張生-充分條件與必要條件【2018年第9屆全國高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽教學(xué)設(shè)計、課件】

1、“充要條件”教學(xué)設(shè)計張生（內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬中學(xué)010020）1 .教學(xué)內(nèi)容解析1 .教學(xué)內(nèi)容“充要條件”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的最為重要的數(shù)學(xué)概念之一.“課標(biāo)”中對于本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)要求是通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系；理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.并從集合角度對概念加以剖析，使學(xué)生更加直觀地理解概念的內(nèi)涵。2 .知識分析本節(jié)內(nèi)容屬于概念性知識，教學(xué)重點是對概念的理解。是高中人教B版數(shù)學(xué)選修2-1第一章簡單邏輯用語第三節(jié)的內(nèi)容。首先，教材中先對命題“若p則q”的真假進(jìn)行討論：“若p則q”

2、為真命題，等價于“由p推出q”。之后，給出“充分條件”，“必要條件”，“充要條件”的概念，并在具體應(yīng)用中始終強(qiáng)調(diào)命題“若p則q”為真與“pnq”與“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”這四種表達(dá)形式的一致性。這樣安排，體現(xiàn)知識層層深入，螺旋上升，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。另外，對這一概念的學(xué)習(xí)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，又可以讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中落地生根。3 .素養(yǎng)體現(xiàn)在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中，這部分知識調(diào)整到了預(yù)備知識這一主題中，內(nèi)容包括：集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式。足見這部分知識對整個高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。在“充要

3、條件”的教學(xué)中，首先，要體現(xiàn)邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生研究問題嚴(yán)謹(jǐn)性與精準(zhǔn)性的能力。其次，由具體實例抽象生成數(shù)學(xué)概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象在概念教學(xué)中的作用。再次，通過集合思想直觀呈現(xiàn)概念的幾何含義，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2 .教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1 .了解“若p則q”形式的命題，能正確描述“條件”和“結(jié)論”，會判斷其真假；2 .能夠理解“若p則q”為真與“p=q”與“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”這四種表達(dá)形式的一致性；3 .會用集合思想直觀理解“充分條件”與“必要條件”，理解“以小見大，大而必要”的含義；4 .能夠充分理解“充分條件”，“必要條件”與“充要條件”之間的區(qū)別；5 .將“直觀想象

4、”、“數(shù)學(xué)抽象”和“邏輯推理”核心素養(yǎng)落實到課堂教學(xué)中。3 .學(xué)生學(xué)情分析筆者所帶班級學(xué)生是文科學(xué)生，大部分同學(xué)具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時教學(xué)設(shè)備也比較先進(jìn)，所以，整個教學(xué)過程是在多媒體輔助，結(jié)合傳統(tǒng)的板書教學(xué)之下完成的。但也會存在1教學(xué)中的有利因素和不利因素。1 .有利因素學(xué)生初中已經(jīng)接觸過命題及其真假的判斷，所以，教學(xué)中，可以列舉嚴(yán)謹(jǐn)?shù)皇畛ＷR的命題作為引例，之后再抽象生成精準(zhǔn)概念，這樣更有助于學(xué)生理解概念，理解數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。2 .不利因素“充分條件和必要條件”是密不可分的兩個概念，也是理解“充要條件”的前提和基礎(chǔ)。學(xué)生對于“充分條件”比較容易接受和理解，但對于“必要條件”的

5、理解相對困難一些。所以，教學(xué)中，采用通俗易懂的命題先把概念鑒定清楚，然后再進(jìn)行抽象概括。這樣設(shè)計便于突破難點。3 .應(yīng)對策略鑒于此，教學(xué)中用一個較為易懂的命題“如果我生活在內(nèi)蒙古，那么我生活在中國”為例引入課題，并通過集合思想讓學(xué)生直觀理解過程，進(jìn)而用具體命題先得出“充分條件”和“必要條件”這兩個概念，并始終強(qiáng)調(diào)“一箭雙雕”，“以小見大，大而必要”的功能。即在“pnq”這一過程中，能生成兩個概念：“p是q的充分條件”和“q是p的充分條件”，即所謂的“一箭雙雕”，從集合觀點來看，不難理解的是“小范圍能夠推出大范圍”，“想在小范圍就必須具備在大范圍”，即所謂的“以小見大，大而必要"。這樣

