第3章_平面問題有限元法

1、第第3章章 平面問題的有限元法平面問題的有限元法3.1 結構的離散化結構的離散化3.2 三角形常應變單元的位移模式和形函數(shù)三角形常應變單元的位移模式和形函數(shù)3.5 整體分析整體分析3.6 等效節(jié)點載荷計算等效節(jié)點載荷計算3.8 有限元分析的實例有限元分析的實例3.3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣3.4 單元位移函數(shù)的選擇原則單元位移函數(shù)的選擇原則3.7 約束條件的處理約束條件的處理v將連續(xù)體變換為離散化結構將連續(xù)體變換為離散化結構 將連續(xù)體劃分為將連續(xù)體劃分為有限有限多個、有限大小的多個、有限大小的單元單元， 并使這些單元僅在并使這些單元僅在節(jié)點節(jié)點處連結起來，構成所謂處連結起來，構成所謂“離散化

2、結構離散化結構”。(c) 深梁（離散化結構）3.1 結構的離散化結構的離散化離散化要注意離散化要注意:1.1.單元形狀的選擇單元形狀的選擇: : 平面問題的單元，按其幾何平面問題的單元，按其幾何特性可分為兩類：特性可分為兩類：以三節(jié)點三角形為基礎；以三節(jié)點三角形為基礎；以任意四邊形為基礎。以任意四邊形為基礎。 較高精度的三角形等參數(shù)單元；較高精度的三角形等參數(shù)單元； 運用非常廣泛的運用非常廣泛的四邊形等參數(shù)單元四邊形等參數(shù)單元。這兩類都可以增加節(jié)點也構成一系列單元：這兩類都可以增加節(jié)點也構成一系列單元：首選三角形單元和等參數(shù)單元。首選三角形單元和等參數(shù)單元。2.2.對稱性的利用對稱性的利用 利

3、用結構和載荷的對稱性：如結構和載荷都對于某軸對稱，利用結構和載荷的對稱性：如結構和載荷都對于某軸對稱，可以取一半來分析；若對于可以取一半來分析；若對于x x軸和軸和y y軸都對稱，可以取四分之軸都對稱，可以取四分之一來分析。一來分析。3.3.單元的劃分原則單元的劃分原則 通常集中載荷的作用點、分布載荷強度的突變點、分通常集中載荷的作用點、分布載荷強度的突變點、分布載荷與自由邊界的分界點，支承點都應取為節(jié)點布載荷與自由邊界的分界點，支承點都應取為節(jié)點單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進行調整。對于重要或應單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進行調整。對于重要或應力變化急劇的部位，單元應劃分得小些；對于次要和應

4、力變力變化急劇的部位，單元應劃分得小些；對于次要和應力變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化的單元來過渡?；膯卧獊磉^渡。單元的劃分原則單元的劃分原則 單元數(shù)量要根據(jù)計算精度和計算機的容量來決定。在保單元數(shù)量要根據(jù)計算精度和計算機的容量來決定。在保證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個單元里。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個單元里。單元的劃分原則單元的劃分原則 根據(jù)誤差分析，應力及位移的誤差都和單元的最小內角根據(jù)誤差分析，應力及位移的誤差都和單

5、元的最小內角正弦成反比，所以單元的邊長力求接近相等。即單元的三正弦成反比，所以單元的邊長力求接近相等。即單元的三（四）條邊長盡量不要懸殊太大。（四）條邊長盡量不要懸殊太大。4.4.節(jié)點的編號節(jié)點的編號應盡量使應盡量使同一單元的節(jié)點編號相差小些同一單元的節(jié)點編號相差小些，以減少整體，以減少整體剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計算機存儲。剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計算機存儲。上圖，節(jié)點順短邊編號為好。上圖，節(jié)點順短邊編號為好。3.2 三角形常應變單元的位移模式和形函數(shù)三角形常應變單元的位移模式和形函數(shù)首先以平面單元中最基本的三節(jié)點三角形單元為例，介紹首先以平面單元中最基本的三節(jié)點三角形單元為例，介紹有限元法。有

