交通信燈中黃燈閃亮?xí)r間分析建模論文

1、交通信號(hào)燈中黃燈閃亮?xí)r間分析摘要：本問(wèn)題要求通過(guò)分析黃燈應(yīng)該閃爍的時(shí)間與車(chē)長(zhǎng)，車(chē)速，地面的動(dòng)摩擦系數(shù)等因素之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒鉀Q實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)分析，在合理的假設(shè)情況下第一問(wèn)通過(guò)建立微分方程模型，并且對(duì)建立的微分方程進(jìn)行求解，從而得到了黃燈應(yīng)亮的時(shí)間隨機(jī)動(dòng)車(chē)速度之間的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系。第二問(wèn)進(jìn)行應(yīng)用matlab將得到的非線(xiàn)性函數(shù)最出了圖像，通過(guò)對(duì)圖像的分析，得到了黃燈應(yīng)當(dāng)亮的時(shí)間。第三問(wèn)，第四位同樣運(yùn)用第一問(wèn)建立的模型對(duì)給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算，得到了不同的速度在不同的摩擦系數(shù)下黃燈應(yīng)當(dāng)亮的時(shí)間，并且得到了相同速度下黃燈應(yīng)當(dāng)亮的時(shí)間和摩擦系數(shù)的關(guān)系。在第五問(wèn)中通過(guò)查閱文獻(xiàn)得到了一般路面的摩

2、擦系數(shù)，假設(shè)出一般機(jī)動(dòng)車(chē)的車(chē)長(zhǎng)和十字路口的長(zhǎng)度，帶入模型得到了新的非線(xiàn)性函數(shù)，根據(jù)題意得到在道路上的行駛的平均速度，從而得到一個(gè)黃燈應(yīng)當(dāng)亮的恰當(dāng)時(shí)間。并且通過(guò)和現(xiàn)在黃燈亮的時(shí)間進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證模型可行性。關(guān)鍵詞：黃燈閃亮?xí)r間微分方程matlab1問(wèn)題重述讓我們來(lái)考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：紅綠燈在亮紅燈之前黃燈應(yīng)該亮多長(zhǎng)時(shí)間？在交通管理中，定期地亮一段時(shí)間的黃燈是為了讓那些正行駛在交叉路口上或距交叉路口太近以致無(wú)法停下的車(chē)輛通過(guò)路口。這樣，紅綠燈應(yīng)保持足夠長(zhǎng)時(shí)間的黃燈，便于使那些無(wú)法停止的車(chē)輛有機(jī)會(huì)在黃燈期間通過(guò)路口。對(duì)于一位駛近交叉路口的駕駛員來(lái)說(shuō)，萬(wàn)萬(wàn)不可處于這樣的進(jìn)退兩難的境地：要安全停車(chē)，離路

3、口太近，而要在紅燈亮之前通過(guò)路口又顯得太遠(yuǎn)。因此，當(dāng)車(chē)輛駛近交叉路口時(shí)，駕駛員看到黃燈亮后，要做出決定：是停車(chē)還是通過(guò)路口。如果決定停車(chē)，他必須有足夠的停車(chē)距離；如果決定通過(guò)路口，他必須有足夠的時(shí)間使他能夠安全通過(guò)路口，這包括做出停車(chē)決定的時(shí)間（反應(yīng)時(shí)間）。那么，為了保證交通安全，黃燈應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間呢？黃燈亮的時(shí)間或許與下列因素有關(guān)車(chē)輛的行駛速度、交通路口的寬度、車(chē)輛自身的長(zhǎng)度、汽車(chē)的重量、駕駛員的反映時(shí)間和剎車(chē)距離。剎車(chē)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可將剎車(chē)過(guò)程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系數(shù)乘上汽車(chē)的重量），將剎車(chē)效果用模型來(lái)反映。1建立一個(gè)黃燈亮的時(shí)間與上述因素（或部分因素）有關(guān)的數(shù)學(xué)模

4、型，將亮黃燈的時(shí)間長(zhǎng)度表示成上述因素（或部分因素）的函數(shù)。2如果反應(yīng)時(shí)間是1s，車(chē)輛的平均長(zhǎng)度是4.5m，路口的寬度是15m，摩擦系數(shù)為0.2，試分析車(chē)輛的行駛速度與亮黃燈時(shí)間長(zhǎng)度之間的關(guān)系。3如果車(chē)輛的行駛速度分別為20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黃燈分別應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間？4如果輪胎和制動(dòng)器比較好，可以看成摩擦系數(shù)增加，如果摩擦系數(shù)從0.2增加到0.4時(shí)，請(qǐng)給出問(wèn)題3中亮黃燈的時(shí)間長(zhǎng)度。5考慮交通狀況的不同、駕駛員習(xí)慣的不同，假設(shè)通過(guò)路口的車(chē)速在2050km/h之間，且服從均勻分布，請(qǐng)計(jì)算亮黃燈的平均時(shí)間長(zhǎng)度。2問(wèn)題分析i彳停車(chē)線(xiàn)在十字路口行駛的車(chē)輛中，我們主要考慮機(jī)動(dòng)車(chē)

