七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班講義(教師版)

1、初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義第一講和絕對值有關(guān)的問題知識結(jié)構(gòu)框圖:絕對值的意義:（1）幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù) a的絕對值，記作|a|（2）代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。a （當(dāng)a為正數(shù)）也可以寫成：歸|=|。（當(dāng)2為0 ）-a（當(dāng)a為負(fù)數(shù)）說明：（I） |a| >0即|a|是一個非負(fù)數(shù)；（n） |a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。典型例題例1.（數(shù)形結(jié)合思想）已知 a、b、c在數(shù)軸上位置如圖:則代數(shù)式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |的值等于(A )A . -3a B . 2c - a C

2、 . 2a2b D . b I解：| a |+ | a+b | + | c-a | - | b-c °'|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先 確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù) 學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例 2.已知：x<0<z, xy>0,且 y|z|x,那么 x + z|+|y + z - x - y的值（C ）A是正數(shù)

3、B.是負(fù)數(shù) C.是零 D.不能確定符號解：由題意，x、v、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以x+z + y + z - x - y=x z -(y z) - (x - y)二0分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3.(分類討論的思想)已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為 8,求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息

4、，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反， 即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得：x|=3 y ,(1)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即x<0 , y>0,則4y=8,所以y=2 ,x= -6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即x>0 , y<0,則-4y=8,所以y=-2,x=6(2)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若x、y在原點左側(cè)，即 x<0 , y<0,則-2y=8,所以y=-4,x=-12若x、y在原點右側(cè)，即 x>

5、;0 , y>0,則2y=8,所以y=4,x=12 例4.(整體的思想)方程 x2008 =2008 x的解的個數(shù)是(D )A. 1個 B .2個 C.3個 D .無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將 x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程a| = -a的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題 的答案為Do例5.(非負(fù)性)已知|ab 2|與|a 1|互為相互數(shù)，試求下式的值.ab a 1 b 1 a 2 b 2a 2007 b 2007分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到:|ab -2|=|a 1|=0

6、,解得：a=1,b=2ab a 1 b 1 a 2 b 2+川十a(chǎn) 2007 b 20071111_ + + . +2 2 3 3 42008 20091111111=一十一一一 r 十. a r -1 20082009200920082009在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中,11如果題目變成求.我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果.同學(xué)們可以再深入思考, 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)2008 2010探究。例6.(距離問題)觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離4 與2, 3 與 5, 2 與6, 4與 3.并回答下列各題：(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么

7、關(guān)系嗎？答：相等(2)若數(shù)軸上的點 A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點間的距離 可以表示為 x (7) = x+1 .分析：點B表示的數(shù)為一1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點 A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。IJJ JL.11.HX T口-IX 0-10 X當(dāng)x<-1時，距離為-x-1,當(dāng)-1<x<0時，距離為x+1, 當(dāng)x>0,距離為x+1綜上，我們得到 A與B兩點間的距離可以表示為x + 1(3)結(jié)合數(shù)軸求得 x-2 +x+

8、3的最小值為 5,取得最小值時 x的取值范圍為-3 C2.分析： x -2即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。x +3 | = x -(-3)即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：III L»111-32-3 x 2-32 K圖1圖2圖3圖2符合題意(4) 滿足x+1 + x+ 4 >3的x的取值范圍為 x<-4 或x>-1分析： 同理 x+1表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，x+4表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng) x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上 x與-4之間的距離會大于 3。借

9、助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4 或 x>-1 。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。 這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上，A-B 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù) A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解 決了(3)、(4)這兩道難題。三、 小結(jié)1 .理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負(fù)性2 .體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1 . “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號把數(shù)字或表示數(shù)字

10、的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容， 是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2 .用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3 .求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。二、典型例題例1 .若多項式2mx2 _x2 +5x +8 _（7x2 _3y +5x ）的值與x無關(guān)，求 m2 _ 2m2 _ 5m _ 4m 1 的值.分析：多項式的值與 x無關(guān)，即含x的項系數(shù)均為零因為 2mx2 -x2 5x 8 -7x2 -3y 5x = 2m -8 x2 3y