6、限元法。單元分析的步驟可表示如下：單元分析的步驟可表示如下：節(jié)點位移節(jié)點位移內部各點內部各點位移位移應變應變應力應力節(jié)點力節(jié)點力 單元分析單元分析分為四步求出相鄰各量之間的轉換關系分為四步求出相鄰各量之間的轉換關系, ,綜合起來綜合起來, ,得出由得出由節(jié)點位移求節(jié)點力的轉換關系節(jié)點位移求節(jié)點力的轉換關系: :eeekFek 單元剛度矩陣單元剛度矩陣位移模式位移模式1.1.位移模式位移模式Tiiiewvu.單元的若干個節(jié)點有基本未知量，即單元的若干個節(jié)點有基本未知量，即位移模式位移模式: 單元內任一點的位移表達式，假定為坐標的簡單元內任一點的位移表達式，假定為坐標的簡單函數(shù)。單函數(shù)。反映單元的

7、位移分布形態(tài)，是單元內的插值函數(shù)。反映單元的位移分布形態(tài)，是單元內的插值函數(shù)。在節(jié)點處等于該節(jié)點位移。在節(jié)點處等于該節(jié)點位移。位移模式可表示為：位移模式可表示為：eNfN N為為形態(tài)矩陣形態(tài)矩陣（形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣） 平面問題每個節(jié)點位移分量有兩個，所以整個單元有平面問題每個節(jié)點位移分量有兩個，所以整個單元有6 6個節(jié)點位移分量，即個節(jié)點位移分量，即6 6個自由度。個自由度。單元節(jié)點位移列陣單元節(jié)點位移列陣: :TmmjjiiTmTjTievuvuvu三角形單元有6個自由度，內部任一點的位移是由6個節(jié)點位移分量完全確定的，位移模式中應含有6個待定系數(shù)，所以位移模式位移模式可取為： ayxvy

8、xu。654321,位移函數(shù)一般用位移函數(shù)一般用多項式多項式來構造。來構造。位移模式位移模式: 單元內任一點的位移表達式，假定為坐標的簡單單元內任一點的位移表達式，假定為坐標的簡單函數(shù)。函數(shù)。反映單元的位移分布形態(tài)。反映單元的位移分布形態(tài)。在彈性體內，位移變化非常復雜。有限元法將整個彈性體在彈性體內，位移變化非常復雜。有限元法將整個彈性體分割成許多小單元，在每個單元內采用簡單的函數(shù)來近似分割成許多小單元，在每個單元內采用簡單的函數(shù)來近似表達單元的真實位移，將各單元連接起來，便可近似表達表達單元的真實位移，將各單元連接起來，便可近似表達整個彈性體的真實位移函數(shù)。整個彈性體的真實位移函數(shù)。這種化整

9、為零、化繁為簡的方法，正是有限元法的精華。這種化整為零、化繁為簡的方法，正是有限元法的精華。假設節(jié)點i，j，m的坐標分別為(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)2.2.形函數(shù)形函數(shù)聯(lián)立求解左邊3個方程，得：其中A為三角形單元的面積注意注意：為了使得出的面積值不為負值，節(jié)點：為了使得出的面積值不為負值，節(jié)點i,j,m的次序必的次序必須是逆時針。至于將那個節(jié)點作為起始點須是逆時針。至于將那個節(jié)點作為起始點i則沒有關系。則沒有關系。同理，求解右邊的三個方程，得到a4，a5，a6，解得：mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv21mjimjimmjjixxcyybyxy

10、xa11,11,式中：i，j，m輪換mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu21整理后得：)m, (A21輪換令jiycxbaNiiiiiimmjjiiiimjjiivNvNvNvNvuNuNuNuNum其中Ni，Nj，Nm是坐標的線性函數(shù)，反應了單元的位移形態(tài)，稱為形（狀）函數(shù)形（狀）函數(shù)。eekjiNINININ寫成矩陣形式式中：I 二階單位陣，N 形函數(shù)矩陣f3.3.三角形面積坐標三角形面積坐標定義：定義：在三角形內任一點在三角形內任一點P P，向三個，向三個角點（節(jié)點）連線，將原三角形分割角點（節(jié)點）連線，將原三角形分割成三個子三角形，設子三角形的面積成三個子三

11、角形，設子三角形的面積分別是：分別是：A Ai i，A Aj j，A Am m，則：，則：AALiiAALjjAALmm即即面積坐標定義為子三角形與原三角形面積之比面積坐標定義為子三角形與原三角形面積之比；記為：記為：P P（L Li i，L Lj j，L Lm m）。）。面積坐標的性質：面積坐標的性質：AAAAmji1.1.1mjiLLLL Li i，L Lj j，L Lm m中只有兩個是獨立的。中只有兩個是獨立的。2.2.三角形三個角點處三角形三個角點處) 0 , 0 , 1 ( i) 1 , 0 , 0 (m) 0 , 1 , 0 ( j3.3.三條邊上三條邊上i-j:Li-j:Lm m

