量子力學課件(5)

1、17.3 (1)在一維無限深勢阱在一維無限深勢阱 中有兩中有兩 個自旋個自旋 的全同粒子，粒子間不存在相互的全同粒子，粒子間不存在相互 作用，寫出體系最低兩個能級，指出簡并度，作用，寫出體系最低兩個能級，指出簡并度， 并寫出相應的波函數；并寫出相應的波函數； (2)同同(1)，但粒子具有自旋，但粒子具有自旋 ； (3)同同(2)，但粒子間存在同自旋有關的相互作用，但粒子間存在同自旋有關的相互作用 勢勢 。axxaxxV, 0,0, 0)(0S2/1S)0(21ASSAV這類題要注意：這類題要注意：（1 1）是否全同粒子體系？）是否全同粒子體系？（2 2）何種全同粒子體系、）何種全同粒子體系、（

2、3 3）波函數分成幾部分？對稱性如何？）波函數分成幾部分？對稱性如何？（4 4）能量分成幾部分？各為多少？）能量分成幾部分？各為多少？（5 5）何時自旋對能量有貢獻？貢獻多少？）何時自旋對能量有貢獻？貢獻多少？2解：解：先寫出單粒子態(tài)能量與波函數先寫出單粒子態(tài)能量與波函數axxaxaxnaxanEnn, 000sin2)(,22222（1） 當當s=0時，玻色子，全波函數交換對稱時，玻色子，全波函數交換對稱.故只需看位置空間的波函數對稱性即可。故只需看位置空間的波函數對稱性即可。此時要求位置空間波函數是交換對稱的。此時要求位置空間波函數是交換對稱的。由于無外磁場，自旋對能量無貢獻。因而要考由于

3、無外磁場，自旋對能量無貢獻。因而要考慮最低的能量，無非兩種情況慮最低的能量，無非兩種情況1）兩個粒子都在）兩個粒子都在n=1態(tài)態(tài)2）一個粒子在）一個粒子在n=1態(tài)，一個粒子在態(tài)，一個粒子在n=2態(tài)態(tài)322212aEEI1）兩個粒子都在）兩個粒子都在n=1態(tài)時態(tài)時對應的對稱波函數為對應的對稱波函數為)()(2111xxI能級簡并度能級簡并度1f2）一個粒子在）一個粒子在n=1態(tài)，一個粒子在態(tài)，一個粒子在n=2態(tài)時態(tài)時2222125aEEEII對應的對稱波函數為對應的對稱波函數為)()()()(2122112211xxxxII能級簡并度為能級簡并度為1f4（2） 當當s=1/2時，費米子，全波函數

4、交換反對稱時，費米子，全波函數交換反對稱1f由于無外磁場，自旋對能量無貢獻。因而要考由于無外磁場，自旋對能量無貢獻。因而要考慮最低的能量，無非兩種情況慮最低的能量，無非兩種情況兩個粒子都在兩個粒子都在n=1態(tài)態(tài) 00|1）當自旋波函數反對稱時，）當自旋波函數反對稱時，則要求位置空間波函數是交換對稱的。則要求位置空間波函數是交換對稱的。能量為：能量為：波函數為：波函數為：22212aEEI00| )()(2111xxI這個能級簡并度為：這個能級簡并度為：5一個粒子在一個粒子在n=1態(tài)，一個粒子在態(tài)，一個粒子在n=2態(tài)態(tài)能量為：能量為：波函數為：波函數為：2222125aEEEII00|)()()

5、()(2112212211xxxxII11 |10|11|2）當自旋波函數對稱時，）當自旋波函數對稱時，此時只有一種情況，即倆個粒子分別在此時只有一種情況，即倆個粒子分別在n=1,n=2態(tài)，波函數為態(tài)，波函數為則要求位置空間波函數是交換反對稱的。則要求位置空間波函數是交換反對稱的。這個能級不這個能級不止止有此一個狀態(tài)，下述有此一個狀態(tài)，下述也也是。是。6故此能級的簡并度（故此能級的簡并度（加加上前上前面面一個）是：一個）是：431f11 |10|11|)()()()(2112212211xxxxII由于自旋對能量沒有貢獻，能級仍是：由于自旋對能量沒有貢獻，能級仍是：2222125aEEEII)