11、8所以m=4將 m=4代人，m2 一 2m2 -（5m 一4 ）+ m 】=-m2 + 4m -4 = _16 + 16 -4 =一4利用“整體思想”求代數(shù)式的值5353.例2. x=-2時，代數(shù)式ax +bx +cx-6的值為8,求當(dāng)x=2時，代數(shù)式ax +bx +cx 6的值。分析：因為 ax5 +bx3 +cx -6 =8當(dāng) x=-2 時，25a 23b 2c 6 =8 得到 25a + 23b+2c + 6 = 8 ,所以 25a 23b 2c = 一8 -6 = -14當(dāng) x=2 時，ax5 +bx3 +cx_6=25a+23b+2c _ 6 = （_14）_6 = _20例3.當(dāng)代

12、數(shù)式x2 +3x+5的值為7時，求代數(shù)式3x2 +9x2的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由x2+3x+5=7 得x2+3x=2 ，利用方程同解原理，得 3x2+9x = 6整體代人，3x2 9x -2 =4代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法 就是其中之一。例 4.已知 a2 +a 1 = 0 ,求 a3 +2a2 +2007 的值.分析：解法一（整體代人）：由a2+a1=0 得a3+a2a = 0所以： a3 2a2 2007322=a a a 20072-a a 2007二1 2007-2008解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界

13、相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由 a2 +a -1 = 0,得 a2 =1 -a,所以：a3 2a2 20072_ 2=a a 2a 2007=(1 -a)a 2a2 20072_2=a - a 2 a 20072=a a 2007=1 2007= 2008解法三(降次、消元)：a2 +a =1 (消元、減項)3 2a3 2a2 2007=a3 a2 a2 - 2007, 2、2=a(a a) a 20072=a a2 2007=1 2007= 2008例5.(實際應(yīng)用)A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡

14、工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第 n年的實際收入(元)第一年：A 公司 10000 ; B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200 ; B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A公司 10000+200(n-1 );B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出 B公司的年收入永遠(yuǎn)比 A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯。例6.三個數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且abclablacIbcx

15、= 十一十一十 十十a(chǎn)bcabacbc則 ax3 +bx2 +cx +1 的值是 解：因為abc<0,所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)，或三個都是負(fù)數(shù)又因為a+b+c>0,所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)。不妨設(shè) a<0, b>0, c>0則 ab<0, ac<0, bc>0所以x=-1 + 1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為 1。同理，當(dāng) b<0, c<0 時，x=0。_ , a b c lablac bc另：觀祭代數(shù)式+ 一 +廠+4+,交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的|a| |b| |c|a

16、b ac bc代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。規(guī)律探索問題：例7.如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA OR OC OD，線上寫出數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.OE OF,從射線OA開始按逆時針方向依次在射（1） “17”在射線_ “2008”在射茨上，上.（2）若n為正整數(shù)，則射線 OAk數(shù)字的排列規(guī)律可以用含代數(shù)式表示為分析：OA上排列的數(shù)為：1，7, 13, 19, 觀察得出，這列數(shù)的后一項總比前一項多6,歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因為17=3X6-1 ,所以17在射線OE上。因為 2008

17、=334 X 6+4=335 X 6-2 ,所以2008在射線OD上第一列第二列第三列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A. 125行,3列B.125 行,2列C. 251例8.將正奇數(shù)按下表排成5列:第四列第五列分析：觀察第二、第三列數(shù):行,2 歹UD. 251三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找行,5列3,11, 19, 27,規(guī)律為8n-5因為 2007=250X 8+7=251X8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因為第251行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列, 所以2007應(yīng)該

18、在第251行第5列例9. （2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為 3n+5;當(dāng)n為偶數(shù)時,結(jié)果為2n（其中k是使2k為奇數(shù)的正整數(shù)）,并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取n = 26,則:亙一H毋F第三次若n = 449,則第449次“ F運(yùn)算”的結(jié)果是分析：問題的難點和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運(yùn)算，即當(dāng)nkn為偶數(shù)時，結(jié)果為2 （其中n/kk是使2為奇數(shù)的正整數(shù)）,要使所得的商為奇數(shù)，這個運(yùn)算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過“ 169是奇數(shù)，經(jīng)過 1是奇數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?352; 1352是偶數(shù)，經(jīng)過“ F“ F”變?yōu)?12, 512是偶數(shù)，經(jīng)過“ F變?yōu)?69,