12、=0 =0 j-m:Lj-m:Li i=0 =0 m-i:Lm-i:Lj j=0 =0 形心處：形心處：31mjiLLL推論：三角形內一條平行于三角形任一邊的直線推論：三角形內一條平行于三角形任一邊的直線上的各點，具有相同的與該邊對應的坐標值。上的各點，具有相同的與該邊對應的坐標值。iiiHhL 面積坐標與直角坐標的轉換：面積坐標與直角坐標的轉換：)(2111121ycxbayxyxyxAiiimmjji（i,j,m)(21ycxbaAAALiiiii(i,j,m)因此：iiNL mmNL jjNL 即三角形面積坐標就是三角形相應的形函數(shù)。即三角形面積坐標就是三角形相應的形函數(shù)。mmjjiiy

13、xyxyxA11121所以，位移模式也可以用面積坐標表示為：所以，位移模式也可以用面積坐標表示為：iimmjjiiiimjjiivLvLvLvLvuLuLuLuLum)(21ycxbaAAALiiiii(i,j,m)將面積坐標的表達式：將面積坐標的表達式：寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji121求逆得：求逆得：mjimjimjiLLLyyyxxxyx1111第第1行展開為面積坐標性質行展開為面積坐標性質1，第，第2行和第行和第3行展開即為局部的面積坐標行展開即為局部的面積坐標和整體直角坐標的關系：和整體直角坐標的關系：iimmjjiiiimjji

14、iyLyLyLyLvxLxLxLxLxm例例 題題下圖為一平面應力的直角三角形單元，直角邊長均為下圖為一平面應力的直角三角形單元，直角邊長均為a,a,厚度為厚度為t t，彈性模量為，彈性模量為E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求形函數(shù)。求形函數(shù)。1.1.單元應變單元應變emmjjiimjimjixyyxbcbcbccccbbbAxvyuyvxu00000021eB ), (0021mjibccbABiiiiimjiBBBB 應變矩陣應變矩陣為常量，單元內應變是常數(shù)3.3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣eeSDBD mjimjiSSSBBBDDBS2.2.單元應力單元應力S稱為應力轉換矩陣應力轉

15、換矩陣)(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS應用平面應力問題的彈性矩陣：應用平面應力問題的彈性矩陣： 2100010112ED陣：平面應力問題，彈性矩 應變矩陣為常量，單元內應力也是常數(shù)，相鄰單元的應變與應力將產生突變，但位移是連續(xù)的。 )1 (2210001-10-112-11-1）（）（陣：平面應變問題，彈性矩ED 能量轉換與守恒定律能量轉換與守恒定律，是自然界基本的運動規(guī)律之一。，是自然界基本的運動規(guī)律之一。實功原理：處于平衡狀態(tài)的可變形固體，在受外力作用實功原理：處于平衡狀態(tài)的可變形固體，在受外力作用而變形時外力對其相應的位移所做的功（實功），等

16、于而變形時外力對其相應的位移所做的功（實功），等于積蓄在物體中的應變能（實應變能）。積蓄在物體中的應變能（實應變能）。能量法的優(yōu)點：與坐標系的選擇無關，因而應用極為廣泛。能量法的優(yōu)點：與坐標系的選擇無關，因而應用極為廣泛。能量法與數(shù)學工具能量法與數(shù)學工具變分法的結合，導出虛位移（虛功變分法的結合，導出虛位移（虛功）原理，使得用數(shù)學分析的方法解決力學問題的理論得）原理，使得用數(shù)學分析的方法解決力學問題的理論得到發(fā)展而更趨完善。到發(fā)展而更趨完善。3.3.虛位移（功）原理虛位移（功）原理TmmjjiievuvuvuTymxmyjxjyixieFFFFFFF單元節(jié)點力列陣：單元節(jié)點力列陣：單元節(jié)點虛位