5、輛。當(dāng)車(chē)輛駛進(jìn)十字路口時(shí)，如果此時(shí)黃色信號(hào)燈閃亮，駕駛員要作出決定：是停車(chē)還是駛過(guò)十字路口。如果他按法定速度（或低于法定速度）行駛，當(dāng)決定停車(chē)時(shí)，他必須有足夠的停車(chē)距離，少于此距離是不能停車(chē)，大于此距離時(shí)必須停車(chē)，等于此距離時(shí)可以停車(chē)，也可以通過(guò)路口；當(dāng)決定通過(guò)路口時(shí)，他必須有足夠的時(shí)間能完全通過(guò)路口，這包括：作出決定的時(shí)間，車(chē)通過(guò)十字路口的時(shí)間，停車(chē)距離的駕駛時(shí)間（從剎車(chē)到車(chē)完全停止的時(shí)間）。所以，黃燈閃亮的持續(xù)時(shí)間應(yīng)包括駕駛員的決定時(shí)間（反應(yīng)時(shí)間），他通過(guò)十字路口的時(shí)間和停車(chē)距離的駕駛時(shí)間。3模型的建立與求解3.1量的分析和定義T黃燈應(yīng)亮的時(shí)間t一一駕駛員的反應(yīng)時(shí)間汽車(chē)通過(guò)十字路口的時(shí)間停

6、車(chē)距離的駕駛時(shí)間法定行駛速度十字路口長(zhǎng)度l一一典型車(chē)身長(zhǎng)度車(chē)身質(zhì)量車(chē)輛與地面的摩擦系數(shù)x(t)3.2模型假設(shè)開(kāi)始剎車(chē)到車(chē)輛停止所經(jīng)過(guò)的路程通過(guò)前面的分析和對(duì)問(wèn)題所涉及的主要量的確定，給出黃燈時(shí)間求解模型假設(shè)：(1) 車(chē)輛的法定最高行駛速度、十字路口附近的行駛速度、通過(guò)十字路口的速度均為v-0(2) 每個(gè)駕駛員從看到黃燈到作出是否停車(chē)的決定所需的反應(yīng)時(shí)間一致。.(3) 所有行人和駕駛員均能遵守交通規(guī)則。(4) 交叉路口沒(méi)有交通管制和堵車(chē)狀況。(5) 汽車(chē)能正常通過(guò)交叉路口。3.3模型的建立1T=T+T+T黃燈應(yīng)亮的時(shí)間為123（1）,其中T是常數(shù)，而經(jīng)過(guò)十字路口的路程為1+L1”I+LT=2v。

7、（2）0T需要進(jìn)一步求解，由于汽車(chē)質(zhì)量為m，車(chē)輛與路面的摩擦3系數(shù)為f，則車(chē)輛與路面的摩擦力為F二g（g為重力加速度）根據(jù)牛頓第二定律，車(chē)輛在剎車(chē)過(guò)程中應(yīng)滿(mǎn)足如下微分方程-fmg=d2xmdt2dx(3)dtt=ox=0o3.4模型求解首先進(jìn)行第一次積分得dxv=dt在x=0處在進(jìn)行一次積分得x=_gt2+vt2o注意式（3）中在剎車(chē)的最后，v=0所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t可由下式3求得：0=fgt+v0有:代入式（3），得:=V02/(2fg)將式（2）和式（4）代入式（1），得黃燈亮的時(shí)間:T=（D+L+1）/V+1=v/（2fg）+（L+1）/v+1a01001，v0(5)2fg同時(shí)利用初等數(shù)學(xué)的公

8、式，對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)a和b，均有:a+b>2.JOB可求得當(dāng)v=2fg(L+1)時(shí)0T*=minT=2J（I+L）/Gfg）問(wèn)題2根據(jù)題設(shè)，如果反應(yīng)的時(shí)間是1秒，車(chē)輛的平均長(zhǎng)度是4.5米，路口的寬度是15米，摩擦系數(shù)為0.2,并將上述數(shù)據(jù)代入（5）式，則車(chē)輛的行駛速度與亮黃燈時(shí)間長(zhǎng)度之間的關(guān)系為：Tv+195T0+1（6）40根據(jù)式子可畫(huà)（0,30】區(qū)間內(nèi)T-v圖像:40IIIIII,I-一一86510152025速度（v）30問(wèn)時(shí)的燈黃20864202211111通過(guò)圖像明顯的可以看出黃燈應(yīng)該亮的時(shí)間隨速度呈現(xiàn)減小后增加的趨勢(shì)，易知時(shí)間存在一個(gè)最小值，我們可以將黃燈的時(shí)間取作最小的時(shí)間