6、0(21ASSAV（3） 當當s=1/2時，費米子，全波函數交換反對稱時，費米子，全波函數交換反對稱. 但兩個粒子有相互作用但兩個粒子有相互作用對能量的貢獻是：對能量的貢獻是：22232SAE700| )()(2111xxI兩個粒子都在兩個粒子都在n=1態(tài)，則波函數為態(tài)，則波函數為1)1)對兩個對兩個s=1/2的全同費米子，當自旋波函數的全同費米子，當自旋波函數取反對稱態(tài)取反對稱態(tài) 時，時， ,位置空間部分取對位置空間部分取對稱態(tài)，此時有兩種情況稱態(tài)，此時有兩種情況00|0S對應的能量為對應的能量為2222221432322AaSAEEI兩個粒子分別在兩個粒子分別在n=1和和n=2態(tài)，則波函數

7、為態(tài)，則波函數為00|)()()()(2112212211xxxxII簡并度為簡并度為1f82)2)對兩個對兩個s=1/2的全同費米子，當自旋波函數的全同費米子，當自旋波函數取對稱態(tài)取對稱態(tài) 時，時， , 位置空位置空間部分取反對稱態(tài)，此時只有間部分取反對稱態(tài)，此時只有,11|1S11 |,10|2, 121nn反對稱態(tài)為反對稱態(tài)為11 |10|11|)()()()(2112212211xxxxII此時能量為此時能量為對應的能量為對應的能量為222222214325232AaSAEEEII簡并度為簡并度為1f9但顯然但顯然22224325AaEEIIIIIIE故故 是另一較低能級，非簡并。是另

8、一較低能級，非簡并。222222214125232AaSAEEEII簡并度為簡并度為3f總之，當兩個粒子有相互作用時，兩個最低總之，當兩個粒子有相互作用時，兩個最低能級都是非簡并的，所對應的自旋態(tài)是能級都是非簡并的，所對應的自旋態(tài)是00|107.4 設絕對零度時，在三維各向同性諧振子勢設絕對零度時，在三維各向同性諧振子勢 中有中有20個自旋為個自旋為 的質量為的質量為 的全同粒子的全同粒子 組成的體系。忽略粒子之間的相互作用，已知組成的體系。忽略粒子之間的相互作用，已知 這這20個粒子的平均能量為個粒子的平均能量為3 eV。 (1)如果同樣溫度下該勢場中有如果同樣溫度下該勢場中有12個這樣的粒

9、子個這樣的粒子 組成的體系，其平均能量是多少？組成的體系，其平均能量是多少？ (2)如果同樣溫度下該勢場中有如果同樣溫度下該勢場中有12個自旋為個自旋為 的質量仍為的質量仍為 的全同粒子組成的體系，其平均的全同粒子組成的體系，其平均 能量是多少？能量是多少？2/1S2221)(rrV0S提示提示: (1): (1)按照按照Pauli不相容原理，分能級進行討論不相容原理，分能級進行討論, , 同時考慮簡并度；同時考慮簡并度； (2)(2)對應玻色子對應玻色子, , 不受上述原理限制不受上述原理限制, ,平均能平均能 量按照常規(guī)法求。量按照常規(guī)法求。11解解: : (1)(1) 對三維各向同性諧振

