊緣分布列:解解 例例1 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變

23、量( (X,Y) )的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為X1 2 3 1/31/6 a 1/9 b1/18 Y12 1/3 + a + b1/31/2 1/ 9 + a 1/18 + b要使要使X與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 只需只需jij ippp)2()2()2, 2(YPXPYXP)2()3()2, 3(YPXPYXP,31)181(181,31)91(91ba.91,92ba2/ 9 1/ 9 P105 P105 例例12 12 請自讀請自讀 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量( (X,Y ) )在區(qū)域在區(qū)域 G上服從均勻分布上服從均勻分布, ,1,0,0所所圍圍區(qū)區(qū)域域是是由由 yxyxG解解例例2(P(P

24、106 例例13) )判定判定 X 與與 Y 是否獨(dú)立是否獨(dú)立. 0 1 xy1由條件知由條件知,(,(X,Y) )的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 ., 0,),(,2),(其他其他Gyxyxfx+y=1 ., 0;10,)1( 2)(其他其他xxxfX ., 0;10,)1( 2)(其他其他yyyfY, )()(),(yfxfyxfYX 顯然，顯然， 所以所以 X 與與 Y 不獨(dú)立不獨(dú)立 . 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量( (X,Y ) )在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 10, 20),(yxyxG上服從均勻分布上服從均勻分布,試求試求 ( (U,V ) )的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列,解解例例3, 0, 1YXYXU

25、,2, 0,2, 1YXYXV若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量并判定并判定U 與與V 是否獨(dú)立是否獨(dú)立. 0 1 2 xy1G由條件知由條件知,(,(X,Y) )的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為., 0,),(,21),(其他其他Gyxyxf)0, 0(VUP)(YXPyxdydxyxf),(離散型離散型, 有有4 對取值對取值轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化)1, 0(VUP)2,(YXYXP)2,(YXYXP)2,()0, 1(YXYXPVUP)2(YXYP)1, 1(VUP,0 x = 2yy=xX 0 1 1/4 0 Y011/41/2 jpip1/4 3/4 1/21/2 4100p81214100pp10 xd,41121x

26、yd 2/1021yyxdyd,41041411.21所以所以U 與與V 不獨(dú)立不獨(dú)立., )()(),(yFxFyxFYX 以以 X,Y 分別表示兩個部分別表示兩個部件的壽命件的壽命( (單位單位: :小時(shí)小時(shí)),),( (1) )問問X 和和Y 是否相互獨(dú)立？是否相互獨(dú)立？解解 ( (1) ) ),(lim),()(yxFxFxFyX, )()(),(yFxFyxFYX 例例4 一電子產(chǎn)品由兩個部件構(gòu)成一電子產(chǎn)品由兩個部件構(gòu)成 ,., 0, 0,0,1),()(5 . 05 . 05 . 0其其他他yxeeeyxFyxyx已知已知 X,Y 的聯(lián)合分布為的聯(lián)合分布為 ( (2) )求兩部件的

27、壽命超過求兩部件的壽命超過 0.1 小時(shí)的概率小時(shí)的概率. .)1 .0, 1 .0(YXP( (2) ) .,0,0,1),()(5. 0其其他他yeyFyFyY故故 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.1.0 e)1. 0,1. 0(YXP)1 . 0, 1 . 0(),1. 0()1. 0,(),(FFFF)1()1()1(11. 005. 005. 005.005.0eeeee .,0,0,15 . 0其其他他xex證證 例例5 (P107(P107 例例15)15)試證試證: X 與與Y 相互獨(dú)立的充要條件是相互獨(dú)立的充要條件是 =0 .設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量( (X,Y) )N( ).

28、( ). ,222211 ( (X,Y) )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為)()()(2)()1(212222222112112121),( yyxxeyxf1其邊緣概率密度分別為其邊緣概率密度分別為 xexfxX,21)(21212)(1 yeyfyY,21)(22222)(2 0 0 0 若若 = 0,“”:“”:若若X 和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 , )()(),(yfxfyxfYX 故故 X 和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 ., )()(),(yfxfyxfYX = 0 .令令 x= 1 , y= 2 , , )()(),(2121 YXfff 2222121121 11 則則X, Y 的密

29、度函數(shù)的密度函數(shù)分別為分別為:121121yx121,97,128),( yxyxyxG 設(shè)他倆到達(dá)的設(shè)他倆到達(dá)的 時(shí)間是獨(dú)立的，時(shí)間是獨(dú)立的， 解解 設(shè)設(shè)X,Y 分別為經(jīng)理和秘書到達(dá)辦公室的時(shí)刻分別為經(jīng)理和秘書到達(dá)辦公室的時(shí)刻, 某經(jīng)理到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在某經(jīng)理到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在812時(shí)之間時(shí)之間, ,例例6(P106(P106 例例14)14)他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在79時(shí)之間時(shí)之間. 求他倆到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過求他倆到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率分鐘的概率.,0,128,41)(其它其它xxfX.,0,97,21)(