19、變?yōu)? ,F”變?yōu)?, 8是偶數(shù)，經(jīng)過“ F”變?yōu)?,我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運(yùn)算的次數(shù)是 449,奇數(shù)次。因為第四次運(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到 所以，結(jié)果是8。8,偶數(shù)次運(yùn)算得到1,三、小結(jié)用字母代數(shù)實現(xiàn)了我們對數(shù)認(rèn)識的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會一些 簡單的數(shù)學(xué)模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認(rèn)識的第一種方程，使我們學(xué)會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問題。 一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學(xué)知識一一有理數(shù)部分的

20、鞏固和深化，又為以后的一元 二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅實的基礎(chǔ)。典型例題：、典型例題例1.若關(guān)于x的一元一次方程 _ + =1的解是x=-1 ,則k的值是（32A. 2 B .1 C . - 13 D .0711分析：本題考查基本概念“方程的解”因為x=-1是關(guān)于x的一元一次方程 2x二k +xe=1的解，32所以22上上K+士處=1,解得k=-£3211例2.若方程3x-5=4和方程1 運(yùn)二 =0的解相同，則a的值為多少？3分析：題中出現(xiàn)了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數(shù)x,所以可以解這個方程求得 x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本

21、沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得x代入第二個方程，第二個方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。 解：3x-5=4 , 3x=9 , x=3因為3x-5=4與方程1 3a二3=0的解相同3所以把x=3代人1 3a二工二0中3一 3a -3 _ 一即 1 =0 得 3-3a+3=0, -3a=-6 , a=23例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）a、b、c、d為實數(shù)，現(xiàn)規(guī)定（1）則12的值為-1 2種新的運(yùn)算 a b=adbc.c d；當(dāng)24=18 時，x =(1 -x) 5分析：(1)即 a=1, b=2, c=-1 , d=2,因為(2)由(1

22、 x)=ad -bc，所以12_1 2=2- (-2 ) =4=18 得：10-4 (1-x) =18所以 10-4+4x=18 ,解得 x=3例4.(方程的思想)如圖，一個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的(a厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面 )不考慮瓶子的厚度.分析：左右兩個圖中墨水的體積應(yīng)該相等,所以這是個等積變換問題，我們可以用方程的思想解決問題解：設(shè)墨水瓶的底面積為S,則左圖中墨水的體積可以表示為Sa設(shè)墨水瓶的容積為 V,則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb于是，Sa= V-Sb , V= S(a+b)由題意，瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容

23、積的比為SaSaV S(a b)例5.小杰到食堂買飯，看到 A B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在A窗口隊伍的里面，過了 2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍,加5人。此時，若小李迅速從 A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到 飯，求開始時，有多少人排隊。分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且 分鐘減少1人，B窗口后面重新排隊，將比繼續(xù)在且B窗口隊伍后面每分鐘增A窗口排隊提前30秒買到B窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當(dāng)于B窗口前的隊伍每題中的等量關(guān)系為：小李在 A窗口排隊所需時間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊所需時間解：設(shè)開始時，每隊有 x人在排隊，2 分鐘后，B窗口排隊的人數(shù)

24、為：x-6 X 2+5 X 2=x-2x x 21根據(jù)題意，可列方程：2二2 工 -462去分母得 3x=24+2(x-2)+6去括號得3x=24+2x-4+6移項得3x-2x=26解得x=26所以，開始時，有 26人排隊。課外知識拓展:一、含字母系數(shù)方程的解法：思考：ax =b是什么方程？在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡形式中都要求aw 0,所以ax = b不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6.解方程ax = b解：(分類討論)當(dāng)aw。時，x = ba當(dāng)a=0, b=0時，即0x=0 ,方程有任意解當(dāng)a=0, bw0時，即0x=b ,方程無解即方程ax = b的解有三種情況。例7

