勾股定理--最短距離問題

1、螞蟻爬行的最短路徑正方體4.如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處，它爬行的最短路線是（）B.A?Q?BC.A?R?BD.A?S?B解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A.故選A.2.如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是.第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線.2,BC的中點為M,一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離第7題解：將正方體展開，連接M、D1,根據(jù)兩點之間線段最短，MD=MC+CD=1+2=3,MD1=MD2DD12.3222135.如圖，點A的正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體的一

2、個頂點，正方體的棱長為2,螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）汨.故選C.9 .如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3M個小正方形.其邊長都為1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用工5秒鐘解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線.（1）展開前面右面由勾股定理得AB=欣2+3+（姨=的9cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB=伊產(chǎn)=5cm；所以最短路徑長為5cm,用時最少：5妥=2.5秒.長方體10 .（2009?恩施州）如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5

3、,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是。解：將長方體展開，連接A、B,根據(jù)兩點之間線段最短，AB=VM+M=25.11 .如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點Ci處（條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為.A1解：正面和上面沿AiBi展開如圖，連接ACi,ABCi是直角三角形,ACi=AB2BC1242122.4232518.（2011湃眇卜|）如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從.PA=2X(4+2)=12,QA=5.PQ=13.故答案為：13.19.如圖，一塊長方體醇寬AN=5cm,長ND

4、=10cm,CD上的點B距地面的高BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？解：如圖1,在磚的側(cè)面展開圖2上，連接AB,則AB的長即為A處到B處的最短路程.解：在RtAABD中，因為AD=AN+ND=5+10=15,BD=8,所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.49、如圖，長方體盒子(無蓋)的長、寬、高分別12cm,8cm,30cm.(1)在AB中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是多少？(2)此長方體盒子(有蓋)能放入木棒的最大長度是多少？12.如圖所示

5、：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從A點爬到B點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為米。解：由題意得，路徑一：AB=#3+2尸+2k爆；路徑二：AB=二，.K：=5；路徑三：AB=5,5米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm,底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長路程.解：（1）AB的長就為最短路線.然后根據(jù)若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為低節(jié)/百二儷（cm）;若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為a4+3）+52=（cm）,或施方再第二痂（cm）

6、所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm.（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長路程是30cm.15 .如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm,8cm,4cm.一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面,則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm,則所走的最短線段是黃西布=6芯cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形,則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是江心+/=4154cm;第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形,則這個長方形的長和寬分別是

7、14cm和4cm,所以走的最短線段是i二一-=2一.cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.51.圓柱形坡璃容器，高18cm,底面周長為蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度。60cm,在外側(cè)距下底1cm點S處有一蜘蛛，與1cm的點F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅16 .如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm.A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為cm二0解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20cm,寬為(2+3)X3cm,則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程

8、是此長方形的對角線長.可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+(2+3)X32=252,解得x=25.故答案為25.17.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是cm。解：將臺階展開，如下圖，因為AC=33+1X3=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13(cm),所以螞蟻爬行的最短線路為答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.13cm.圓柱21.有一圓柱體如圖，高4cm

9、,底面半徑5cm,A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離.第2題解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C,D分別是BE,AF的中點.AF=2tt?5=10.TtAD=57t.AC=7AD2CD-16cm故答案為：16cm.22 .有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為6m,一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為.23 .如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點A到達Ai,若圓柱底面半徑為-,高為5,則螞蟻爬行的最短距離為解：因為圓柱底面圓的周長為2兀=12,高為5,所以將側(cè)面展開為一長為12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為付近R=13

10、.故螞蟻爬行的最短距離為13.24 .如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,高AB為9cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示:由于圓柱體的底面周長為124cm,貝UAD=24=12cm.又因為CD=AB=9cm,所以AC=再取=15cm.故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm.故答案為：15.25 .（2006湃眇卜|）有一圓柱體高為10cm,底面圓的半徑為4cm,AAi,BBi為相對的兩條母線.在AA上有一個蜘蛛Q,QA=3cm;在BB上有一只蒼蠅P,PB=2cm,蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點吃蒼蠅，最短的

