多元函數(shù)積分概念與性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)積分概念多元函數(shù)積分概念(ginin)與性質(zhì)與性質(zhì)第一頁(yè)，共48頁(yè)。1.曲頂柱體的體積曲頂柱體：以XOY平面上的閉區(qū)域D為底，以D 的邊界曲線(qxin)為準(zhǔn)線，母線平行于Z 軸的柱面為側(cè)面，并以z=f(x,y) 為頂?shù)目臻g立體.一. 兩個(gè)(lin )實(shí)例：如何求此曲頂柱體的體積(tj)V？微元法思想.分割： 把 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域 (同時(shí)用 表示第 i 個(gè)小區(qū)域的面積），分別以 的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于 z 軸的柱面，則原曲頂柱體分成了 n 個(gè)小的曲頂柱體。n ,21i i 第1頁(yè)/共47頁(yè)第二頁(yè)，共48頁(yè)。近似 ： 任取 ， 則以 為底的小曲頂柱體體積:i iii

2、, iiiifv ,yxzDoy, xfzi iniiifV 1,求和(qi h)：取極限：區(qū)域中任意(rny)兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的直徑，記 的直徑的直徑inid 1max iniiidfV 10,lim則：第2頁(yè)/共47頁(yè)第三頁(yè)，共48頁(yè)。 設(shè)有一物體(wt)對(duì)應(yīng)于空間曲面 ,(x,y,z) 為密度函數(shù)(連續(xù)）， 現(xiàn)要求該物體(wt)的質(zhì)量 m。2. 質(zhì)量(zhling)：分割(fng)：把任意分成n 小塊 ， 表示 第 i 小塊曲面的面積。iA niAi,1 近似：任取 ，則第 i小塊曲面的質(zhì)量 iiiiA , iiiiiAm ,取極限： iniiiidAm 10,lim inii

3、iiAm 1, 求和：第3頁(yè)/共47頁(yè)第四頁(yè)，共48頁(yè)。 kknkdkkkknkkkknkkkMfdMfdMfffdMMfMdnknknf )(lim)( )(,0,)(max), 1), 2 , 1. 1011，即即記記為為上上的的積積分分在在上上可可積積，極極限限值值為為在在幾幾何何形形體體，則則稱稱函函數(shù)數(shù)上上述述和和式式有有確確定定的的極極限限時(shí)時(shí)，如如何何選選取取，當(dāng)當(dāng)如如何何分分割割，點(diǎn)點(diǎn)如如果果不不論論將將，作作和和式式，任任取取點(diǎn)點(diǎn)的的直直徑徑記記（其其度度量量仍仍記記為為（個(gè)個(gè)小小部部分分任任意意分分割割成成將將上上的的數(shù)數(shù)量量值值函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在函函數(shù)數(shù)的的幾幾何何

4、形形體體，是是一一個(gè)個(gè)有有界界的的可可以以度度量量設(shè)設(shè)二. 數(shù)量(shling)函數(shù)積分的概念定義(dngy)1第4頁(yè)/共47頁(yè)第五頁(yè)，共48頁(yè)。 kknkkdDfdyxf ),(lim,10二重積分；三重(sn zhn)積分：kkknkkdvfdvzyxf ),(lim),(10 其中(qzhng)稱為積分域，f 稱為被積函數(shù)，f(M)d 稱為被積式或積分微元。幾種具體(jt)的類型：稱為面積微元。稱為面積微元。 d稱為體積微元。稱為體積微元。 dv第5頁(yè)/共47頁(yè)第六頁(yè)，共48頁(yè)。第一(dy)型曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(qxin)積分）：kkknkkdLsfdszyxf ),(lim),(1

5、0 kknkkdLsfdsyxf ),(lim),(10 第一(dy)型曲面積分（對(duì)面積的曲面積分）：kkknkkdAfdAzyxf ),(lim),(10 L稱為積分路徑。第6頁(yè)/共47頁(yè)第七頁(yè)，共48頁(yè)。的度量的度量 knkdd10lim時(shí)時(shí)，1 f 數(shù)量函數(shù)(hnsh)積分的幾何意義：;的的面面積積平平面面區(qū)區(qū)域域DdD 的的體體積積；空空間間立立體體 dv;的的面面積積曲曲面面 Ad.的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度曲曲線線 LdsL 當(dāng) 時(shí)， = 以D為底,以 為頂?shù)那斨w的體積； 0, yxf yxfz, Ddyxf ,第7頁(yè)/共47頁(yè)第八頁(yè)，共48頁(yè)。 數(shù)量(shling)函數(shù)積分的物理應(yīng)用之一：

