2022年高考數(shù)學模擬試卷

1、2022年高考數(shù)學模擬試卷(時間：120分鐘 滿分：150分)一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的)1. (2021德州模擬)已知集合A = x|-2<1 x<3, B=xGNFW3:,則(CrA)CB等于()A. (3,6B. (2,6C. 3,4,5,6)D. 4,5,6答案C解析 VA = x|-2<l-jc<3 = x|-2<v<3, B= xGNF<6x = 0,1,2,3,4,56,/rA = xIx一2 或xN3,(CM) C3= 3,4,5,6.2. (2021日照模擬)已

2、知復(fù)數(shù)2=5山至一icos豆，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B解析z=sin普一icos誓=坐，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.3. 設(shè)直線/是曲線_/(x)=e*+cosx在點(0,2)處的切線，則直線/與x軸、y軸圍成的三角形面 積為()A. 2 B. 1 C. e D. 4答案A解析 因為 _/(x)=er+cosx,所以 / (x)=e*sinx,所以/ (0)=e°sin0=l,所以直線/的方程為y-2=x-0,即y=x+2,令 x=0,得 y=2,令 y=0,得X=一2,所以直線/與x軸、y軸圍成的三角形面

3、積為:X2X2=2.4. (2021紹興模擬)函數(shù)八F+lx的部分圖象是()ABD答案D解析函數(shù)危乎的定義域為又(1 *)sin xev+e-xfix),.y=/（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除A, B；對于C, D, ；x=l是人=0的一個解，且當Oal時，凡。0,排除C.5. （2021新高考全國H）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36 000 km（軌道高度 是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O,半徑為6400 km的球，其上點 A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表

4、面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2（l-cos a）（單位:km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%答案C解析由題意可得，S占地球表面積的百分比約為6 4002兀戶（1 cos a） 1 cos a6 400+36 000七? -2 二2七 042 =42%.6. （2021太原模擬）跑步是一項有氧運動，通過跑步，我們能提高肌力，同時提高體內(nèi)的基礎(chǔ) 代謝水平，加速脂肪的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質(zhì).小林最近給自己制定了一個200千米的跑步健 身計劃，他第一天跑了 8千米，以后每天比前一

5、天多跑0.5千米，則他要完成該計劃至少需 要（）A. 16 天B. 17 天C. 18 天D. 19 天答案B解析 依題意可得，他從第一天開始每天跑步的路程（單位：千米）構(gòu)成等差數(shù)列，且首項為8, 公差為0.5, 設(shè)經(jīng)過天后他完成健身計劃，則8+“（，2 0X注200,整理得 n2+31n-8000.因為函數(shù)犬x）=*+31x8OO在1, +8）上單調(diào)遞增，且共16）0,417）0,所以“217.7 . （2021全國乙卷）魏晉時期劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是 測量海島的高，如圖，點E, H, G在水平線AC上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“

6、表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A8等于（）A E H G,表高義表距，一 從表目距的差十表同表高X表距,充兀 C&H距的差+表距答案Ac表高義表距B表目距的差一表同表高X表距主而 D表目距的差一表距nrFGDF FH因為尸GA8,所以肉=解析77,所以GC=5*CA,因為OEAB,所以器=言，所以C/1/io/D ArtEH=AH,又 DE=FG,所以 GCEH=(CAAH)=XHC=X(HG+GC)X（EG-EH+GC）.由題設(shè)中信息可得，表目距的差為GC-E”，表高為表距為EG,則上式可化為，表目距的差=磊乂（表距+表

7、目距的差），所以AB=4目；：；,黃義（表距+表目距的差）=表高義表距 表目距的差上表高.8 .已知尸為拋物線丁=法的焦點，A為拋物線上的動點，點8（ 1,0）.則當忌骷取最大值時，依目的值為（）A. 2B邛C.乖D. 2小答案C解析 廠為拋物線V=2x的焦點，培，0）,準線為廣一;，設(shè)4傳，a）,則依8|=4俘+1+邕4L由基本不等式得/+$24,當且僅當。=地時取等號,故5；篝產(chǎn)坐當且僅當時取等號,此時|48| =二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題 目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德