17、移列陣：單元節(jié)點虛位移列陣：節(jié)點力在虛位移所做的功：節(jié)點力在虛位移所做的功：ymmyjjxjjyiixiiFuFvFuFvFuWeTeFW簡寫為：簡寫為：4.4.單元剛度矩陣單元剛度矩陣eB單元虛應變：單元虛應變：單元內應力在虛應變上所做的功（虛應變能）：單元內應力在虛應變上所做的功（虛應變能）：tdxdyUxyxyyyAxx)(其中：其中：t t為單元厚度為單元厚度eeSDBD單元應力：單元應力：eTATeTAtdxdyDBBtdxdyUW虛功原理eeeeTekFtdxdyDBBFtdxdyDBBkTe為單元面積A單元剛度矩陣單元剛度矩陣k ke e取決于單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而取決于

18、單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改與單元的位置無關，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。變。對于三角形常應變單元：對于三角形常應變單元：tADBBkTe單元剛度矩陣為對稱矩陣。單元剛度矩陣為對稱矩陣。mmmjmijmjjjiimijiimjiTmTjTiekkkkkkkkkBBBDBBBksrsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAEtk21212121)1 (42對于平面應力問題：mjismjir,;,其中例例 題題下圖為一平面應力的直角三角形單元，直下圖為一平面應力的直角三角形單元，直角邊長均為角邊長均為a,a,厚度為

19、厚度為t t，彈性模量為，彈性模量為E,E,泊松泊松比比=0.3,=0.3,求單元剛度矩陣。求單元剛度矩陣。理論力學中質點、質點系（剛體）的虛位移原理；理論力學中質點、質點系（剛體）的虛位移原理；材料力學中桿件的虛位移原理。材料力學中桿件的虛位移原理。彈性力學中的彈性力學中的虛位移（虛功）原理虛位移（虛功）原理：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當給與該物體微小在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當給與該物體微小位移時，位移時，外力總虛功外力總虛功在數(shù)值上在數(shù)值上等于變形體的總虛應變能等于變形體的總虛應變能。虛：虛：微小的、任意的、可能的，變分的思路微小的、任意的、可能的，變分的思路實功實功是力

20、在自己產生位移上所做的功，是力在自己產生位移上所做的功，虛功虛功是力在別的是力在別的（人為的）因素產生的位移上做的功。所謂（人為的）因素產生的位移上做的功。所謂”虛虛“并不并不是虛無，而是可能、虛設的意思。是虛無，而是可能、虛設的意思?！疤撎摗钡谋磉_：的表達：l虛位移（虛功）原理：虛位移（虛功）原理：3.4 單元位移函數(shù)的選擇原則單元位移函數(shù)的選擇原則三角形常應變單元簡單，精度較差，要提高精度：三角形常應變單元簡單，精度較差，要提高精度：1.1.增加單元數(shù)目和節(jié)點數(shù)目；增加單元數(shù)目和節(jié)點數(shù)目；2.2.采用更高精度的單元。采用更高精度的單元。FEM中的一系列工作，都是以中的一系列工作，都是以位移

21、模式位移模式為基礎的。所以當單元趨于很小時，為基礎的。所以當單元趨于很小時，即即x, y0時，為了使時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了保證之解逼近于真解，即為了保證FEM收斂性收斂性,位移位移模式應滿足下列條件：模式應滿足下列條件：1. 位移模式必須能反映單元的反映單元的剛體位移剛體位移。單元位移包含兩部分：本單元的形變引起的位移；其他單元的形變引起單元位移包含兩部分：本單元的形變引起的位移；其他單元的形變引起的位移，即剛體位移。在位移函數(shù)中，的位移，即剛體位移。在位移函數(shù)中，常數(shù)項即提供剛體位移常數(shù)項即提供剛體位移。2. 位移模式必須能反映單元的反映單元的常量應變。常量應變。單元應變包含

22、兩部分：變量應變和常量應變。位移函數(shù)的單元應變包含兩部分：變量應變和常量應變。位移函數(shù)的一次項提供常一次項提供常量應變量應變。當單元當單元0時，單元中的位移和應變都趨近于基本量時，單元中的位移和應變都趨近于基本量剛體位移和常量位剛體位移和常量位移。移。3. 位移模式應盡可能反映位移的盡可能反映位移的連續(xù)性連續(xù)性l 使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，即受力后，相鄰單元在，即受力后，相鄰單元在公共邊界上，即既不互相脫離，也不互相嵌入。公共邊界上，即既不互相脫離，也不互相嵌入。使相鄰單元在公共節(jié)點處具有相同的位移。使相鄰單元在公共節(jié)點處具有相同的位移。l使單元內部的位移保持連