6、的的密密度度函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，為為幾幾何何形形體體當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) f的的質(zhì)質(zhì)量量 dMf)(第8頁(yè)/共47頁(yè)第九頁(yè)，共48頁(yè)。三. 積分存在(cnzi)的條件和性質(zhì). 必要條件(b yo tio jin): f 在上可積，則f 在上有界。第9頁(yè)/共47頁(yè)第十頁(yè)，共48頁(yè)。 dMgbdMfadMbgMaf)()()()( 1.線性性質(zhì)(xngzh)：2.可加性 dMfdMfdMf)()()(21無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)。無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)。與與且且其中其中2121, 3.積分不等式 若 則 dMgdMf)()(),()(,MgMfM 第10頁(yè)/共47頁(yè)第十一頁(yè)，共48頁(yè)。，使使則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)是是連連通通可可度

7、度量量的的集集合合，設(shè)設(shè) PCMf)()(的的度度量量的的度度量量 LdMfl)(5.中值(zhn zh)定理)()()(的的度度量量 PfdMf特別地，有 dMfdMf)()(若 則,)(,LMflM 第11頁(yè)/共47頁(yè)第十二頁(yè)，共48頁(yè)。的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于 z 軸的柱面為側(cè)面，D為底面，曲面 xyxbxayxD21, 由二重積分的幾何意義知：以 xoy 平面上的區(qū)域?yàn)轫斆娴那斨w的體積為 Dyxyxfz ,0),( dyxfVD ,第2節(jié) 二重積分的計(jì)算(j sun)一. 直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系中二重積分的計(jì)算：xbxaoyz)(1x )(2x D第12頁(yè)/共47

8、頁(yè)第十三頁(yè)，共48頁(yè)。 任取 ，過(guò) x 軸作平行于yoz坐標(biāo)面的平面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設(shè)其面積為 ，則 bax, xA baxxbaxxDdyyxfdxdxdyyxfdyxfV)( )( )( )( 2121),(),(, 記記 )( )( 21),()(xxbadyyxfxAdxxAV 而而先y后x的二次積分(累次積分) 而該體積(tj)也可用定積分的方法求得: )(2x xAbxaoxyz)(1x D第13頁(yè)/共47頁(yè)第十四頁(yè)，共48頁(yè)。X -型區(qū)域：任一平行(pngxng) y 軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)至多只有兩個(gè)。 上面假定 ，但實(shí)際上上公式對(duì)一般的 也成立。對(duì)各種不

9、同類型的積分區(qū)域D，二重積分化為二次積分的情況總結(jié)如下： 0, yxf yxf,第14頁(yè)/共47頁(yè)第十五頁(yè)，共48頁(yè)。 baxxDDdyyxfdxdxdyyxfdyxf)( )( 21),(, Dab x2 x1 oyx x2 x1 oyxDab）元元（直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中面面積積微微dxdyd 第15頁(yè)/共47頁(yè)第十六頁(yè)，共48頁(yè)。 dcyyDdxyxfdydxdyyxf)( )( 21),(, Ddc y1 y2 oyxDcd y1 y2 oyxY -型區(qū)域：任一平行 x 軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)至多只有(zhyu)兩個(gè)。第16頁(yè)/共47頁(yè)第十七頁(yè)，共48頁(yè)。 dxdyyxfdxdyy

10、xfdxdyyxfdxdyyxfDDDD 321,oy1D3D2Dx第17頁(yè)/共47頁(yè)第十八頁(yè)，共48頁(yè)。 81121211 0 21 0 102101 0 22 dxxxdxyxxydydxxydxdyxxD0, 0,1:22 yxyxDxydxdyD例 1 計(jì)算(j sun)解oxy11x第18頁(yè)/共47頁(yè)第十九頁(yè)，共48頁(yè)。.1, 2:22圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域及及雙雙曲曲線線由由直直線線計(jì)計(jì)算算 xyxyxDdxdyyxD解 法一 先對(duì)y后對(duì)x積分(jfn) 49121321122112222 dxxxdxxyxdyyxdxdxdyyxxxxDoyxxy 1 yx2 x)1,1()21,