10、子，其能級表對三維各向同性諧振子，其能級表達達式為式為1 2 31233()2n n nEnnn對自旋為對自旋為1/21/2的費米子，每一個量子態(tài)只的費米子，每一個量子態(tài)只能容能容納納一個粒子。一個粒子。在絕對零度下，粒子在絕對零度下，粒子盡盡可能占據最低能級可能占據最低能級按照上述原則，看按照上述原則，看2020個粒子平均能量是個粒子平均能量是如何如何獲獲得的。得的。000|1 1）基態(tài)）基態(tài)由自旋由自旋 引起引起二二重簡并重簡并12sm 能量是能量是23容納容納 2 個粒子。個粒子。12001| ,010| ,100|2 2）第一激發(fā)態(tài)）第一激發(fā)態(tài)由自旋由自旋 引起六重簡并引起六重簡并21

11、sm能量是能量是25容納容納 6 個粒子。個粒子。3 3）第）第二二激發(fā)態(tài)激發(fā)態(tài)002| ,020| ,200| ,101| ,011| ,110|由自旋由自旋 引起十二重簡并引起十二重簡并21sm能量是能量是27容納容納 12 個粒子。個粒子。2+6+12=20 個粒子。個粒子。13從從而算得而算得eV1對于對于12個這樣的粒子組成的體系，其平均能量為個這樣的粒子組成的體系，其平均能量為eVEEEE383812462321(2)(2)對于絕對零度下的對于絕對零度下的12個玻色子個玻色子，由于它們不受，由于它們不受不相容原理的限制，可以同時處在基態(tài)不相容原理的限制，可以同時處在基態(tài), ,平均能

12、量平均能量就是基態(tài)能量就是基態(tài)能量eVE2323eVEEEE33201262321上述上述2020個粒子的平均能量是個粒子的平均能量是147.7 兩個兩個質量為質量為 的粒子處于邊長為的粒子處于邊長為 的的 立方體盒中立方體盒中,粒子間的相互作用勢粒子間的相互作用勢 可視為可視為微擾微擾。在下列條件下，用一級微擾方。在下列條件下，用一級微擾方 法計算體系的法計算體系的最低能量最低能量； (1)粒子非全同；粒子非全同； (2)零自旋的全同粒子；零自旋的全同粒子； (3)自旋為自旋為 的全同粒子，并處于總自旋的全同粒子，并處于總自旋 的態(tài)上。的態(tài)上。cba)(21rrAV1S分析：分析：首首先可以

13、發(fā)先可以發(fā)現現，自旋對能量沒有貢獻。，自旋對能量沒有貢獻。但當考慮非零自旋時，自旋對波函數有貢獻。但當考慮非零自旋時，自旋對波函數有貢獻。15解：解：（1 1）對非全同粒子，）對非全同粒子，不考慮自旋體系，立方不考慮自旋體系，立方 勢阱的單粒子能級與波函數可以寫為勢阱的單粒子能級與波函數可以寫為)(0)(sinsinsin8)(321321outincznbynaxnabcrnnn, 3 , 2 , 1,232122322222122321nnncnbnanEnnn兩個粒子都處于基態(tài)兩個粒子都處于基態(tài) 態(tài)，其能級和波函數態(tài)，其能級和波函數可以表示為可以表示為11122222)0(111cbaE

14、16abcAzczybyxaxabcAcba827dsindsindsin80114011401142此能級是非簡并的，一級此能級是非簡并的，一級修修正可由非簡并微擾論給出正可由非簡并微擾論給出21)0(21)0*(21)0()0*()1(dd)(ddrrAHE故一級故一級近似近似能量為能量為abcAcbaEEE82711122222)1()0()(0)(sinsinsinsinsinsin8)()(22211121111111)0(outinczbyaxczbyaxabcrregral- )8sin(2 ) 12sind8xxxxx17（2 2）對零自旋的全同粒子，