30、其它其它yyfY由于由于X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,依題意所求概率為依題意所求概率為)121| ( yxP 0 xy978 12Gx - - y = - -1/12x - - y =1/12.,0,97,128,81),(其它其它yxyxfGx - - y = - -1/12x - - y =1/12BAC CBCBAABCGSSS dxdyyxfyxPG),()121| (ydxd81GS81.841被積函數(shù)為常數(shù)被積函數(shù)為常數(shù)直接求面積直接求面積.61)1211(21)1213(2122先到的人等待另一人到達(dá)的先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過時(shí)間不超過5分鐘的概率分鐘的概率類似的問題如：

31、類似的問題如： 試求其中一艘船要等待碼頭空出試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率的概率. 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭， 設(shè)兩船各自獨(dú)立設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的 .若甲船需停泊若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊小時(shí)，乙船需停泊2小時(shí)，而該碼頭小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船，只能停泊一艘船，若收到兩個相互獨(dú)立的這種若收到兩個相互獨(dú)立的這種信號的時(shí)間間隔小于信號的時(shí)間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾. 求它們可以構(gòu)成三角形的概率求它們可以構(gòu)成三角形的概率. 在某一分鐘的任何時(shí)刻

32、，在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號進(jìn)入收音機(jī)是等可能的信號進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.求發(fā)生兩信號互相干擾的概率求發(fā)生兩信號互相干擾的概率.把長度為把長度為a的線段在任意兩點(diǎn)折斷成為三線段，的線段在任意兩點(diǎn)折斷成為三線段，長度為長度為 a 我們由兩個事件相互獨(dú)立的概念引入兩個我們由兩個事件相互獨(dú)立的概念引入兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念, , 給出了兩種情況下給出了兩種情況下隨機(jī)變量獨(dú)立的條件隨機(jī)變量獨(dú)立的條件, ,希望同學(xué)們牢固掌握希望同學(xué)們牢固掌握 . 如果兩個隨機(jī)變量不獨(dú)立，討論它們的如果兩個隨機(jī)變量不獨(dú)立，討論它們的關(guān)系時(shí)，除了前面介紹的聯(lián)合分布和邊緣分關(guān)系時(shí)，除了前面介紹的聯(lián)合

33、分布和邊緣分布外，常常需要利用條件分布的概念布外，常常需要利用條件分布的概念 . .2. 兩個兩個多多維隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性維隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性定義定義2 設(shè)有設(shè)有n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量( (X1, X2, , Xn), ), 若對若對 x1, x2, , xn R , 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 )()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn 采用類比的方法采用類比的方法, 隨機(jī)變量獨(dú)立性的概隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念可以推廣到兩個以上隨機(jī)變量的情形念可以推廣到兩個以上隨機(jī)變量的情形)()(),(11iiiinnxXPxXPxXxXP 模仿二維

34、隨機(jī)變量模仿二維隨機(jī)變量, ,不難寫出其它幾個關(guān)于獨(dú)立性的等價(jià)描述不難寫出其它幾個關(guān)于獨(dú)立性的等價(jià)描述: :二、二、n 維隨機(jī)變量的獨(dú)立性維隨機(jī)變量的獨(dú)立性則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.若若( (X1, X2, , Xn) )的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為F F( (x1, x2, , xn),),分布分布函數(shù)函數(shù)),(,),(),(2121nXXXxFxFxFn其邊緣分布函數(shù)分別為其邊緣分布函數(shù)分別為 P P108108 定理定理4 概率概率 聯(lián)合聯(lián)合與與邊緣邊緣有有 )()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn )()(),(11

35、11nnnnxXPxXPxXxXP P P108108 定義定義8 8 P P109109 定理定理5 離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型1. n 個隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性個隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性 則則 10 常數(shù)常數(shù)C 與任一隨機(jī)變量獨(dú)立；與任一隨機(jī)變量獨(dú)立； 20 n 個獨(dú)立隨機(jī)變量中的任意個獨(dú)立隨機(jī)變量中的任意 k 個個 Xn1, Xn2, , Xnk 仍獨(dú)立；仍獨(dú)立； 30 n 個獨(dú)立隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)個獨(dú)立隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù) g1( x1), gn( xn) 仍獨(dú)立仍獨(dú)立. P P109 Th6 P P109 Th7 例如：例如： X1, X2, , Xn X12, eX2, , lnXn相互獨(dú)立相