11、2()2,2(1D例 2第19頁(yè)/共47頁(yè)第二十頁(yè)，共48頁(yè)。49651217338313821212152 dyyydyyy法二 先對(duì)x后對(duì)y積分(jfn)oyxxy 1 yx2 x)1,1()21,2()2,2(1D 21222121212222yyDdxyxdydxyxdydxdyyx第20頁(yè)/共47頁(yè)第二十一頁(yè)，共48頁(yè)。圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域由由xyyxDdxdyexDy ,1,0: 22edtetedttetttyt31610161213110102 解 由于 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能先對(duì)y積分2ye 例3 計(jì)算(j sun)oyx1D11 yyDydxexdydxdyex

12、0210222 10302102231dyeydxxdyeyyy第21頁(yè)/共47頁(yè)第二十二頁(yè)，共48頁(yè)。注意：在例2中，法1比法2簡(jiǎn)便，在例3中，由于被積函數(shù)中含有 ，只能先對(duì)x積分. 因此，在把二重積分化為二次積分時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序是非常重要的，而要計(jì)算二重積分，關(guān)鍵的是要化為二次積分。2ye 例4 作出積分(jfn)域，并改變積分(jfn)次序： xxdyyxfdx240),(解 原積分= yydxyxfdy2202),()1(4,2)yx2 2yx oyx第22頁(yè)/共47頁(yè)第二十三頁(yè)，共48頁(yè)。 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),()2(解 原積分= xxdy

13、yxfdx3220),(yx 3oyxyx2 (2,1) 221111),()3(xxdyyxfdx yyyydxyxfdydxyxfdy11101101),(),(22oyx21 xy 21 xy 解 原積分(jfn)=第23頁(yè)/共47頁(yè)第二十四頁(yè)，共48頁(yè)。 2sinsin0),()4(xxdyyxfdx 解 原積分(jfn) yyydxyxfdydxyxfdyarcsin201arcsinarcsin10),(),(oyxxysin 2sinxy 第24頁(yè)/共47頁(yè)第二十五頁(yè)，共48頁(yè)。 DdxdyxRV228 302202203168 8 22RdxxRdyxRdxRxRR 例5 求兩

14、個(gè)底面半徑(bnjng)相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。 RxxRyyxDRzxRyx 0,0,.,22222222為為設(shè)兩個(gè)圓柱面方程分別設(shè)兩個(gè)圓柱面方程分別解oxyzDBCA第25頁(yè)/共47頁(yè)第二十六頁(yè)，共48頁(yè)。二. 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(j sun)）， 200( sincos yx則得極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算公式: DDddfdxdyyxf sin,cos, 作極坐標(biāo)變換(binhun)第26頁(yè)/共47頁(yè)第二十七頁(yè)，共48頁(yè)。oxD 第27頁(yè)/共47頁(yè)第二十八頁(yè)，共48頁(yè)。若區(qū)域(qy)D可用極坐標(biāo)的不等式 上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在，其中其中表示，表示，,2121 )( )(

15、 21)sin,cos()sin,cos(dfdddfD oxD)(2 )(1 oxD)(2 )(1 第28頁(yè)/共47頁(yè)第二十九頁(yè)，共48頁(yè)。 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf若區(qū)域(qy)D可用極坐標(biāo)的不等式 上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在其中其中表示，表示，,0 )( oxD第29頁(yè)/共47頁(yè)第三十頁(yè)，共48頁(yè)。若區(qū)域(qy)D可用極坐標(biāo)的不等式 上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在其中其中表示，表示，2 , 020 ,0 2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddfox)( D第30頁(yè)/共47頁(yè)第三十一頁(yè)，共48頁(yè)。若區(qū)域(qy)D可用極坐標(biāo)的不等式上連