23、續(xù)使單元內部的位移保持連續(xù)。位移函。位移函數(shù)取坐標的單值連續(xù)函數(shù)。數(shù)取坐標的單值連續(xù)函數(shù)。滿足條件滿足條件1 1、2 2的單元，稱為的單元，稱為完備單元完備單元；滿足條件；滿足條件3 3的單元，的單元，稱為稱為協(xié)調單元協(xié)調單元。常采用常采用“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”來選取位移模式代數(shù)多項式的形式。來選取位移模式代數(shù)多項式的形式。按照帕斯卡三角形選擇位移模式的原則：按照帕斯卡三角形選擇位移模式的原則：1.1.多項式的階次及項數(shù)，由單元的節(jié)點數(shù)目和自由度數(shù)目多項式的階次及項數(shù)，由單元的節(jié)點數(shù)目和自由度數(shù)目來決定。保證多項式中的來決定。保證多項式中的待定系數(shù)待定系數(shù)同單元的同單元的自由度自由度數(shù)目

24、數(shù)目相相一致一致，以避免在確定待定系數(shù)時增加困難。，以避免在確定待定系數(shù)時增加困難。2.2.當高次多項式只選取一部分項時，應遵循當高次多項式只選取一部分項時，應遵循“對稱性對稱性”原原則，即取其最高次中的位置對稱的相應項，以保證在各坐則，即取其最高次中的位置對稱的相應項，以保證在各坐標軸方向上具有相同的精度。標軸方向上具有相同的精度。3.3.應滿足完備性和協(xié)調應滿足完備性和協(xié)調性要求。性要求。3 3節(jié)點三角形單元：節(jié)點三角形單元：yaxaavyaxaau6543216 6節(jié)點三角形單元：節(jié)點三角形單元：2121121098726524321yaxyaxayaxaavyaxyaxayaxaau4

25、 4節(jié)點四邊形單元：節(jié)點四邊形單元：xyayaxaavxyayaxaau876543213.5 整體分析整體分析 結構的整體分析是將離散后的所有單元通過節(jié)點連結構的整體分析是將離散后的所有單元通過節(jié)點連接成原結構，進行分析。接成原結構，進行分析。 分析過程是將所有單元平衡方程組集成分析過程是將所有單元平衡方程組集成整體平衡方整體平衡方程程，引進，引進邊界條件邊界條件后求解后求解整體節(jié)點位移向量整體節(jié)點位移向量。整體平衡方程：整體平衡方程：F=KF=KK K為整體剛度矩陣為整體剛度矩陣TTnTTnTTnTTnFFFF21122112設彈性體被劃分為設彈性體被劃分為N N個三角形單元和個三角形單元

26、和n n個節(jié)點，則結構就個節(jié)點，則結構就有有2n2n個自由度。個自由度。K K2n2n2n2n整體剛度矩陣的組裝：整體剛度矩陣的組裝：例：例：求下面結構的整體剛度矩陣求下面結構的整體剛度矩陣解：解：1 1）結構離散，單元和節(jié)點編碼）結構離散，單元和節(jié)點編碼用三角形單元把該結構分成用三角形單元把該結構分成4 4個單元，個單元，6 6個節(jié)點個節(jié)點節(jié)點兩種編碼：一是節(jié)點兩種編碼：一是節(jié)點總碼節(jié)點總碼；二是；二是節(jié)點局部碼節(jié)點局部碼，每個三角，每個三角形單元的三個節(jié)點按逆時針方向的順序各自編碼為形單元的三個節(jié)點按逆時針方向的順序各自編碼為i i，j,mj,m。單元單元1 1：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼1 1，

27、2 2，3 3單元單元2 2：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼2 2，5 5，3 3單元單元3 3：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼5 5，6 6，3 3單元單元4 4：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼2 2，4 4，5 52 2）分別寫出各個單元的分塊剛度矩陣：）分別寫出各個單元的分塊剛度矩陣：1111122111311211333231232111kkkkkkkkkk2223222552223225222233355352kkkkkkkkkk單元單元1 1：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼1 1，2 2，3 3單元單元2 2：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼2 2，5 5，3 3單元單元3 3：節(jié)點號碼：節(jié)點號碼5 5，6 6，3 3單元單元4 4：節(jié)點號碼