15、）對零自旋的全同粒子，自旋對能級和波函數自旋對能級和波函數都沒有貢獻。只是都沒有貢獻。只是要求波函數對交換兩個粒子的要求波函數對交換兩個粒子的位置滿足交換對稱性要求。位置滿足交換對稱性要求。實實際際上，上述零級波函數是滿足這個要求的。上，上述零級波函數是滿足這個要求的。故故結結論沒有變化。論沒有變化。（3 3）當體系由兩個自旋為）當體系由兩個自旋為1/21/2的粒子的粒子組成時，組成時，要求要求波函數滿足交換反對稱。波函數滿足交換反對稱。 但粒子處在總自旋但粒子處在總自旋s=1s=1的自旋三重態(tài)，自旋波函的自旋三重態(tài)，自旋波函數是交換對稱的，故要求位置空間的波函數是交換數是交換對稱的，故要求位

16、置空間的波函數是交換反對稱的。反對稱的。問題：問題：兩個粒子能否處于同一個單粒子態(tài)上？兩個粒子能否處于同一個單粒子態(tài)上？回答回答：顯然不行，這樣沒法顯然不行，這樣沒法構構成反對稱位置空間成反對稱位置空間 波函數波函數故當體系處于故當體系處于最低能量態(tài)最低能量態(tài)時時位置空間波函數可寫為位置空間波函數可寫為18)()()()(21),(121121112211111121rrrrrr而考慮自旋而考慮自旋后后，體系的，體系的波函數可寫為波函數可寫為1, 0),(),(),(211212121)0(szzmzzmssrrssrrs2222222222)0(11421112cbacbaE22222225

17、2cba此能級是三重簡并的，一此能級是三重簡并的，一般般用簡并微擾來處理。用簡并微擾來處理。 但由于微擾算符中的但由于微擾算符中的函數只對空間部分函數只對空間部分起作用，自旋波函數又是相互正交的，故微擾起作用，自旋波函數又是相互正交的，故微擾矩陣的非對角矩陣的非對角元元都是零：都是零：19ssmmssrrrrrrmHm1121212121|dd),()(),(| |可以用非簡并微擾來處理能量的一級可以用非簡并微擾來處理能量的一級修修正正21)0()0()1 (ddHE21)0(21)0(dd)(rrA0dd)()()()()()()()()(2211211211122111111211*211

18、2*1112*2111*111rrrrrrrrrrA故一級故一級近似近似能量為能量為222222252cbaEssmm20)(rmr7.9 一體系由兩自旋一體系由兩自旋 質量為質量為 的粒子組成，兩的粒子組成，兩 粒子間存在相互作用勢粒子間存在相互作用勢 ，其中，其中 是正實數，是正實數， 是粒子是粒子1與與2的自旋，的自旋， 是兩是兩 個粒子間的距離。個粒子間的距離。 （1）在質心系中寫出體系的哈密頓量，證明體）在質心系中寫出體系的哈密頓量，證明體 系的總自旋系的總自旋 與與 是守恒量是守恒量 （2）令體系的波函數）令體系的波函數 其中其中 是是 與與 的共同本征函數，給出的共同本征函數，給

19、出 滿足的方程，并分別在滿足的方程，并分別在 與與 的情況下求出的情況下求出 體系的能量體系的能量 2212)/42(rSSV21S21,SS2SzS),()(),(2121zzsmzzssrssrsssm2SzS0S1S21（3）設兩粒子是非全同的，求出體系的基態(tài)能）設兩粒子是非全同的，求出體系的基態(tài)能 量，并指出其簡并度量，并指出其簡并度 （4）設兩粒子是全同的，求出體系的基態(tài)能設兩粒子是全同的，求出體系的基態(tài)能 量，并指出其簡并度量，并指出其簡并度分析：分析：這里涉及自旋角動量耦合問題，試圖通過此題把握這里涉及自旋角動量耦合問題，試圖通過此題把握全同和非全同粒子、位置空間和自旋空間波函數