16、續(xù)，則上連續(xù)，則在在其中其中表示，表示，,)(),()()(,2121baba baDdfdddf)( )( 21)sin,cos()sin,cos( oxDab)(2 )(1 第31頁(yè)/共47頁(yè)第三十二頁(yè)，共48頁(yè)。解 令 sincosyx 則在極坐標(biāo)系中， 22222212120020RRRDDyxeededddedxdye 于是,20,0: RD例6 計(jì)算222)(:22RyxDdxdyeDyx 第32頁(yè)/共47頁(yè)第三十三頁(yè)，共48頁(yè)。;0, 02:;00:22232 yxRyxDRyRxDoxy1D2D3DRR2321DDD 顯然 022 yxe由于從而 ,322222122 DyxD

17、yxDyxdxdyedxdyedxdye例 7 計(jì)算反常積分.02 dxex解 設(shè)0,0:2221 yxRyxD)1(422Re 例6)1(42Re 例6第33頁(yè)/共47頁(yè)第三十四頁(yè)，共48頁(yè)。而 2000222222 RxRyRxDyxdxedyedxedxdye從而202 dxex因此 2222201414RRxRedxee R4 R第34頁(yè)/共47頁(yè)第三十五頁(yè)，共48頁(yè)。例8 將下列(xili)二次積分化為極坐標(biāo)形式下的 二次積分： RxRdyyxfdx0022,)1( 2220000sin,cos , RRxRdfddyyxfdx解oR xy第35頁(yè)/共47頁(yè)第三十六頁(yè)，共48頁(yè)。 積

18、分區(qū)域：D:212122 yx在極坐標(biāo)下，D： cos022于是(ysh) dfddyxyfdxxxxx cos010tan2222 1022)2(xxxxdyxyfdx解ox cos y第36頁(yè)/共47頁(yè)第三十七頁(yè)，共48頁(yè)。 2220:xaxyaxaxD在極坐標(biāo)下，將D分為二部分(b fen)表示： 2cossin040cos2024aa 及及于是(ysh) 40cossin0022222)sin,cos(, aaxaxxdfddyyxfdx 24cos20)sin,cos( adfd axaxaxdyyxfdx0222,)3(解ox cos2a 2cossina y第37頁(yè)/共47頁(yè)第三

19、十八頁(yè)，共48頁(yè)。在極坐標(biāo)下，D分為(fn wi)二部分表示： sin1024cos1040及及 dfddfd 24sin10240cos102于是(ysh) 1010:yxD dyyxfdx 101022 101022)()4(dyyxfdx解 sin1 cos1 11xoy第38頁(yè)/共47頁(yè)第三十九頁(yè)，共48頁(yè)。例9 求Bernoulli雙紐線)(2)(222222yxayx 圍成的面積(min j)A.解 雙紐線在極坐標(biāo)下的方程(fngchng)為： 2cos22cos2sincos2222222224aaa 02cos02 ,4543,44 4 43 47 45 xoy第39頁(yè)/共47

20、頁(yè)第四十頁(yè)，共48頁(yè)。由 的周期性得圖形的對(duì)稱性，而且當(dāng) 從 增加到 時(shí)， 由零增加到 ，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。 2cos4 4 2 a2 402402cos202cos224 dadddddxdyAaDD242202sin2aa 4 43 47 45 xoy第40頁(yè)/共47頁(yè)第四十一頁(yè)，共48頁(yè)。（2）變換T： 把 uov平面上的區(qū)域 一對(duì)一的變?yōu)?D， vuyvux, ),(,DCyxf 定理(dngl)1 設(shè)（1）（3）(u,v),(u,v)在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且： Dvuvuyxvuvu ,0, D D 三.二重積分的換元法 dudvvuyxvuvufdxdyyxfDD),(),(, 則則二重積分的換元公式第41頁(yè)/共47頁(yè)第四十二頁(yè)，共48頁(yè)。 3132312uvyvuxxyvxyu則則令令圍圍成成由由其其中中3,2,2,D, 22 xyxyxyxyxydxdyD例10 計(jì)算解oxyD 131313132313231313231313234, uvuvuvuvuvuyx2ln651312132311 vdvduudvduuvdxdyxyDD于是(ysh)oxy1223D 第42頁(yè)/共47頁(yè)第四十三頁(yè)，共48頁(yè)。例 11 求由曲線 所圍區(qū)域 D 的面積S。)