9、，從而得到司機(jī)是否前行。（圖像的matlab程序在附錄中給出）問(wèn)題3車(chē)輛的行駛速度分別為20km/h,30km/h,40km/h,50km/h,求其對(duì)應(yīng)的黃燈應(yīng)亮?xí)r間。則將不同的v0分別代入式（6）：車(chē)輛的行駛速度km/h對(duì)應(yīng)的黃燈應(yīng)亮的時(shí)間s205.90305.42405.53505.88（計(jì)算結(jié)果使用matlab計(jì)算，過(guò)程在附錄中給出）問(wèn)題4輪胎和制動(dòng)器比較好，可以看成摩擦系數(shù)增加，摩擦系數(shù)從0.2增加到0.4時(shí)：車(chē)輛的行駛速度km/h對(duì)應(yīng)的黃燈應(yīng)亮的時(shí)間s205.204304.382404.144504.140（計(jì)算結(jié)果使用matlab,過(guò)程在附錄中給出）問(wèn)題5考慮交通狀況的不同，駕駛員

10、習(xí)慣的不同，假設(shè)通過(guò)路口的車(chē)速在2050km/h之間，且服從均勻分布，根據(jù)均勻分布的概念，在所給區(qū)間上，所給數(shù)據(jù)的平均值為爭(zhēng)（a，b分別為區(qū)間的左右端點(diǎn)）。所以在2050km/h之間，最佳估計(jì)值為35km/h，代入式（5）中可得：T=5.44s4模型的評(píng)價(jià)在模型假設(shè)的前提下，代入數(shù)據(jù)可以解決題設(shè)問(wèn)題，但是在實(shí)際生活中需要考慮的因素還有許多。第一，駕駛員的反應(yīng)時(shí)間根據(jù)人的差異肯定是有所區(qū)別的，與駕駛員的身體健康狀況，精神狀態(tài)密切相關(guān)。對(duì)于年老的，狀態(tài)欠佳的反應(yīng)時(shí)間會(huì)相應(yīng)延長(zhǎng)。所以在遇到實(shí)際不同狀況是，許應(yīng)代入不同值進(jìn)行計(jì)算。第二，不同的道路狀況，摩擦系數(shù)自然也是不同的，對(duì)于路面平坦的，自然摩擦系

11、數(shù)就小，對(duì)于汽車(chē)輪胎的新舊也會(huì)影響摩擦系數(shù)的大小，所以用剎車(chē)距離近似停車(chē)線(xiàn)的距離是不可靠的。第三，十字交叉路口的交通狀況也會(huì)影響到剎車(chē)或前進(jìn)時(shí)間。第四，不同的天氣情況下摩擦系數(shù)也不相同，因此有必要在在交通燈上安裝一個(gè)濕度感應(yīng)裝置，考慮到摩擦系數(shù)不能隨空氣濕度的增加而無(wú)限增加下去，因此摩擦系數(shù)與空氣濕度應(yīng)該為對(duì)數(shù)關(guān)系，最后因知識(shí)水平有限以及時(shí)間限制沒(méi)有得出該函數(shù)的具體參數(shù)，但該模型的提出對(duì)整個(gè)模型有重要的意義，使模型解更加真實(shí)更有說(shuō)服力。綜上，在應(yīng)用模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況帶入實(shí)際參數(shù)來(lái)計(jì)算。5結(jié)論根據(jù)題設(shè)，建立模型如下:T二vL+I，二0+T2fgv10，一般情況下，駕駛員反應(yīng)時(shí)間為1.0s，當(dāng)

12、輪胎為新時(shí)，查閱資料，帶入數(shù)據(jù)得黃燈應(yīng)亮?xí)r間為3.80s，當(dāng)輪胎磨損時(shí)，代入數(shù)據(jù)得黃燈應(yīng)亮?xí)r間為4.03s。所以，在設(shè)置交通信號(hào)燈黃燈所亮?xí)r間為3.804.03so6參考文獻(xiàn)1 王正東數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(第二版)北京科學(xué)出版社.2010年.1525.2 郭學(xué)軍高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))北京科學(xué)出版社.2012年.180195.附錄問(wèn)題2畫(huà)出不同速度對(duì)應(yīng)的黃燈應(yīng)該亮的時(shí)間vl=l:30;s=ones(l,30);生成一維單位矩陣v2=s./v1;T=v1/4+v2.*19.5+1;plot(v1,T,'r')%紅線(xiàn)畫(huà)圖holdongridonxlabel(速度(v)');ylabe

13、l(黃燈的時(shí)間(t)')問(wèn)題3functionTl=f11(v)%定于一個(gè)時(shí)間隨速度變化的函數(shù)f11L=15;%道路的寬度I=4.5;%般汽車(chē)的長(zhǎng)度f(wàn)1=0.2;%路面的動(dòng)摩擦因數(shù)g=10；%引力常量的近似值t1=1;%人的反應(yīng)時(shí)間Tl=(v/(2*f1*g)+(L+I)/v)+t1問(wèn)題4functionT2=f12(v)%定于一個(gè)時(shí)間隨速度變化的函數(shù)f12L=15;%道路的寬度1=4.5;%般汽車(chē)的長(zhǎng)度f(wàn)2=0.4;%路面的動(dòng)摩擦因數(shù)g=10;%引力常量的近似值t1=1;%人的反應(yīng)時(shí)間T2=(v/(2*f2*g)+(L+I)/v)+11將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行單位換算并計(jì)算摩擦因數(shù)為0.2和0.4時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間vl=20304050;%給定的初始速度x=one