初三數(shù)學相似三角形典型例題含答案

1、初三數(shù)學相似三角形（一）相似三角形是初中幾何的一個重點，同時也是一個難點，本節(jié)復習的目標是：1 .理解線段的比、成比例線段的概念，會根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長或兩線段的比，了解黃金分割。2 .會用平行線分線段成比例定理進行有關(guān)的計算、證明，會分線段成已知比。3 .能熟練應用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計算與證明題。4 .能熟練運用相似三角形的有關(guān)概念解決實際問題本節(jié)的重點內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。本節(jié)的難點內(nèi)容是利用判定定理證明兩個三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應用。相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一，在中考試題中時常與四邊形、圓的知識相結(jié)

2、合構(gòu)成高分值的綜合題，題型常以填空、選擇、簡答或綜合出現(xiàn)，分值一般在 10 說右，有時也單獨成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì)。（二）重要知識點介紹：1 .比例線段的有關(guān)概念：在比例式（a：bc：d）中，a、d 叫外項，b、c 叫內(nèi)項，a、c 叫前項，bdb、d 叫后項，d 叫第四比例項，如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中項。把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC,使 AC=AB-BC 叫做把線段 AB 黃金分割，C 叫做線段 AB 的黃金分割點。2 .比例性質(zhì)：基本性質(zhì)：cadbcbd合比性質(zhì)：ac受以bdbdm,*c、ac,ma(bdn*0)nbdnb3

3、.平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖:等比性質(zhì)：史 cbdl1/l2/l3o則任BCEFDEABDEBCEF 一，ACDFACDF例 2.如圖, 已知 DE/BC,EF/AB,則下列比例式錯誤的是:ADAEABACDEADBCBDCEEAB.一一CFFBD.五如ABCB分析：由DE/BC,EF/AB 可知，A、B、D 都正確。而不能得到匹BCADBD故應選 Co 利用平行線分線段成比例定理及推論求解時，一定要分清誰是截線、誰是被截推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延

4、長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4 .相似三角形的判定：兩角對應相等，兩個三角形相似兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似三邊對應成比例，兩三角形相似如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角形相似平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似5 .相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應角相等相似三角形的對應邊成比例相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的

5、比等于相似比的平方【典型例題】例 1.(1)在比例尺是 1:8000000 的中國行政區(qū)地圖上，量得 A、B 兩城市的距離是 7.5 厘米，那么 AB 兩城市的實際距離是千米。(2)小芳的身高是 1.6m,在某一時刻，她的影子長 2m,此刻測得某建筑物的影長是18 米，則此建筑物的高是米。解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡單。(1)應填 600(2)應填 14.4。例 3.如圖，在等邊ABC 中，P 為 BC 上一點，D 為 AC 上一點，且/APD=60,2,求ABC 的邊長3解：ABC 是等邊三角形./C=ZB=60又/PDCW1+/APD41+60/APB41+ZC=Z1+60/PD

6、C=APB.PD6APB.PCCDABPB設(shè) PC=x,貝 UAB=BC=1+x.AB=1+x=&.ABC 的邊長為 3。例 4.如圖：四邊形 ABEGGEFHHFCDTB 是邊長為 a 的正方形,(1)求證：AEDCEA(2)求證：/AFB+ZACB=45分析：因為AERACEA 有公共角/AEF故要證明AEDCEA只需證明兩個三角形中，夾/AER/CEA 的兩邊對應成比例即可。證明：(1)二.四邊形 ABEGGEFHHFCD正方形.AB=BE=EF=FC=a/ABE=90線，C 中正很顯然是兩平行線段的比,BC例這一性質(zhì)來寫結(jié)論，即匹竺BCAB因此應是利用三角相似后對應邊成比AEA

7、CBP1,CD .AE2a,EC2a.生叵史衛(wèi)晚EFaAE,2a.AEECEFAE又/CEA4AEF.CEMAEF(2).AEFACEA /AFE 土 EAC 四邊形 ABEG正方形 .AD/BC,AG=GEAG,GE /ACBhCAD/EAG=45 /AFB 吆 ACB4EAC4ZCAD 叱 EAG /AFB 吆 ACB=45已知：如圖，梯形 ABCN,AD/BCACBD 交于點 O,EF 經(jīng)過點 O 且和兩底平行,交 AB 于 E,交 CD 于 F11OEOF從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論:例 5.求證：OE=OF證明：.AD/EF/BCOEAEOE一一，一BCABADO

8、EOEAEBCADAB111BCADOEEBABEBABABAB同理:LBC11ADOFOE=OFAD/EF/BCAD/EF/BCAD/EF/BC111ADBCOE八八1OEOF1EF2111ADBCOE1 一EF2-2 二OFADBCEF這是梯形中的一個性質(zhì)，由此可知，在 ADBGEF 中，已知任何兩條線段的長度，都可以求出第三條線段的長度。例 6.已知：如圖，ABC 中，ADBC 于 D,DEIAB 于 E,DFAC 于 F分析：本題的圖形是證明比例中項時經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對應邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解

9、決。解：在ADCABAC 中 /CADhB,/C=ZC AD6BACAEAC求證：AFAB分析：觀察 AE、AF、AGAB 在圖中的位置不宜直接通過兩個三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點，可設(shè)法尋求中間量進行代換，通過ABDAADE,可得：膽殷，于是得到 AD2ADAE可得至 ijAD2AF-AC,故可得：AEABAF-AC,即學AF證明：在 4ABD 和 4ADE 中，/ADBhAED=90/BADhDAEAEAB,同理ACAB.ABWADE.ABADADAEAE2=AE-AB同理：ACDADF可得：AD2=AF-ACAE-AB=AF-AC.AEAC.AF

