2020年北京高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案

1、2020年北京高考數(shù)學(xué)模擬試題一、選擇題(1)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則zZ()(A)73(B)娓(C)3(2)已知集合A=x|T<x<2,B=x|x>1,貝UAuB=()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-1,+8)(3)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增的是()1(A)vY5(B)y=2x(C)y10g父yx2(4) y=yx2x11og2(4x2)的定義域是()A.(-2,0)U(1,2)B.(-2,0U(1,2)C.(-2,0)U1,2)D.-2,0U1,2(D)5(D)(1,+8)/、1(D)yx在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x-by

2、+2b+1=0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2+(y1)2=4B.x2+(y1)2=2C.x2+(y1)2=8D.x2+(y1)2=16兀(6)若函數(shù)f(x)=sincox(w>0)在區(qū)間0,§上單調(diào)遞增，在區(qū)間兀兀，32上單倜遞減，則3=()A.3B.2C.D.(7)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是()A.3D.8C.6(8)已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為()A.x|0<x<1或x>2B.x|x<

3、0或x>2C.x|x<0或x>3D.x|xv1或x>122(9)“k<9”是“方程會(huì)不十4=1表示雙曲線”的()25kk9A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件(10)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計(jì)里程“指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A6升B.8升C.10升D.12升二、填空題(11)設(shè)雙曲線，一，=1(a>0,b>0

4、)的虛軸長為2,焦距為273,則雙曲線的漸近線方程為(12)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+b與a2b共線，則m的值為(13)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C:y24cx的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4J2,則POF的面積為.(14)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若bc2a,3sinA5sinB,則角0=1、ccX,x>0,_(15)已知函數(shù)f(x)=2若f(2a2)>f(|a|),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2x-x2,x<0,三、解答題(16)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的

5、位置，且PFXBF.(I)證明：平面PEF，平面ABFD;(n)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.(17)已知等差數(shù)列an滿足aa210,a4a32.(i)求an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2a3，b3a7,問：生與數(shù)列小的第幾項(xiàng)相等?了四種商品的情況，整(18)某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中表示購買，“x”表示未購買.商顧壽品客、人數(shù)、甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX300VXVX85VXXX98XVXX(I)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；(n)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3中商品的概率；(出)如果顧客購買了甲

6、，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大?(19)設(shè)橢圓孑十笆=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為當(dāng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0),且|FB|AB|=6乖.(I)求橢圓的方程.(II)設(shè)直線l：y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q,"AQI52右前=-1sin/AOQ（O為原點(diǎn)），求k的值.IPQI4(20)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若2=1,證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1；(n)若f(x)在(0,+oo)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.)設(shè)nCN*,對1,2,，n的一個(gè)排列1血in,如果當(dāng)s

7、vt時(shí)，有is>it,則稱(is,it)是排列i1i2in的一個(gè)逆序，排列i1i2in的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù).例如：對1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2,，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù).(1)求£3(2),f4(2)的值；(n)求fn(2)(n>5)的表達(dá)式(用n表示).答案、選擇題題號12345答案DCACB題號678910答案CCAAB、填空題11、y=72x12、213、2V314、215、(-1,1)三、解答題16、解：(1)證明：由已知可得BF±PF,BFX

8、EF,又PFAEF=F,所以BF，平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面PEF，平面ABFD.(2)如圖，作PHXEF,垂足為H.由(1)得，PH，平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF,HP的方向分別為y軸，z軸正方向，|BF|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由(1)可得，DELPE.又DP=2,DE=1,所以pe=V3.又PF=1,EF=2,所以PEXPF.33所以PH=彳,EH=2.一33一則H(0,0,0),P0,0,D-1,20,涼=1,3能=0,0,乎.又而為平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為0,、3二L皿|HPDPI4J3則sin0=1、=.&g

9、t;>3i34IHP|DP|3所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為4.17、(i)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍4a32,所以d2.又因?yàn)楝F(xiàn)a210,所以2ald10,故214.所以an42(n1)2n2(n1,2,).(n)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閎2a38,bsa716,所以q2,b,4.所以b64261128.由1282n2,得n63.18、(I)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這所以b6與數(shù)列an的第63項(xiàng)相等.1000位顧客中，有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為2000.2.1000(n)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客

10、同時(shí)購買了甲、丙、丁,2種商品.所以顧客在甲、另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為曲2000.3.1000(ID)與(I)同理，可得:顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為2000.2,1000100200300八八0.6,顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為1000100八.0.1,1000所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大第6頁共8頁解：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,C25由已知有-2-=又由a2=b2+c2,可得2a=3b.a29由已知可得|FB|=a,|AB|='b,又|

11、FB|AB|=6/2,可得ab=6.聯(lián)立解得a=3,b=2.，x2v2所以橢圓的方程為x-+y=i.94(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xi,yi),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2).由已知有yi>y2>0,故|PQ|sinVAOQ=yiy2.又因?yàn)閨AQ|=/n,而/0AB,所以|AQ|=2y2.,|AQ|52，一一由號sin/AOQ,可得5yi=9y2.|PQ|4y=kx,6k由方程組x2y2消去x,可得yi=.§+4=i：9k2+4易知直線AB的方程為x+y2=0,y=kx,2k由方程組消去x,可得丫2=上.x+y2=0k+i由5yi=9y2,可得5(k+i)=3y9k2+4,兩邊

12、平方，整理得56k2-50k+ii=0,解得k=3或k=.228一一i,ii所以k的值為i或器22820、解：(i)證明：當(dāng)a=i時(shí)，f(x)>i等價(jià)于(x2+i)exiw0.設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+i)ex-1,則g'(x)=(x22x+i)ex=(xi)2ex.當(dāng)xwi時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.而g(0)=0,故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<0,即f(x)>i.(2)設(shè)函數(shù)h(x)=i-ax2ex.f(x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)aW0時(shí)，h(x)>0,h(x

13、)沒有零點(diǎn)；(ii)當(dāng)a>0時(shí),h'(x)=ax(x2)ex.當(dāng)xC(0,2)時(shí)，h'(x)<0;當(dāng)xC(2,+8)時(shí)，h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.故h(2)=1笠是h(x)在(0,+8)上的最小值.當(dāng)當(dāng)2h(2)>0,即ave時(shí),4e<,h(2)=0,即a=4時(shí),h(x)在(0,+8)上沒有零點(diǎn).h(x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)2h(2)<0,即a>e時(shí),4因?yàn)閔(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一個(gè)零點(diǎn).由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2,所以h(4

14、a)=1-16ae4aI316a316a31拓-=1-F>1-丁=1-a>。，故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn).因此h(x)在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn).e2綜上，當(dāng)f(x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=z.21、解：記abc)為排列abc的逆序數(shù)，對1,2,3的所有排列，有123)=0,132)=1,<213)=1,<231)=2,<312)=2,321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.對1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)對一般的n(n>4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12n,所以fn(0)=1.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得