8、在礪智石一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若實數(shù)。即，則下列不等式不一定成立的是（）A.l答案ACD解析 對于A中，當a= -1, 6=2時，滿足>從 此時故A不一定成立;標+/對于 B 中，因為 a2+/?22ah=（ab）2>0,所以 a2+b1>2ab,即 ah<,a2+序所以aK2定成立，故B一定成立；h a對于C中，當a=l, b= 1時，滿足a>b,此時,+= 1 1 = -2<2,故C不一定成立;對于D中，當a=l, b= 1時，滿足0>

9、;從 此時:=1>石=1,故D不一定成立.10. （2021黃岡模擬）在網(wǎng)課期間，為了掌握學生們的學習狀態(tài)，某省級示范學校對高三一段 時間的教學成果進行測試.高三有1 000名學生，期末某學科的考試成績（卷面成績均為整數(shù)）Z 服從正態(tài)分布M82.5 , 5.42）,則（人數(shù)保留整數(shù)）（）參考數(shù)據(jù)：若 ZN, a2）,則 P（/，一o<ZW+<7）"0.682 7, P（/i2o<Zn+2a）0.954 5, 尸儀 一3“<Z<+3b）Q0.997 3.A.年級平均成績?yōu)?2.5分B.成績在95分以上（含95分）人數(shù)和70分以下（含70分）人數(shù)相等C

10、.成績不超過77分的人數(shù)少于150D.超過98分的人數(shù)為1答案ABD解析對于 A, ：ZM82.5 , 5.42）, 4=82.5,（7=5.4,由正態(tài)分布概念知，年級平均成績=82.5, A正確； 95+70對于B, 一=82.5=，成績在95分以上(含95分)人數(shù)和70分以下(含70分)人數(shù)相等，B正確；,丁，1 -0.682 7對于 C, ；77心82.55.4="一。，:.P(ZW1 5P(Z0-o)=豆=0.158 65,VI OOOXO.158 65=«159>150,二成績不超過77分的人數(shù)多于150, C錯誤；對于 D, ,.,82.5+5.4X3=9

11、8.7=99,、,1 -0.997 3.尸(Z299)七 尸(Z2+3c)=0.001 35,VI 000 X 0.001 351,；.超過98分的人數(shù)為1, D正確.11. (2021新高考全國)已知。為坐標原點，點 Pi(cos a, sin a), P2(cos尸，sinp), Pj(cos (a+份，sin (a+/?), A(l,0),則( )A. |dPi| = |dP2|B.麗尸而2|c.OAdPy=dPdp2D.OAOP=OP2-OP答案AC解析 由題意可知，OP =-/cos2 a+sin2 a = 1, |OPi=>/cos2(siny?)2 = 1,所以=IOP2I

12、，故A正確；取a=：,則尸1惇，乎)，取片筆 則外(一乎，乎)，則麗!I，故B錯誤；因為。4OP3 = cos(a+Q), OP OP2 cos acos £一sin asin 0=cos(a+萬)，所以。4。8=OP OPi,故C正確；因為。4OPi=cosa, OP2,OP3=cos夕cos(a+/?)sin£sin(a+S)=cos(a+2/0，取儀=不'=不則殖而尸坐,勵仍= cos+-乎，所以近1.mW辦2旗，故D錯誤.12.如圖，正方體ABCO48G。的棱長為a,點E為棱A。的中點，點P,。在正方體的 表面上運動，且4尸=也。,。£，3

13、3;>,若動點P的軌跡的長度為3兀,則下列結(jié)論正確的是( )A. a=lB.四面體ACBiOi的外接球表面積為12兀C. QE平面 AOiCD.動點Q的軌跡長度為3近答案BCD解析 如圖，連接45, AC, ABi,則易知45=AC=A8i=6a,所以在平面ABCD,平面 ABBiAi,平面AOCiAi內(nèi)各存在一個滿足AP=/a,當點P在平面4BCQ1內(nèi)時，連接 AiP,因為平面ABiCiOi,所以A4i，4P,所以4P=/4尸一44彳=4（&4）2一層=”,IT /77T所以點尸在平面45內(nèi)的軌跡就是以4為圓心，a為半徑的w圓弧，其長度為“義i=虧, 同理可得，點尸在平面8CG

