直接證明與間接證明導(dǎo)學(xué)案

1、課題直接證明與間接證明課標(biāo)考綱要求考占P八、了解直接證明的兩種基了解直接證明的兩種基本直接法證四本方法-分析法和綜合法，方法-分析法和綜合法，了解分明數(shù)學(xué)問(wèn)題要了解分析法和綜合法的思考析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；反證法證素研過(guò)程、特點(diǎn)；了解間接證明的一種方法明數(shù)學(xué)問(wèn)題究了解間接證明的一種方-反證法，了解反證法的思考過(guò)法-反證法，了解反證法的程、特點(diǎn).思考過(guò)程、特點(diǎn)山東卷全國(guó)卷高已知a,b,c R , ab c 1，求證：（2003全國(guó)）111c9如果:考a b c .3sinsin (2 + ),回已知 a , b , m 都是正數(shù)，并且 a b.求求證：放a m a 證：ta n()2ta

2、 nb m b§2.2直接證明和間接證明預(yù)習(xí)案考綱解讀：了解直接證明的兩種基本方法-分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn);了解間接證明的一種方法-反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1能用直接法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題2 會(huì)用反證法證明一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)重點(diǎn)：直接法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)難點(diǎn)：反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題預(yù)習(xí)要求：請(qǐng)同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本63-67頁(yè)內(nèi)容，有困難或疑問(wèn)請(qǐng)用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完成下面的問(wèn)題教材助讀：1 直接證明-綜合法、分析法(1) 綜合法用綜合法解題的邏輯關(guān)系是：P Q(Q,Q2)Q2Q3QnQ綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，禾U用已知的數(shù)學(xué)定

3、理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法(2) 分析法用分析法解題的邏輯關(guān)系是：Q P (RP2).(RiR)R P分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題 B為真，從而有這只需要證明命題 b2為真，從而又有這只需要證明命題 A為真而已知A為真，故命題 B必為真2 .直接證明-反證法小故事：中國(guó)古代有一個(gè)叫路邊苦李的故事。王戎7歲時(shí)，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去摘果子，只有王戎站在原地不動(dòng)。有人問(wèn)王 戎為什么？王戎回答說(shuō)：“樹在道邊而多子，此必苦李?！毙』锇檎∫粋€(gè)嘗了一下， 果然是 苦李。一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確

4、的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立。證明步驟： 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。 歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理證明，得出矛盾。 結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。思維方法：正難則反關(guān)鍵在與：從假設(shè)出發(fā)，在正確的推理下得出矛盾（與已知矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、定理、公理矛盾，與事實(shí)矛盾等）。預(yù)習(xí)自測(cè)：1 .設(shè)在四面體 P ABC中，ABC 90,PA PB PC, D是AC的中點(diǎn).求證：PD垂直于 ABC所在的平面.2 .在四面體S ABC中,SA 面ABC,AB BC ,過(guò)A作SB的垂線，垂足為E,過(guò)E作SC的垂 線,垂足為F,

5、求證AF SC.證明：要證3 .用反證法證明：過(guò)一點(diǎn)與一平面垂直的直線只有一條。預(yù)習(xí)疑惑：探究案探究點(diǎn)1：綜合法1 1 1 n 例1已知a,b,c R , a b c 1，求證：9.a b ca ma已知a, b , m都是正數(shù)，并且 a b.求證：b mb變式練習(xí)：已知 a,b R ,求證 aabb abba.探究點(diǎn)2 :分析法例2 .求證3.72 5變式練習(xí):標(biāo)題數(shù)學(xué)歸納法 證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大 求證：a a 1 a 2 a 3(a 3)探究點(diǎn)3 :反證法例 2 不是有理數(shù).變式練習(xí)：1 2 * 1已知數(shù)列b

6、n的通項(xiàng)公式bn 1 -，證明：數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列4 3證明：1，2， 3 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).當(dāng)堂檢測(cè)：果 3sin sin(2 + )，求證：tan( ) 2tan2 12.設(shè)a為實(shí)數(shù)，f (x) x ax a.求證：f與f (2)中至少有一個(gè)不小于四 要 素 研 究課標(biāo)考綱要求考點(diǎn)P八、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理， 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn) 單的數(shù)學(xué)命題。 使學(xué)生進(jìn)一步了解歸納 法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理 與實(shí)質(zhì)。 理解數(shù)學(xué)歸納法原理并 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與 自然數(shù)n有關(guān)問(wèn)題。 數(shù)學(xué)歸納法證明與自 然數(shù)有關(guān)的命題步驟； 數(shù)學(xué)歸納法第二步如何利用歸納假設(shè)證明n k 1時(shí)