25、.問當(dāng)a、b滿足什么條件時，方程 2x+5-a=1-bx ： （1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3）無解。 分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進(jìn)行討論。解： 將原方程移項得 2x+bx=1+a-5 ,合并同類項得：（2+b）x=a-4，）, 、. a - 4當(dāng)2+b0,即b-2時，方程有唯一解 x =,2 b當(dāng)2+b=0且a-4=0時，即b=-2且a=4時，方程有無數(shù)個解，當(dāng)2+b=0且a-4 w 0時，即b=-2且aw4時，方程無解，x -1 1 -x a ba b ababw。，所以方程兩邊可以同乘abb(x-1)-a(1-x)=a+bbx-b-a+ax=a+b例

26、8 . 解萬程-=分析：根據(jù)題意， 去分母，得 去括號，得移項，并項得 （a+b）x=2a+2b“2 2a 2b當(dāng) a+b w 0 時，x =2a b當(dāng)a+b=0時，方程有任意解說明：本題中沒有出現(xiàn)方程ax=b中的系數(shù)a=0, bw 0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對值的方程解法 例9.解下列方程5x-2解法1：（分類討論）當(dāng)5x-2>0時，即2x> 一55x-2=3 , 5x=5 , x=1因為x=1符合大前提x>2,所以此時方程的解是x=15， 一一 2當(dāng) 5x-2=0 時，即 x=5，_2當(dāng) 5x-2<0 時，即 x< 5得到矛盾等式0=3,所以此時

27、方程無解15x-2= -3, x=-51.因為x=-符合大前提52 ，、x<-,所以此時方程的解是51x二 一5，、，.1綜上，方程的解為 x=1或*=-一5注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗 x是否符合條件 解法2:（整體思想）聯(lián)想:a =3時，a=±3類比：5乂2=3,則5x-2=3 或 5x-2=-3、土 、土,1解兩個次方程，方程的解為x=1或x=15.、了r,2 x 1 5例10. 解萬程 =13解：去分母2| x-1|-5=3移項 2| x-1|=8| x-1|=4所以 x-1=4 或 x-1=-4解得x=5或x=-3例11.解方程 x 1 = 2x +1分析：此題適合用解

28、法22當(dāng) x-1>0 時，即 x>1, x-1=-2x+1 , 3x=2, x=3因為x=2不符合大前提x>1,所以此時方程無解3當(dāng)x-1=0時，即x=1, 0=-2+1 , 0 =-1 ,此時方程無解當(dāng) x-1<0 時，即 x<1, 1-x=-2x+1 , x=0因為x=0符合大前提x<1 ,所以此時方程的解為 x=0 綜上，方程的解為 x=0三、小結(jié)1、體會方程思想在實際中的應(yīng)用2、體會轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力第四講：圖形的初步認(rèn)識、相關(guān)知識鏈接:1 .認(rèn)識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾

29、何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓2 .立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共H一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個，共六種。第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個，共三種。第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個，只有一種。第四類，兩排各三個，只有一種?；疽?1 .在右

30、面的圖形中是正方體的展開圖的有（ C ）（A） 3 種（B） 4種 （C） 5 種（D） 6 種2.下圖中，是正方體的展開圖是A.B.C.D.較高要求：4 .下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是（A ）A. 7 B .8 C . 9 D .105 . 一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數(shù)并且相對兩個面所寫的兩個數(shù)之和相等，那么 a+b-2c=（ B ）A. 40B.38C.36 D. 34分析：由題意8+a=b+4=c+25所以 b=4+a c=a-17所以 a+b-2c=a+（4+a）-2（

31、a-17）=4+34=386 .將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（orwmi7.下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（ D ）還原正方體，正確識別正方體的相對面。D（二）常見立體圖形的平面展開圖9.下面是四個立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是（A ）A.正方體、圓柱、三棱柱、圓錐C.正方體、圓柱、三棱錐、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐B11 .如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標(biāo)注了字母，請根據(jù)要求回答問題:（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面?（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）在右

32、面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外） 答案：(1) F ; (2) C, A（三）立體圖形的三視圖12 .如圖，從正面看可看到的是 （C ）13.對右面物體的視圖描繪錯誤的是幾何體的小正方體的個數(shù)是 （）A. 3B. 4C. 5D.616.正方體每一面不同的顏色對應(yīng)著不同的數(shù)字,將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，那么長14.如圖的幾何體，左視圖是（B ）ABCD15 .如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖,（四）新穎題型方體的下底面數(shù)字和為顏色紅黃藍(lán)白紫綠時應(yīng)數(shù)字23456/黃/紫/紅/藍(lán)/ 白I紅白if分析：正面一黃，右面一紅，上面一藍(lán)，后面一紫，下面