11、路徑是cm.（結(jié)果用帶兀和根號的式子表示）即可把PQ放到一個直角邊是4兀和5的直角三角形中,根據(jù)勾股定理得：QP=T最短路線問題通常是以平面內(nèi)連結(jié)兩點的線中，線段最短”為原則引申出來的.人們在生產(chǎn)、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.下面簡單談一下初中數(shù)學(xué)中遇到的最短路線問題。對于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。I.求三點距離相等時，一點到兩點的距離最短設(shè)計方案例1.為改善白銀市民吃水質(zhì)量，市政府決定從新建的A水廠向B、C供水站供水。已知A、

12、B、C之間的距離相等，為了節(jié)約成本降低造價，請你設(shè)計一種最優(yōu)方案，使鋪設(shè)的輸水管道最短，在圖中用實線畫出你所設(shè)計方案的線路圖。解析：可根據(jù)三點所構(gòu)成的三角形形狀及三線合一的性質(zhì)，可求最短路線及設(shè)計圖。（1） 可設(shè)計AB+AC路徑;（2） 可設(shè)計AD+BD+CD路徑;（3） 可設(shè)計AE+EB+EC路徑。通過計算比較驗證等確定最優(yōu)化的設(shè)計方案為（3）Do求一點，使它與其余兩點之和最小的方案設(shè)計例2.為了改善農(nóng)民生活水平，提高生產(chǎn)，如圖，AB是兩個農(nóng)場，直線m是一條小河，現(xiàn)準備在河岸某處修建一提灌點，準備給兩農(nóng)場澆水，如何修建，使得提灌點與兩農(nóng)場的距離之和最小，請你在圖中畫出設(shè)計方案圖。解析：兩點之

13、間線段最短，可利用軸對稱性質(zhì)，從而可將求兩條線段之和的最小值問題轉(zhuǎn)化為求一條線段長的問題。應(yīng)用：已知三角形ABC中，/A=20度，AB=AC=20cm,MN分別為ARAC上兩點，求BN+MNMC的最小值。HIo求圓上點，使這點與圓外點的距離最小的方案設(shè)計例3.已知圓形花壇以及花壇外一居民區(qū)，要在花壇與居民區(qū)之間修建一條小道在圓形花壇上選擇一點，使其與居民區(qū)之間的距離最小。解析：在此問題中可根據(jù)圓上最遠點與最近點和點的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計方案。應(yīng)用：一點到圓上的點的最大距離為9,最短距離為1,則圓的半徑為多少？關(guān)于立體圖形表面的最短路徑問題，又稱繞線問題”是幾何中很富趣味性的一類向題.它牽涉的知識面

14、廣，溝通了平面幾何、立體幾何以及平面三角的聯(lián)系，能訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力。而且，也很富有技巧性在此討論幾個問題，僅供參考。I。在圓柱中，可將其側(cè)面展開求出最短路程Do在長方體(正方體)中，求最短路程例5.在長方體盒子的A點有一昆蟲，在B點有它最喜歡吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c.則最短路程為多少.解析：將其中含有一點的面展開，與含另一點的面在同一平面內(nèi)即可，主要可以分為三種情形：(1)將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，可得其路程為:(2) 將前表面展開與上表面在同一平面內(nèi)，可得其路程為:(3) 將上表面展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，可得其路程為:然后比較Si、S2、S3的大小，即可得到最短路程.應(yīng)用：一只蜘蛛在一塊長方體木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體和蜘蛛相對的頂點。1處,蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著長方體的表面向上爬，它要從A點爬到Ci點，它應(yīng)沿著怎樣的路線爬行，才能在最短的時間內(nèi)捉住蒼蠅？nio在圓錐中，求最短路徑問題例6.在某雜技表演中，有一形似圓錐的道具，雜技演員從A點出發(fā)，在其表面繞一周又回到A點,如果繞行所走的路程最短，畫出設(shè)計方案圖。解析：將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設(shè)計方案應(yīng)用：如圖，一直圓錐的母線長為QA=8,底面圓的半徑r=2,若一只小螞蟻從A