14、8內(nèi)的軌跡的長度為號，點P在平面CDGG內(nèi)的軌跡的長度 為學，所以點P的軌跡的總長度為3Xm=3兀，解得a=2,故A錯誤.四面體ACBB的外 接球即為正方體A8CO481cl。的外接球，D,GAB所以2R=a=2小,R=S，所以5表=4兀/?2=12兀，故B正確.分別取 OU, DC 的中點 M, N,連接 EM, EN, MN, CD,所以 ENAC, EM/ADy,所 以平面AC£>i平面MNE,由正方體的結(jié)構(gòu)特征易得BQ_L平面ACO”所以BQ_L平面MNE, 、回I-又所以點。的軌跡就是可£,顯然MN=EM=EN=¥a=巾,所以點。的軌跡長度為3啦，

15、故C, D正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. （2021新鄉(xiāng)模擬）若 tan a=2,則 sin（2a"5=.3答案5解析 由 tan a=2,得 sin a=2cos a,代入 sin2a+cos2a= 1,可得 cos%=g,14. (2021海南模擬)某班級班委包括4名女生和2名男生，要從中抽選2名女生和1名男生 參與畢業(yè)典禮志愿者工作，并把他們安排在3個不同的崗位，其中A崗位不安排男生，則不 同的安排方式種數(shù)為.答案48解析 先抽取2名女生和1名男生，共有C?a=12(種)，再把他們安排在3個不同的崗位上, 減去男生安排在4崗位的情形，則不同的安排方

16、式有12X(AAa2)=48(種).15. (2021合肥聯(lián)考)如圖，已知圓。的半徑為2, A8是圓。的一條直徑，E尸是圓。的一條 弦，且E/=2,點P在線段E/上，則麗麗的最小值是.E答案T解析如圖，連接OP,由題意可知, PAPB=(PO+OA)(PO+OB)=(PO+OA)(PO-OA)=PO2-OA1=PO2-4,連接OE, OF,在OEF中，當尸時，。尸最小，因為 OE=OF=EF=2,所以O(shè)P的最小值為，=小，因此荷麗的最小值為- 1.X2- 1. %<1.16. 已知函數(shù)«x)=« nx 、若關(guān)于x的方程2/(x)尸+(12m況一機=0有5個不同的實數(shù)解

17、，則實數(shù)，的取值范圍是.答案(0，)解析 設(shè)y=¥，則y'=三磬，由y' =0,解得x=e,當x£(0, e)時，y' >0,函數(shù)單調(diào)遞增，當xW(e,+8)時，<<0,函數(shù)單調(diào)遞減.當x=e時，函數(shù)取得極大值也是最大值為土方程 2/(x)2+(l 25雙0一相=0 化為伏x)刈R/(x)+l=O.解得以尸團或人外=一去 畫出函數(shù)凡T)的圖象如圖，可得機的取值范圍是(0,1八三，” CrT1 2四、解答題(本題共6小題，共70分)17. (10分)(2021鐵嶺模擬)補充問題中橫線上的條件，并解答問題.在asinC=6,°

18、=小 b,。=6這三個條件中任選兩個，分別補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求b, c的值；若問題中的三角形不存在，請明理由.問題：是否存在ABC,它的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且, , (2c-Z?)cos A=acos B?注：從條件任意選擇兩個填入問題中解答即可，如果多組分別解答，按第一組解答計 分.解 由(2cA)cos A=acos8 及正弦定理，可得 2sin Ceos A sin Bcos A=sin Acos B.則 2sin Ceos A=sin(A+B),因為 sin(A + 8)=sin C#0,所以 cosA='TT因為0<A&l