7、命題成立高 考回放山東卷全國(guó)卷(山東01模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明2 2 2 2 1 2135(2n 1)n (4 n1)3過(guò)程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式 左邊增加的項(xiàng)為()A.(2k)2B.(2k 3)2C. (2k 忙 d.(2k 2)2(全國(guó)02模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式111113(n 2)n 1 n 2 n 32n 24的過(guò)程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊()12(k 1)1 12k 12(k1)1 1 1“”，又減少了“”2k 12(k 1)k 11 1“”，又減少了“”2(k1)k 1§231數(shù)學(xué)歸納法預(yù)習(xí)案考綱解讀：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)

8、歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。學(xué)習(xí)目標(biāo) ：1 、使學(xué)生進(jìn)一步了解歸納法 , 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)。2 、理解數(shù)學(xué)歸納法原理并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與自然數(shù) n 有關(guān)問(wèn)題。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù) n 有關(guān)的命題步驟 ;學(xué)習(xí)難點(diǎn) :數(shù)學(xué)歸納法第二步如何利用歸納假設(shè)證明n k 1 時(shí)命題成立預(yù)習(xí)要求： 請(qǐng)同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本內(nèi)容，有困難或疑問(wèn)請(qǐng)用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完成下面的問(wèn)題.教材助讀：1. 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行(1) (歸納奠基)證明當(dāng) n取第一個(gè)值n = n0時(shí)命題成立；(2) (歸納遞推) 假設(shè)時(shí)_命題成立， 證明時(shí)_命題也成立 .只要完

9、成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從 no開(kāi)始的所有正整數(shù) n都成立。上述證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法。注：(1)，(2)兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，?是證明命題是否具有傳遞性，如果沒(méi)有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。2. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤(1) 對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n=k與n = k+ 1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄 錯(cuò)。(2) 沒(méi)有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不 過(guò)去了。(3) 關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n = k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n = k+ 1時(shí)結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵

10、一步， 也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié)， 對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫完整， 注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性。預(yù)習(xí)自測(cè)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 111n ( n*N且n)時(shí)，第一步即證下232n 1列哪個(gè)不等式成立()A. 12B.,12C. 11 12,1C1D.1 222 332.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 111n(nN且n1)，第二步證明從“ K到232n 1K+1 ”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是()A. 2k 1 B.2k C.2k-1 D.2k+1n 13.用數(shù)學(xué)歸納法證明 22n n 2 (n N)時(shí)，第一步證明n24用數(shù)學(xué)歸納法證明：2 + 4 + 6 + 2n = n n預(yù)習(xí)疑惑:探究案探究點(diǎn)1 :利用數(shù)

11、學(xué)歸納法證明等式例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：nn(n 1) n(n 1)(n2)3變式練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證明：224262(2n)22n(n1)(2n1)探究點(diǎn)2 :由“ K到K+1”左端增加的項(xiàng)數(shù)2例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明13252(2n 1)2n (4 n1)過(guò)程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為A. (2k)2B. (2k3)2 C.(2k1)2D. (2k2)2變式練習(xí):1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n 11132n 24(n 2)的過(guò)程中，由 n=k數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例四課標(biāo)考綱要求考點(diǎn)P八、遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊()1)”，又減少了“ ”k 11一 ”，又減少了“ 丄

12、 ”“ 一12.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n 1)(n 2) (n n)1 ”，左邊需增乘的代數(shù)式是()2k 12n(2n 1) (n N)時(shí)，A. 2k 1B. kC.2(2k 1)2kD.匸12k 12(k1)k 12(k當(dāng)堂檢測(cè):“1 2222* 12n1(n)”的過(guò)程中,第二步nk時(shí)成立，則當(dāng)時(shí)應(yīng)證明A.2 222k1B.12222k2k12k2k1C.22D.12222k2k2kn個(gè)平面，它們中任何兩個(gè)不平行,任何三個(gè)不共線,設(shè)k個(gè)這樣的平面把空間分成f(k)個(gè)區(qū)域，則k 1個(gè)平面把空間分成的區(qū)域數(shù)f(k1)f(k)()A. k 1 B. k C. k 1D.2k3.用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時(shí)