20、、全同和非全同粒子、位置空間和自旋空間波函數、對稱和反對稱波函數的差別以及守恒量和簡并度的對稱和反對稱波函數的差別以及守恒量和簡并度的概念。概念。22解：解：221222)42(2rSSH由于相互作用勢涉及由于相互作用勢涉及相對位置相對位置 故故, r（1）證明算符是守恒量，應先寫出證明算符是守恒量，應先寫出Hamilton量。量。但但2122212223)(SSSSS所以所以222222)23(222rSH22222)25(2rS)2(m23由由H22222)25(2rS顯然顯然0, 0,2HSHSzzSS,2故故是守恒量。是守恒量。（2）給出體系的波函數滿足的方程。將給出體系的波函數滿足的

21、方程。將),()(),(2121zzsmzzSSrSSrs代入定態(tài)方程代入定態(tài)方程ErS)25(222222得得 滿足的方程滿足的方程)(r2422252( )(1)2SrErSr 問題：問題： 哪里去了？哪里去了？ssm對雙自旋對雙自旋1/2粒子，粒子，S=0,1當當S=0時，時，方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?()()52(222rErr特點：特點：2)(rrV三維諧振子三維諧振子故定態(tài)方程可以寫為以下形式故定態(tài)方程可以寫為以下形式25)()()212(22022rErr其中其中100定態(tài)能量易寫為定態(tài)能量易寫為, 2 , 1 , 0,)23(3210321nnnnnnE當當S=1時，時，方程變?yōu)榉匠套?/p>

22、為)()()2(222rErr26/21同樣定態(tài)能量可寫為同樣定態(tài)能量可寫為, 2 , 1 , 0,)23(3211321nnnnnnE其中其中（3）假設粒子是非全同的）假設粒子是非全同的，就不用考慮因粒子交換，就不用考慮因粒子交換 所引起的波函數的空間對稱性所帶來的能量變化所引起的波函數的空間對稱性所帶來的能量變化基態(tài)肯定是基態(tài)肯定是N=0的態(tài)的態(tài)，但因，但因 ，故，故S=1能量能量最低。最低。01mE32232310可見，不管總自旋是多少，定態(tài)能量只與可見，不管總自旋是多少，定態(tài)能量只與ni有關。有關。27),()(),(2121zzsmzzssrssrs（4）兩粒子自旋）兩粒子自旋S=1

23、/2的全同粒子的全同粒子， 對交換兩粒子的全部坐標是反對稱的。根據對交換兩粒子的全部坐標是反對稱的。根據),(21zzssrssm已經知道，已經知道，S=0時，時， 是反對稱的，所以是反對稱的，所以 對交換對交換 是對稱的；是對稱的；21rr )(r)(rssm S=1時，時， 是對稱的，所以是對稱的，所以 對交換對交換 是反對稱的；是反對稱的；21rr S=0的最低能量是的最低能量是(n1n2n3)=(000)態(tài)的態(tài)的9023230E而位置空間部分波函數的對稱性決定了諧振而位置空間部分波函數的對稱性決定了諧振子最低能級能量量子數取值，即子最低能級能量量子數取值，即28而而S=1的最低能量是的

24、最低能量是 (n1n2n3)=(100)，(010)， (001)三個態(tài)所共有的三個態(tài)所共有的502225251EmmE51002502顯然顯然 ，故體系的基態(tài)能量是，故體系的基態(tài)能量是EE 由于對此基態(tài)是由于對此基態(tài)是 （n1n2n3）有三個，而每個）有三個，而每個（n1n2n3）又對應）又對應3個自旋三重態(tài)，故基態(tài)能量個自旋三重態(tài)，故基態(tài)能量的簡并度為的簡并度為933297.10 設有兩個質量為設有兩個質量為 的一維全同粒子，它們之間的一維全同粒子，它們之間 的相互作用為的相互作用為 (1)若粒子自旋為若粒子自旋為0，寫出它們的相對運動態(tài)的，寫出它們的相對運動態(tài)的 能量和波函數；能量和波函