28、：節(jié)點號碼2 2，4 4，5 53333366365353356355333363563kkkkkkkkkk4454452444444242542442245545kkkkkkkkkk3 3）組裝整體剛度矩陣）組裝整體剛度矩陣利用單元分塊矩陣中，各子塊的節(jié)點利用單元分塊矩陣中，各子塊的節(jié)點和單元信息，直接把單元剛度的各元和單元信息，直接把單元剛度的各元素送入總體剛度矩陣的相應行列上，素送入總體剛度矩陣的相應行列上，并同總體剛度矩陣該元素的已有值相并同總體剛度矩陣該元素的已有值相加。加?！皩μ柸胱鶎μ柸胱苯M裝一般規(guī)則：組裝一般規(guī)則：1)1)當當KKrsrs 中中r=sr=s時，該點被哪幾個單元

29、所共有時，該點被哪幾個單元所共有，則整體剛度矩陣中的子矩陣，則整體剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs 就是這幾就是這幾個單元的剛度矩陣中的子矩陣個單元的剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs e e的相加。的相加。2)2)當當KKrsrs 中中rsrs時，若時，若rsrs邊是組合體的內邊，則邊是組合體的內邊，則整體剛度矩陣中的子矩陣整體剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs 就是共用該邊的兩就是共用該邊的兩相鄰單元剛度矩陣中的子矩陣相鄰單元剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs e e的相加。的相加。3)3)當當KKrsrs 中中r r和和s s不同屬于任何單元時，整體剛度矩陣中不同屬于任何單元時，整體剛度矩陣中的子矩陣

30、的子矩陣KKrsrs=0 =0 。366365363356455355255454353253452252445444442336335235333233133232132131425225424223123422222122121113112111000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK整體剛度矩陣的性質：整體剛度矩陣的性質：1 1）整體剛度矩陣是對稱矩陣。）整體剛度矩陣是對稱矩陣。2 2）整體剛度矩陣每一個元素的物理意義：）整體剛度矩陣每一個元素的物理意義：3 3）整體剛度矩陣的主對角線上的元素總是正的。）整體剛度矩陣的主對角線上的

31、元素總是正的。4 4）整體剛度矩陣是一個奇異陣。只有排除剛體位移后）整體剛度矩陣是一個奇異陣。只有排除剛體位移后，K K才是正定的，其逆矩陣才存在。才是正定的，其逆矩陣才存在。在在 F=KF=K中，令節(jié)點中，令節(jié)點1 1在在x x方向的位移方向的位移u u1 1=1=1，而其余，而其余節(jié)點位移均為節(jié)點位移均為0 0，則：，則：1 )2(1 ) 12(413121112211nnynxnyxyxKKKKKKFFFFFF5 5）整體剛度矩陣是一個稀疏陣。）整體剛度矩陣是一個稀疏陣。離散后結構的任一節(jié)點，只和與它相連的元素發(fā)生聯(lián)離散后結構的任一節(jié)點，只和與它相連的元素發(fā)生聯(lián)系，所以系，所以K K存在

32、大量的零元素，而非零元素往往分布在存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主對角線的附近。主對角線的附近。帶形矩陣帶形矩陣半帶寬：半帶寬：在半個斜帶形區(qū)域內，每在半個斜帶形區(qū)域內，每行具有的元素個數(shù)，用行具有的元素個數(shù)，用d d表示。表示。半帶寬半帶寬d=d=（相鄰節(jié)點碼的最大差值（相鄰節(jié)點碼的最大差值+1+1）2 2半帶存儲：半帶存儲：利用帶形矩陣的特點和矩陣的對稱性，計算利用帶形矩陣的特點和矩陣的對稱性，計算機中可以只存儲上半帶的元素。機中可以只存儲上半帶的元素。在同一網(wǎng)格中，如果采用不同的編碼方式，則相應的半在同一網(wǎng)格中，如果采用不同的編碼方式，則相應的半帶寬也可能不同。帶寬也可能不同。應