6、反復(fù)強(qiáng)化，有助于學(xué)生更加深入地理解概念。4 .教學(xué)難點本節(jié)的教學(xué)難點是充要條件的判斷，首先要意識到這是一個“雙向判斷”的過程，再結(jié)合集合的韋恩圖表示，直觀、形象的理解“充要條件”中條件與結(jié)論的等價性，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)概念與充要條件的關(guān)系。4 .教學(xué)策略分析鑒于以上分析，為達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)，突出重點，突破難點，課堂教學(xué)主要遵循以下思路：1 .堅持“教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”的教學(xué)理念本節(jié)課從教學(xué)內(nèi)容來看，是通過對典型命題分析，抽象出新的數(shù)學(xué)概念。所以，教師更多應(yīng)站在一個引路人的角度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題的條件與結(jié)論之間的相互制約與相互依賴關(guān)系，進(jìn)而逐步形成概念。2 .實例引入，啟發(fā)誘導(dǎo)，注重對學(xué)生思維的訓(xùn)練教師

7、通過命題引入，引導(dǎo)學(xué)生多角度審視問題，分別從命題的真假，條件與結(jié)論的推出關(guān)系，集合思想的直觀解釋三個方面入手，既重視理性分析，又強(qiáng)化感性認(rèn)識。在具體命題中得出“充分條件”和“必要條件”的概念，從而提升學(xué)生對一個具體的數(shù)學(xué)命題的理解能力，為進(jìn)一步抽象歸納一般概念打下基礎(chǔ)。3 .注重創(chuàng)新，親切幽默，讓學(xué)生輕松參與課堂整個教學(xué)過程劃分為五個環(huán)節(jié)：問題引入，概念生成，應(yīng)用提升，課堂小結(jié)，布置作業(yè)。以問題為主線，將命題的真假與“充分條件”、“必要條件”、“充要條件”聯(lián)系起來，理解其實質(zhì)的統(tǒng)一性。當(dāng)然，為了增加學(xué)生的參與度，課堂不能沒有新意和幽默感，所以，設(shè)置了“中國地圖和內(nèi)蒙古地圖”的直觀感知過程，歸納

8、了“一箭雙雕”，“以小見大，大而必要”的記憶規(guī)則，最后，用“詩歌”的形式進(jìn)行課堂小結(jié)。5 .教學(xué)過程1 .問題引入在數(shù)學(xué)和日常語言中，我們經(jīng)常會遇到“若p則q”形式的命題，其中稱p為命題的條件，稱q為命題的結(jié)論。下面，為了更加準(zhǔn)確地理解命題，我給同學(xué)們舉一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)皇畛ＷR的例子：弓I例：如果我生活在內(nèi)蒙古，那么我生活在中國.問題設(shè)置：（1）這個命題的條件和結(jié)論分別是什么？（2）這個命題的真假？（3）請同學(xué)們再舉幾個命題，并說明條件與結(jié)論之間的關(guān)系?！驹O(shè)計意圖】給出學(xué)生比較熟悉的命題實例，讓學(xué)生熟悉命題的構(gòu)成，并且會通過邏輯推理得出命題的真假，由此得到命題“如果p則q”為真的等價說法“pnq

9、”。通過地圖展示，將命題的“條件”與“結(jié)論”視為集合，從集合觀點讓學(xué)生直觀體會命題中“條件”與“結(jié)論”的包含關(guān)系。之后，在具體問題中讓學(xué)生初步感受“充分條件”和“必要條件”。問題（3）的設(shè)計意圖是想從中獲得學(xué)生對知識的理解程度，以達(dá)到指導(dǎo)下面的教學(xué)流程。2 .概念生成抽象出“充分條件”“必要條件”的概念，流程如下：“如果p則q”是真命題p=q”、p是q的充分條件，q是p的必要條件在這一教學(xué)過程中，由于之前已有實例作為鋪墊，所以采用提問學(xué)生的方式進(jìn)行。【板書概念】“如果p則q”為真命題，等價于“p口q”，并稱p為q的充分條件，q為p的必要條件?！景鍟⑨尅扛拍羁衫斫鉃椤耙患p雕，以小見大，大而必