25、數； (2) 若粒子自旋為若粒子自旋為S= ，寫出它們的相對運動，寫出它們的相對運動 基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數。基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數。m)0()(21221axxa分析：無外磁場，無須考慮自旋對能量的貢獻！分析：無外磁場，無須考慮自旋對能量的貢獻！ 另外，當自旋為另外，當自旋為0 0時，自旋波數是交換對時，自旋波數是交換對 稱的，故要求空間波函數交換對稱。稱的，故要求空間波函數交換對稱。30解：解：（1 1）當粒子的自旋為）當粒子的自旋為0 0時時，只需考慮位置空，只需考慮位置空間的波函數是交換對稱的就可以。間的波函數是交換對稱的就可以。先求看體系的波函數。先求看體系的波函數。

26、體系的哈密頓量為體系的哈密頓量為22122222122)(2122xxaxmxmH作變量代換，將兩體問題化為單體問題作變量代換，將兩體問題化為單體問題引入質心坐標引入質心坐標 X與相對坐標與相對坐標x：2121),(21xxxxxX則哈密頓量變?yōu)閯t哈密頓量變?yōu)?/,221222222222mmMaxxXMH31我我們只關心相對運動，其哈密頓量變?yōu)閭冎魂P心相對運動，其哈密頓量變?yōu)?212212222222222axxaxxH這顯然是一維這顯然是一維線線性諧振子體系，其相對運動的性諧振子體系，其相對運動的能量及波函數分別為能量及波函數分別為1, =0,1,2,2Enn由于位置空間的波函數要求滿足交

27、換對稱性，即由于位置空間的波函數要求滿足交換對稱性，即)()(xx)()()(2/22xHeNxnxn所以量子數所以量子數n只能取只能取偶偶數數n= =0,2,4, ,32（2 2）當粒子的自旋為）當粒子的自旋為1/2時，時，全波函數要求是交全波函數要求是交換反對稱的，而位置空間波函數的交換對稱性則換反對稱的，而位置空間波函數的交換對稱性則由一維諧振子波函數的由一維諧振子波函數的奇偶奇偶性反性反映映出來。出來。其相對運動能量與自旋沒有關系其相對運動能量與自旋沒有關系, 2 , 1 , 0,21nnE位置空間的波函數為位置空間的波函數為偶宇偶宇稱時，自旋波函數稱時，自旋波函數必必須是須是交換反對

28、稱波函數；反之交換反對稱波函數；反之亦亦然。然。從從而體系波函數為而體系波函數為, 5 , 3 , 1,11 |10|11|)(),(, 4 , 2 , 0,00| )(),(2/2/2222nxHeNsxnxHeNsxnxnznxnz33其中自旋波函數意其中自旋波函數意義義同前定同前定義義)1 ()2()2() 1 (2100|)1 ()2()2() 1 (2110|)2() 1 (11 |),2() 1 (11|00|),(,212/022xzeNsxE體系的基態(tài)能量及波函數為體系的基態(tài)能量及波函數為第一激發(fā)態(tài)能量及波函數為第一激發(fā)態(tài)能量及波函數為11 |10|11|)(),(,2312/

29、122xHeNsxExz347.11 氯化鈉晶體中有些負離子空穴，每個空穴束縛氯化鈉晶體中有些負離子空穴，每個空穴束縛 一個電子，可將這些電子看成是束縛在一個尺一個電子，可將這些電子看成是束縛在一個尺 度為晶格常數的三維無限深勢阱中，晶體處于度為晶格常數的三維無限深勢阱中，晶體處于 室溫。試粗略估計被這些電子強烈吸收的電磁室溫。試粗略估計被這些電子強烈吸收的電磁 波的最長波長。已知波的最長波長。已知fmMeVc197晶格常數晶格常數fmAa5101電子質量電子質量MeVc511. 02分析：（分析：（1 1）束縛電子可以）束縛電子可以認認為是可分為是可分辨辨的。的。 （2 2）最長波長對應最）