33、一白，左面一綠 所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫8數(shù)字和為：4+6+2+5=1717.觀察下列由棱長為 1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖所示：共有8個小立方體，其中 7個看得見，1個看不見；如圖所示：共有個看不見（1）寫出第個圖中看不見的小立方體有125 個;（2）猜想并寫出第（n）個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為 （n-1） 3 個.分析：11=10=0328=231=13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五講：線段和角、知識結(jié)構(gòu)圖二、典型問題：（一）數(shù)線段一一數(shù)角一一數(shù)三角形問題1、直線上有n

34、個點，可以得到多少條線段?分析：點線段2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5n 1+2+3+/八 n n -1+(n-1)=2OD則圖中小于平角的角共有（問題2.如圖，在/ AO郎部從。點引出兩條射線 OC(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6拓展：1、在/AOB內(nèi)部從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個?射線角13 =1+226=1+2+3310=1+2+3+4n 1 n 2n 1+2+3+ +（n+1）= 2類比：從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？ 射線角2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+41+2+3+/八

35、 n n -1+(n-1)=2類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形?(二)與線段中點有關(guān)的問題線段的中點定義：文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點A M B圖形語言：幾何語言：M是線段AB的中點1 AM =BM =AB, 2AM =2BM = AB2典型例題：1 .由下列條件一定能得到“ P是線段AB的中點”的是(D )(A) AP=1ab(B) AB= 2PB( C) AP= PB( D) AP= PB=- AB221 -2 .右點B在直線AC上，下列表達(dá)式： AB=AC；AB=BCAC=2ABAB+BC=AC其中能表示B是線段AC的中點的有(A)A 1個B.2個

36、C.3個D.4個13 .如果點C在線段 AB上，下列表達(dá)式 AC) AB;AB=2BCAC=BCAC+BC=AB ,能表小C是AB中點的有 (C )A.1個 B.2 個 C.3 個 D.4 個4 .已知線段 MN P是MN勺中點，Q是PN的中點，R是MQ的中點，那么 MR=MN.-Ji +*R PQnMQ=3x分析：據(jù)題意畫出圖形m設(shè) QN=x 貝U PQ=X MP=2x所以，MR=3x ，則MR 2 MN3X Q =2_ =34x 85 .如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點，M是AB的中點，N是CD中點，若MN=a BC=b則線段AD的長是)0OCAMBA 2 (a-b)B 2a-b C

37、a+b D a-b分析：不妨設(shè) CN=ND=x AM=MB=y因為 MN=MB+BC+CN所以 a=x+y+b因為 AD=AM+MN+ND所以 AD=y+a+x=a-b+a=2a-b(三)與角有關(guān)的問題1 .已知：一條射線 OA若從點O再引兩條射線 OB OC使/ AOB=60, / BOC=20,則/ AOC=80或40° 度(分類討論)2. A、。B共線，OM ON分別為/ AOC、/ BOC的平分線，猜想/ 猜想：_90°證明：因為 OM ON分別為/ AOC、/ BOC的平分線所以/ MOC=1 / AOC , / CON=1 / COB22因為/ MON=MOC

38、+CON所以/ MON=1 / AOC +- / COB=1 / AOB=9O222MON的度數(shù)，試證明你的結(jié)論.3.如圖，已知直線 AB和CD相交于。點，/COE是直角, 求/BOD的度數(shù).分析：因為/COE是直角，/COF =34，,所以/ EOF=56因為OF平分/ AOE所以/ AOF=56OF 平分 / AOE , / COF =34 ,因為/ AOFh AOC+： COF所以/ AOC=22因為直線AB和CD相交于O點所以 ZBOD = ZAOC=224.如圖，BO CO另1J平分/ ABC和/ACR(1)若/ A = 60 ° ,求/ Q(2)若/ A =100