10、要?！鳖}組一：判斷下面說法的真假，并用三種不同的等價說法描述這一邏輯關(guān)系。(1)如果四邊形是菱形，那么四邊形是平行四邊形；(2)等邊三角形二等腰三角形；(3)梯形是平行四邊形的充分條件；(4) ab=0是a=0的必要條件.【設(shè)計意圖】題組一的四個小題分別從四個角度給出，這樣設(shè)計可以更好地了解到學(xué)生對概念的理解程度，以便發(fā)現(xiàn)問題，及時解決問題。題組二：判斷下列命題的真假.(1) p:a>b,q:a+c>b+c.(2) q:a+c>b+c,p:a>b.【設(shè)計意圖】兩個命題其實是互逆命題，由之前知識做鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生說出p既是q的充分條件，又是q的.必要條件，從而簡稱為“充要條

11、件”，同理可得“q是p充要條件”?！景鍟拍睢咳绻皃=q"，且“q=p”，則稱p與q互為充要條件.【板書注釋】概念可理解為“雙向判斷，實為等價?！? .應(yīng)用提升例下列命題中，哪些p是q的充要條件.(1) p:AB,q:A?=A(2) p:x>0,y>0,q:xy0(3) p:四邊形的兩組對邊分別平行，q:四邊形為平行四邊形(4) p'inau,q:«=90=【設(shè)計意圖】通過對4個命題的雙向判斷，反饋學(xué)生對充要條件的理解，并理解充要條件與數(shù)學(xué)定義的關(guān)系。另外，為了加深學(xué)生對概念的理解，可以從集合角度予以解釋4個命題。4 .課堂小結(jié)本節(jié)課是一節(jié)概念課，教學(xué)

12、重點是要將概念的來龍去脈講清楚，而不是拋出定義，然后大量習(xí)題訓(xùn)練。所以，筆者先采用通過具體命題引出概念，再讓學(xué)生舉例熟悉概念，然后抽象歸納出精準(zhǔn)概念的教學(xué)流程。然后再從集合角度直觀給出三種關(guān)系的圖形解釋。所以，課堂小結(jié)時，為了精準(zhǔn)歸納有富有“詩意”，給出以下四句話：對命題研究真假看箭頭一箭雙雕用集合以小見大論充要實為等價5 .布置作業(yè)作業(yè)：1.課本22頁B練習(xí)1題、2題；充要條件教學(xué)點評內(nèi)蒙古呼和浩特市教研室楊鮮枝（正高級、特級教師）本節(jié)課屬于概念課，所以教學(xué)重點應(yīng)該放在對概念的理解之上，教學(xué)難點是對具體問題的準(zhǔn)確判定。張生老師的這節(jié)課的實例引入生動有趣，課堂節(jié)奏把控得當(dāng)，教學(xué)設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，教

13、學(xué)過程妙語連珠、生動幽默。這樣的設(shè)計能夠抓緊學(xué)生的思維點，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、符合概念課的教學(xué)內(nèi)容特點以及新課程改革的教育教學(xué)理念，注重概念的生成和理解，教學(xué)過程中能夠調(diào)動學(xué)生積極參與互動，內(nèi)容理解深刻、透徹，教學(xué)思路清晰、自然，教學(xué)重點突出，本節(jié)課有以下5個亮點.1、課題引入生動有趣課堂開始就對課題研究內(nèi)容進(jìn)行概括，可謂開門見上，主題鮮明，符合數(shù)學(xué)課的味道。以“如果我生活在內(nèi)蒙古，那么我生活在中國”為例引入，并從生活常識的角度、集合直觀的角度逐步分析，通過具體問題生成概念，設(shè)計新穎。2、概念形成自然流暢本節(jié)課雖然在第12分鐘才正式得出“充分條件”和“必要條件”的概念，但事實上通過具體實例分析，學(xué)生早已理解概念。所以，概念形成不會顯得突兀，反倒通過課堂學(xué)生表現(xiàn)來看，這樣的設(shè)計更為合理有效。另外，張生老師對概念的歸納解釋也是一個亮點：“一箭雙雕”、“以小見大，大而必要"，這樣的歸納很是吸引學(xué)生眼球。有助于學(xué)生更加深刻地理解概念。3、數(shù)學(xué)活動充實有序在整個教學(xué)過程中，學(xué)生主動舉手，教師提問交流，氛圍自然，其樂融融。看似一節(jié)公開課，更像一節(jié)常態(tài)課。通過題組訓(xùn)練，強(qiáng)化概念間的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性有更為深刻的理解.同時為下一節(jié)充要條件做好鋪墊，體現(xiàn)了教師教學(xué)的“大局觀”.4、設(shè)計創(chuàng)新，情切幽默本節(jié)課中有多處設(shè)計可謂新意滿滿