13、,左式為1,n k 至 y n2n 1 2n應(yīng)將左邊加上()14若 f(k) 112k 12k則f(k1)= f(k) +了解數(shù)學(xué)歸納 法的原理，能用數(shù) 學(xué)歸納法證明一些 簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 理解數(shù)學(xué)歸納法原理； 掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明 步驟；會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法表達(dá)證 明過(guò)程 數(shù)學(xué)歸納法證明與自然 數(shù)有關(guān)的命題步驟； 數(shù)學(xué)歸納法第二步如何利用歸納假設(shè)證明n k 1時(shí)命題成立高 考回放山東卷全國(guó)卷（山東02模擬）已知數(shù)列an , Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng) 禾廿,且 Sn -1 ,且2anan 0 （n N ）.寫出數(shù)列an的前三項(xiàng)；猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明（全國(guó)00模擬）3.根據(jù)下列不等式

14、：1 1 11 1131111一,1_-1,1_ “ 一一,1 "-2,"，2 2 32 37 22 315能否猜想一個(gè)一般的不等式并證明你的結(jié)論§2數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例預(yù)習(xí)案考綱解讀：理解數(shù)學(xué)歸納法原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與自然數(shù)n有關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)學(xué)歸納法原理；2掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟；3. 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法表達(dá)證明過(guò)程學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明學(xué)習(xí)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法第二步中，如何利用假設(shè)證明n k 1時(shí)命題成立.預(yù)習(xí)要求：請(qǐng)同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本 71-72頁(yè)內(nèi)容，有困難或疑問(wèn)請(qǐng)用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完 成下面的問(wèn)題.教材助讀：一般地，證明一個(gè)與正整

15、數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：證明當(dāng)n取時(shí)，命題成立； 假設(shè) 命題成立，證明當(dāng)寸命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從no開(kāi)始的所有正整數(shù) n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法注：、兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性，如果沒(méi)有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題預(yù)習(xí)自測(cè)：1. 若命題P(n)對(duì)n k成立則它對(duì)n k 2時(shí)也成立,并且已知命題 P(2)成立，則下列結(jié) 論正確的是()A. P(n)對(duì)每一個(gè)自然數(shù) n都成立B. P(n)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù) n都成立C. P(n)對(duì)每一個(gè)正奇數(shù) n都成立D. P(n)對(duì)所有大于1的

16、自然數(shù)n都成立2. 對(duì)于不等式. n2 n n 1 (n N*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程如下：當(dāng)n 1時(shí),12 111,顯然命題是正確的；假設(shè)n k(k N*)時(shí)，有k2 k k 1,那么當(dāng)n k 1 時(shí)，.(k 1)2 (k 1)、,k2 3k 2.(k2 3k 2) (k 2) (k 1) 1, :n k 1 時(shí)命題是正確的，由、n k到n k 1的推理不正確可知對(duì)于n N*,命題都是正確的.以上證法()n1時(shí)，證明過(guò)程不正確C.歸納假設(shè)的過(guò)程不正確23.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 a a1 n 2an1 - (n N,a 1)中證明n 1時(shí)，左邊式子1 a應(yīng)為預(yù)習(xí)疑惑：.探究案探究點(diǎn)1 :證

17、明等式問(wèn)題2 2 2 1例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：12n n(n 1)(2 n 1).6變式練習(xí)：已知數(shù)列an,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn旦1 1,且an 0 (n N).寫出2 an數(shù)列an的前三項(xiàng)；猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明探究點(diǎn)2 :證明不等式問(wèn)題例2求證:當(dāng) n N ,n 2時(shí),1 厶132丄2 1.n2n2變式練習(xí)：證明不等式：門- 1 1 n 1 .2 "312打(n N*)探究點(diǎn)3:證明整除問(wèn)題例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n y2n (n N*)能被x y整除.變式練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n 1 y2n In N*)能被x y整除.探究點(diǎn)4:證明幾何問(wèn)題1例4求證:n棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)f(n) n(n 3) (n 4).變式練習(xí)：平面內(nèi)有n(n 2)條直線,其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)證明直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 f(n) ；n(n 1).2課后檢測(cè):1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:cos cos32cos(2 n 1)1. 2n 1sinsin22