39、6; , / O是多少？若/ A =120° , / O又是多少？(3)由(1)、(2)你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)/A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎?(提示：三角形的內(nèi)角和等于180° )答案：(1) 120° ; (2) 140°、150°5.如圖，O是直線AB上一點，OC、OD OE是三條射線，則圖中互補(bǔ)的角共有(A) 2(B) 3(C) 46 .互為余角的兩個角(A)只和位置有關(guān)(C)和位置、數(shù)量都有關(guān)(D) 5(B )(B)只和數(shù)量有關(guān)(D)和位置、數(shù)量都無關(guān)7 .已知/ 1、/ 2互為補(bǔ)角，且/ 1>/ 2,則/ 2的余角是(C

40、 )A. 1(/1 + /2) B. 1/1 C. 1(/1-/2)D. 1Z 22222分析：因為/ 1 + /2=180° ,所以 1 (/1 + /2) =90°290° - Z 2= 1 ( / 1 + / 2) -7 2= 1 (/ 1 / 2)第六講：相交線與平行線、知識框架二、典型例題1 .下列說法正確的有（B ）對頂角相等；相等的角是對頂角；若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個2 .如圖所示，下列說法不正確的是（D ）A.點B到AC的垂線段是線段 AB; B.點

41、C到AB的垂線段是線段 ACC.線段AD是點D到BC的垂線段；D.線段BD是點B到AD的垂線段3 .下列說法正確的有（C ）在平面內(nèi)，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1個 B.2 個 C.3 個 D.4 個4 . 一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,這兩次拐彎的角度可能是（A ）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50第二次向左拐130°第二次向左拐130°

42、4E8 .如圖，直線l 1、l2、l3交于。點，圖中出現(xiàn)了幾對對頂角，若n條直線相交呢?答案：3對，n（n+1）9 .如圖，在4M4的正方形網(wǎng)格中，/1, /2, 23的大小關(guān)系是50C.第一次向右拐50°第二次向右拐130° D.第一次向左拐5 .如圖，若 ACL BC于C, CDL AB于D,則下列結(jié)論必定成立 的是（ A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形一一“雙垂直”圖形6 .如圖,已知AB/ CD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG?平分/ BEF,若/ 1=72則 / 2=

43、54 °.7 .如圖,AB / EF/ CD,EG/ BD,則圖中與/ 1相等的角（/ 1除外）共有（C ）?A.6 個 B.5 個 C.4 個 D.3 個l1l 2率？請腌從所得的四個關(guān)系中任選答案：/ 1 = /2>/ 310 .如圖所示，L 1,L2,L3交于點O,/1=/2, /3:/1=8:1，求/ 4的度數(shù).（方程思想）答案：36°11 .如圖所示，已知AB/ CD,分別探索下列四個圖形中/P與/ A,/C4手一個加以說明(1)(2)/ APE吆 A+Z C=360°/ P=Z A+Z C(3) / P=ZC-Z A,(4) / P=Z A-Z

44、C12.如圖，若 AB/EF , 分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90/ C= 90° ,求 x+y-z 度數(shù)。13.已知：如圖， /BAP +/APD =180/1=/2求證：.E二，F(xiàn)分析：法一法二：由 AB/CD 證明 NPABAPC所以.EAP= APF所以AE/FP所以. E二，F(xiàn)第七講：平面直角坐標(biāo)系、知識要點:1、特殊位置的點的特征(1)各個象限的點的橫、縱坐標(biāo)符號(2)坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)：x軸上的點的坐標(biāo)為(x,0)，即縱坐標(biāo)為0；y軸上的點的坐標(biāo)為(0, y),即橫坐標(biāo)為0；2、具有特殊位置的點的坐標(biāo)特征設(shè) PiGiyJ、P2(X2, y2)Pi、P2兩點關(guān)

45、于x軸對稱u x1 =x2，且y1 =y2;Pi、P2兩點關(guān)于y軸對稱u = x2,且yi = y2;Pi、P2兩點關(guān)于原點軸對稱 u x = x2,且yi = -y2。3、距離(1)點A(x, y)到軸的距離：點 A到x軸的距離為| y| ;點A到y(tǒng)軸的距離為| x| ；(2)同一坐標(biāo)軸上兩點之間的距離：A(xa,0)、B(xb,0),貝U AB Hxa -xB |； A(00a)、B(0, Yb),則 AB =| yA - yB |;二、典型例題1、已知點M的坐標(biāo)為(x, y),如果xy<0 ,則點M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第