33、采取合理的節(jié)點編碼方式（使相鄰節(jié)點碼盡可能?。扇『侠淼墓?jié)點編碼方式（使相鄰節(jié)點碼盡可能小），以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)約計算機存儲容量。，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)約計算機存儲容量。不同的編碼方式，相鄰不同的編碼方式，相鄰節(jié)點的最大差值分別為節(jié)點的最大差值分別為4 4，6 6，8 8，半帶寬分別為，半帶寬分別為1010，1414，1818。3.6 等效節(jié)點載荷計算等效節(jié)點載荷計算根據(jù)有限元法的思想，所有有關的量都要轉換為節(jié)點的量。根據(jù)有限元法的思想，所有有關的量都要轉換為節(jié)點的量。結構所受的載荷也必須轉換為等效的節(jié)點載荷。結構所受的載荷也必須轉換為等效的節(jié)點載荷。整體剛度方程中的整體剛

34、度方程中的載荷列陣載荷列陣F F，是由彈性體全部，是由彈性體全部單元等單元等效節(jié)點力集合而成效節(jié)點力集合而成，而單元的等效節(jié)點力，是由作用在，而單元的等效節(jié)點力，是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移植到節(jié)點上，單元上的集中力、表面力和體積力分別移植到節(jié)點上，再逐點加以合成求得。再逐點加以合成求得。ptdxdyfqtdlfGfFTTTeTeeeeePQRF做虛功。虛功等于單元上外力所單元等效節(jié)點力所做的eNf單元內虛位移ptdxdyNqtdlNGNFTTTTeeTeptdxdyNPqtdlNQGNRTeTeTe體積力等效節(jié)點力表面力等效節(jié)點力集中力等效節(jié)點力1.1.單元自重：單元自重：

35、下面用上述公式計算幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點力。下面用上述公式計算幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點力。三角形單元三角形單元i,j,mi,j,m的厚度為的厚度為t t，重度為，重度為，面積為，面積為A A，則，則體積力：體積力：0Vp節(jié)點力為：節(jié)點力為：dxdyNNNNNtPTmmjjieV0000000Ni由形函數(shù)的性質得：由形函數(shù)的性質得：3NAAdxdyi則：則：TTAAAAAAetAtPV101010310000000333333受自重載荷作用下的等效節(jié)受自重載荷作用下的等效節(jié)點力為單元重量的點力為單元重量的1/31/3。ptdxdyNPTe2.2.均布面力：均布面力：三角形單元三角形單元

36、i,j,mi,j,m的的ijij邊上作用有均勻的分布力，集度為：邊上作用有均勻的分布力，集度為：sysxsqqq單元節(jié)點力為：單元節(jié)點力為：dlqqNNNNNNtsysxTmjimjies000000Q由形函數(shù)性質：由形函數(shù)性質：T002Qsysxsysxeqqqqtls把作用于把作用于ijij邊上的均布面力按靜力等效平均分配到該邊邊上的均布面力按靜力等效平均分配到該邊兩端的節(jié)點上。兩端的節(jié)點上。qtdlNQTeijdlNiji213.3.線性分布面力：線性分布面力：三角形單元三角形單元i,j,mi,j,m的的ijij邊上作用有三角形分布表面力邊上作用有三角形分布表面力設設j j點表面力為點表

37、面力為0 0，i i點集度為：點集度為：sysxqqT31313232002Qsysxsysxeqqqqtls4.4.集中力：集中力：集中力集中力G G作用與作用與ijij邊上作用邊上作用Te00R2211yllxllyllxllPPPP總載荷的總載荷的2/32/3分配給分配給i i點，點，1/31/3分配給分配給j j點。點。整體剛度矩陣的奇異性，可以通過引入邊界約束條件來排除彈性體的剛整體剛度矩陣的奇異性，可以通過引入邊界約束條件來排除彈性體的剛體位移，以達到求解的目的。引用邊界條件后，待求節(jié)點未知量的數(shù)目體位移，以達到求解的目的。引用邊界條件后，待求節(jié)點未知量的數(shù)目和方程的數(shù)目可相應的減

38、少。和方程的數(shù)目可相應的減少。3.7 約束條件的處理約束條件的處理引入節(jié)點位移最常用的方法有以下兩種：引入節(jié)點位移最常用的方法有以下兩種：計算機常用的方法是，以某種方法引入已知的節(jié)點位移（包計算機常用的方法是，以某種方法引入已知的節(jié)點位移（包括零約束位移），而保持非常原有的數(shù)目不變，只是括零約束位移），而保持非常原有的數(shù)目不變，只是修正修正K K和和F F中的某些元素中的某些元素，以避免計算機存儲做大的變動。，以避免計算機存儲做大的變動。2211221144434241343332312423222114131211yxyxFFFFvuvuKKKKKKKKKKKKKKKK設已知設已知u u1