10、AB例 7.如圖,D 為ABC 中 BC 邊上的一點,/CADhB,若 AD=6AB=8,BD=7求 DC 的長。.ADDCACABACBC/AD=6AD=&BD=7.DCAC3AC7DC4DC3即ACC43解得：DC=97DC4例 8.如圖，在矩形 ABC 邛,E 是 CD 的中點，BEXAC 于 F,過 F 作 FG/AB 交 AE 于 G,求證：A(j=AF-FC證明：在矩形 ABCD,AD=BC/ADChBCE=90又 E 是 CD 的中點，DE=CE RtAADERtABCEAE=BE FG/AB.AEAGBEBFAG=BF在 RtABC 中，BFAC 于 F RtABFCR

11、tAAFB.AFFBBFFCBF2=AF-FCAG=AF-FC例 9.如圖，在梯形 ABCD43,AD/BC 若/BCD 的平分線 CHLAB 于點 H,BH=3AH 且四邊形 AHCD 勺面積為 21,求HBC 勺面積。分析： 因為問題涉及四邊形 AHCD 所以可構(gòu)造相似三角形。 把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長 BA、CD 交于點 P .OHLAB,CD 平分/BCDCB=CP 且 BH=PH BH=3AH .PAAB=1:2 .PAPB=1:31.AD/BC.PADPBC,S四邊形AHCD21一 SAPAD6SAPBC54一、填空題1.已知a2b9,則 a：b2ab52

12、.若三角形三邊之比為 3:5:7,與它相似的三角形的最長邊是 21cm,則其余兩邊之和是 cm3.如圖，ABC 中，DE 分別是 AB.AC 的中點，BC=6 則 DE=;ADEAABC 的面積之比為：。4.已知線段 a=4cm,b=9cm,則線段 a、b 的比例中項 c 為 cm。5.在ABC 中，點 DE 分別在邊 ARAC 上，DE/BC 如果 AD=&DB=6EC=9 那么 AE=6.已知三個數(shù) 1,2,J3,請你添上一個數(shù)，使它能構(gòu)成一個比例式，則這個數(shù)是PAD-PBC1:9,SAPCH1SA20APBCSAPADS四邊形AHCD2:7SAHBC2sPBC277.如圖，在梯形

13、 ABCD 中，AD/BC,EF/BC,若 AD=12cmBC=18cmAEEB=2:3,則 EF=二、選擇題8.如圖，在ABC 中，AB=24,AC=18,D 是 AC 上一點，AD=12 在 AB 上取一點 E,使 A、DE 三點為頂點組成的三角形與ABCffi 似，則 AE 的長是1.如果兩個相似三角形對應邊的比是 3:4,那么它們的對應高的比是A.9:16C.3D.3:72.在比例尺為的實際面積是1:m 的某市地圖上,米2規(guī)劃出長a 厘米,寬 b 厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)A104mA.42-10mB.ababCabm.104D.呵103.已知，如圖,DE/BC,EF/AB,則下列結(jié)論

14、:在跑ECFC正 DEABBC其中正確的比例式的個數(shù)是A.4 個 B.3BCCE3）一CFC.2EABFD.1 個BC=10 則梯形的面積為:8.如圖，在梯形 ABCD43,9.如圖，在 RtABC 中，/BAC=90,D 是 BC 的中點，AEAD,交 CB 的延長線于點則下列結(jié)論正確的是A.AAEDACB、解答題：1.如圖，AD/EG/BC,AD=6BC=9AE:AB=23,求 GF 的長。2.如圖，ABC 中，D 是 AB 上一點，且 AB=3AD/B=75,/CDB=60,求證：ABSCBD3.如圖，BE 為ABC 的外接圓 O 的直徑，CD 為ABC 的高,AA.16B.14E,C.

15、ABAEACED.AESDACD.16 或 9B.AAEEACD求證：AC-BC=BE-CD4.如圖，RtABC 中，/ACB=90,AD 平分/CAB 交 BC 于點 D,過點 C 作 CHAD 于E,CE 的延長線交 AB 于點 F,過點 E 作 EGBC 交 AB 于點 G,AE-AD=1GAB4(2)求 EG 的長參考答案一、填空題：1.19:132.243.3;1:44.65.126 .只要是使得其中兩個數(shù)的比值等于另外兩個數(shù)的比值即可，如：2亞、乏等。27 .14.48.166二、選擇題：1.C2.D3.C4.D5.C三、解答題：1 .解：AD/EG/BCEGAE 在ABC 中，有BCABEFBE在ABD 中，有ADAB .AE:AB=2:3 .BE:AB=1:3-2-1EG-BC,EF-AD33BC=9,AD=6EG=6EF=2，GF=EGEF=4(1)求證:CE=EF2.解：過點 B 作 BEXCDT 點 E,/CDB=60,/CBD=75/DBE=30,/CBE4CBD-/DBE=7530=45CBE 是等腰直角三角形。.AB=3AD 設(shè) AD=k,貝 UAB=3k,BD=2k.DE=k,BE、3k.BC.6k,BD2kV2BC-、6k、,3BC6k2AB,3BDBCBCAB.ABSACBD3.連結(jié) EC,.