46、四象限2 .點P (m, 1)在第二象限內(nèi)，則點 Q (-m, 0)在()A . x軸正半軸上 B , x軸負(fù)半軸上C , y軸正半軸上D . y軸負(fù)半軸上3 .已知點A (a, b)在第四象限，那么點 B (b, a)在()A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D(zhuǎn) .第四象限4 .點P (1,-2)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是()A . (-1 , -2) B .(1,2) C . (-1 ,2) D . (-2, 1)5 .如果點M (1-x, 1-y ) 在第二象限，那么點 N (1-x , y-1 )在第 象限，點Q (x-1 , 1-y)在第 象限。，8)。)表示帥的位置,6 .如

47、圖是中國象棋的一盤殘局，如果用 (4 , 用(3, 9)表示將的位置，那么炮的位置應(yīng)表示為A. (8, 7) B ,(7,8) C , (8 , 9)D. (87.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABC而頂點A B D的坐標(biāo)分別為（0, 0）,(5, 0), (2, 3)則頂點C的坐標(biāo)為()A. (3, 7) B . (5, 3) C . (7, 3) D , (8, 2)8.已知點P (x, x ),則點P一定 ()A.在第一象限B .在第一或第四象限C.在x軸上方D .不在x軸下方9.已知長方形ABCD 中，AB=5, BC=8,并且 AB/ x 軸，若點A的坐標(biāo)為（一2, 4）,則點 C的

48、坐標(biāo)為(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12) 10.三角形ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A (-4, -1), B (1, 1), C (-1, 4),將三角形 ABC向右平移2個單位長度，再向上平移 3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標(biāo)是（C ）A . (2, 2), (3, 4), (1, 7)C . (-2, 2), (3, 4), (1, 7)B . (-2, 2), (4, 3), (1, 7)D . (2, -2), (3, 3), (1, 7)11 .“若點P、Q的坐標(biāo)是（x1, y。、已知點A、B、C的坐標(biāo)分別為（x2, y2）,則線段PQ中點的坐標(biāo)為（xllxyll

49、yl22-5, 0）、（3, 0）、（1, 4）,利用上述結(jié)論求線段 AG BC的中點標(biāo)，并判斷DE與AB的位置關(guān)系.解：由“中點公式”得 D (-2, 2), E (2, 2), DE/ AB.12 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為（3,4）,將OA旋轉(zhuǎn)90得到OA',則點A'的坐標(biāo)是（A. (乂,3) B .(與4) C. (3, -4) D. (4, -3) 分析：13 .如圖,(-6y繞原點O逆時針解：做輔助線如圖.三角形 AOB中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（-3）,求三角形 AOB的面積-4SZAOB=S 梯形 BCDO ( Saabc+SaOaB= 1X (3+

50、6) X6- ( 1 X2X 3+ J X4X 6) =27- (3+12) =12.22214.如圖，四邊形 ABCD個頂點的坐標(biāo)分別為(-2, 8), (-11, 6), (-14, 0), (0, 0)。(1)確定這個四邊形的面積，你是怎么做的 ？(2)如果把原來ABC陷個頂點縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)增加2,所得的四邊形面積又是多少？分析：(1) 80(2)面積不變15.如圖，已知 A(1,0)、A2 (1, 1)、A3 (-1 , 1)、A4 (-1 , -1 )、 A5 (2, -1 ), ，貝U點 A2007的坐標(biāo)為 .答案：(-502,502)A7A3A2A8A10A6第八講：與三

51、角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識點1 .三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即： ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b (兩點之間線段最短)由上式可變形得到：a>c b, b>a c, c>ba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 .高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 .中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線4 .角平分線三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線、典型例題（一）三邊關(guān)系1 .已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那

52、么a的取值范圍是（）A.1<a<5 B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62 .小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾 種選法？可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長度為x,則 3Vx<13所以 x=4,5,6,7,8,9,10,11,123:已知： ABC中，AD是BC邊上的中線_1 一 一求證：AD+BDa （AB+AC2分析：因為 bd+ad>ar cd+ad>ac所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC因為AD是BC邊上的中線，BD=CD，1. 一所以 AD+BDa （ab+a