39、1=1 1，u u2 2=3 3，則，則3431412332312111221144422422000100000001KKFKKFvuvuKKKKyy若已知節(jié)點若已知節(jié)點i i在在y y方向位移方向位移v vi i，則令，則令K K中的元素中的元素K K（2i2i）（）（2i2i）為為1 1，第，第2i2i行和行和第第2i2i列的其余元素都為零。列的其余元素都為零。F F中的第中的第2i2i個元素則用位移個元素則用位移v vi i的已知值代入的已知值代入，F(xiàn) F中的其他各行元素都減去節(jié)點位移的已知值與原來中的其他各行元素都減去節(jié)點位移的已知值與原來K K中這行的相應元中這行的相應元素的乘積。

40、素的乘積。若已知節(jié)點若已知節(jié)點i i在在x x方向位移方向位移u ui i，則令，則令K K中的元素中的元素K K（2i-12i-1）（）（2i-12i-1）為為1 1，第，第2i-12i-1行和第行和第2i-12i-1列的其余元素都為零。列的其余元素都為零。F F中的第中的第2i-12i-1個元素則用位移個元素則用位移u ui i的已知的已知值代入，值代入，F(xiàn) F中的其他各行元素都減去中的其他各行元素都減去節(jié)點位移的已知值與原來節(jié)點位移的已知值與原來K K中這行的中這行的相應元素的乘積相應元素的乘積。1. 1. 化化1 1置置0 0法法2. 2. 乘大數(shù)法乘大數(shù)法21533311511122

41、1144434241341533323124232221141312151110101010yyFKFKvuvuKKKKKKKKKKKKKKKK將將K K中與已知節(jié)點位移相關的主對角線元素乘上一個計算中與已知節(jié)點位移相關的主對角線元素乘上一個計算機可接受的充分大的數(shù)，同時將機可接受的充分大的數(shù)，同時將F F中的對應元素換上中的對應元素換上已知已知節(jié)點位移節(jié)點位移與與對角線元素對角線元素及及同一個大數(shù)同一個大數(shù)的乘積。的乘積。設已知設已知u u1 1=1 1，u u2 2=3 3，則，則3.8 有限元分析的實例有限元分析的實例有限元法的解題過程有限元法的解題過程2.2.結構的離散化結構的離散化。

42、包括單元劃分、節(jié)點和單元編號、節(jié)點坐。包括單元劃分、節(jié)點和單元編號、節(jié)點坐標計算。標計算。3.3.等效節(jié)點力的計算等效節(jié)點力的計算。按單元逐個進行分析，計算體積力、表面力和集中按單元逐個進行分析，計算體積力、表面力和集中力的等效節(jié)點力，進行疊加，得到每個單元的等效節(jié)力的等效節(jié)點力，進行疊加，得到每個單元的等效節(jié)點力載荷。點力載荷。對每個節(jié)點，所有環(huán)繞該節(jié)點的單對每個節(jié)點，所有環(huán)繞該節(jié)點的單元節(jié)點力求和，得到整個結構的節(jié)元節(jié)點力求和，得到整個結構的節(jié)點力載荷列陣。點力載荷列陣。1.1.力學模型的確定力學模型的確定。根據(jù)工程實際情況確定問題的力學模型，。根據(jù)工程實際情況確定問題的力學模型，并按一定

43、比例繪制結構圖，確定尺寸、載荷和約束情況等。并按一定比例繪制結構圖，確定尺寸、載荷和約束情況等。4.4.計算各單元的剛度矩陣計算各單元的剛度矩陣。由各單元的常數(shù)。由各單元的常數(shù)b bi i、b bj j、b bm m、c ci i、c cj j、c cm m及單元面積、彈性常數(shù)，計算各單元的剛度矩陣。及單元面積、彈性常數(shù)，計算各單元的剛度矩陣。5.5.組裝整體剛度矩陣組裝整體剛度矩陣。將各個單元的剛度矩陣組集在一起，。將各個單元的剛度矩陣組集在一起，形成整體剛度矩陣。形成整體剛度矩陣。6.6.建立整體平衡方程，引入約束條件，建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點位移求解節(jié)點位移。7.7.求解單元應力求解單元應力。根據(jù)節(jié)點位移。根據(jù)節(jié)點位移e e表示的節(jié)點應