30、最長波長對應最小頻小頻率（吸收能量）率（吸收能量）35解：解：電子是可分電子是可分辨辨的，不考慮全同性原理。通過的，不考慮全同性原理。通過 能級表能級表達達式求最式求最小小吸收的能量吸收的能量這是個三維立方勢阱問題，其能級表這是個三維立方勢阱問題，其能級表達達式為式為, 2 , 1,)(2321232221222nnnnnnaE最最小小吸收能量是基態(tài)吸收能量是基態(tài)到到第一激發(fā)態(tài)的能量只差第一激發(fā)態(tài)的能量只差2222222122222203) 112(223) 111 (2aaEaaE能量只差為能量只差為22222222222)(3233accaaE根據根據EchhEcc/求電磁波的最長波長。求

31、電磁波的最長波長。36補充題：補充題：1. 1. 設有兩個電子，自旋態(tài)分別是設有兩個電子，自旋態(tài)分別是2/2/2sin2cos,01iiee證明兩電子處于自旋單態(tài)及自旋三重態(tài)的幾率分證明兩電子處于自旋單態(tài)及自旋三重態(tài)的幾率分別為別為)2cos1 (212A)2cos1 (212S(提示：將兩電子自旋態(tài)向提示：將兩電子自旋態(tài)向 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài) 展開展開),(2zSS37分析分析 ：關鍵是給出目前兩個電子所處的狀態(tài)，這是任意態(tài)關鍵是給出目前兩個電子所處的狀態(tài)，這是任意態(tài)中的一個。中的一個。22/2/12sin2cos01)2() 1 ()2() 1 (iiee證明證明 ：不妨設目前兩個電

32、子所處狀態(tài)為不妨設目前兩個電子所處狀態(tài)為按照提示，則有按照提示，則有332211)2() 1 (SSSSSSAACCCC38其中其中)2() 1 (1S) 1 ()2()2() 1 (21A) 1 ()2()2() 1 (213S)2() 1 (2S由此得出由此得出)2() 1 (|AAC)2() 1 (| ) 1 ()2()2() 1 (21)2(| )2(212/2/2sin2cos) 10(21iiee2/2sin21ie39所以兩電子處于自旋單態(tài)的幾率為所以兩電子處于自旋單態(tài)的幾率為2|AAC而根據歸一性的要求，兩電子處于自旋三重態(tài)的幾而根據歸一性的要求，兩電子處于自旋三重態(tài)的幾率為率

33、為AS1)2cos1 (2122sin212)2cos1 (21240 2 2、設粒子自旋為設粒子自旋為1 1，荷電，荷電 ，處于沿，處于沿 方向的均勻磁場中，方向的均勻磁場中，體系的哈密頓算符為體系的哈密頓算符為 式中式中 的矩陣表示為的矩陣表示為 設在設在 時刻，自旋沿時刻，自旋沿 軸投影為軸投影為 （即處在初態(tài)（即處在初態(tài) 的本的本 征態(tài)）。征態(tài)）。 （1 1）求任意時刻）求任意時刻 系統(tǒng)的自旋波函數；系統(tǒng)的自旋波函數； （2 2）求）求 隨時間的變化。隨時間的變化。 S)0( txSx0t1000000010000020101010102zyxSiiiiSSSzSmceBBSmceBHBze41100210102100121)(/321tiEtiEtiEeeet則則10021010210012112121)0(cbacba01010101022/1b2/bca求出求出 再由歸一化條件得再由歸一化條件得 cba)0(zS 解：解：（1 1）設在）設在 表象，表象，粒子初態(tài)粒子初態(tài))0()0(xS由題設由題設其實這個初態(tài)是其實這個初態(tài)是可以可以直接直接寫出的。寫出的。42其中其中 滿足滿足mceBSmceBHz100000001E0sinzyStSteeeetStStitititixxco