19、t;7T,所以A=§.方案一：選條件.因為 a=、J3b>b,所以 sin A=，sin 8, sin B=y 故為.所以 C=.這樣的三角形存在.由 csin A=asin C=6, 得 c=4，§, 所以 b=2*5.方案二：選條件.冗TI由 asin C=6, a=6,得 sinC=l, C=5，8=不這樣的三角形存在.由 csin A=asin C=6,得 c=4巾，所以 b=癡 0 =2小.方案三：選條件.因為。=小仇a=6,所以b=2小.由 a2=b2+c2bct 可得 c22小c24=0,解得 c=4小.18. （12分）（2021南通聯(lián)考）已知等差數(shù)列

20、的前項和為S”，6=5, S6=36.（1）求數(shù)列斯的通項公式；（2）記"為log"在區(qū)間（0, &J（/nWN"）中正整數(shù)七的個數(shù),求數(shù)列時的前m項和.解（1）設(shè)等差數(shù)列m的公差為乩= 1,d=2.。3=。|+2d=5,則，6X5解得Ss 6 + 2 d 36,。=1+5 1)X2=2 - 1.由 0vlog2kWa,=2ml,解得 14W22"門'為logzR在區(qū)間（0, 4,J（m£N"）中正整數(shù)的個數(shù)，.瓦=2為一 1=2X4”門一 1,設(shè)數(shù)列瓦的前?項和為Tm，2(1 4")" m = t

21、1432 my19. （12分）（2021贛州模擬）遵守交通規(guī)則，人人有責.“禮讓行人”是我國道路交通安全 法的明文規(guī)定，也是全國文明城市測評中的重要內(nèi)容.道路交通安全法第47條明確規(guī) 定：“機動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當減速行駛，遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當停車讓行.機 動車行經(jīng)沒有交通信號的道路時，遇行人橫過道路，應(yīng)當避讓.否則扣3分罰200元”.下 表是2021年1至4月份某市某主干路口監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計數(shù) 據(jù)：月份1234違章駕駛員人數(shù)12510510090（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的線性回歸方程y=bx+a,并預(yù)測該路口 2021 年5月不“禮

22、讓行人”駕駛員的大約人數(shù)（四舍五入）；（2）交警從這4個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”行 為與駕齡的關(guān)系，得到下表：不禮讓行人禮讓行人駕齡不超過2年1020駕齡2年以上812判斷是否有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān)？n n 一 x y Y 出一x )8 y )Ai=參考公式：b=氏一AX?(X,T)2i=l產(chǎn) P(K2 2 kt)0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879其中 =a+b+c+d.)Madbe?K (+h)(c+d)(a+c)(h+d)，解(1)由表中數(shù)據(jù)易知，x1+2+3+4 5

23、=4=29125+105+1(X)+90 y =7-105,gr 渺一 4x jr,1=1995-1 050" 一 ：5則6= 7T tt = -11, u- y -b x = 105-(-11) X'z- 132.5»4 SU - ZjZ浸一4 X 2故所求線性回歸方程為y=-llx+132.5,A令x=5,則>=-11X5+132.5=77.5-78,預(yù)測該路口 5月份不“禮讓行人”的駕駛員大約人數(shù)為78.口 , 50X(10X12-20X8)2(2)由表中數(shù)據(jù)可得K2=*不=力"七0.23<2.706, 1 o A JZ A JU A Z

24、U沒有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).20.(12分)(2021西安模擬)在如圖所示的幾何體中，平面AC瓦L平面A8CD,四邊形A8C。為平行四邊形，ZCAD=90°, EF/BC, EF=BC, AC=2, AE=EC=也(1)求證：A, D, E, F四點共面，且平面AOERL平面CQE；(2)若二面角E-AC一尸所成平面角為45。，求點。到平面AC/的距離.(1)證明.四邊形A8C。為平行四邊形，.,.AD/BC,"JEF/BC, ：.EF/AD,.'.A, D, E, F四點共面.V ZC4D=90°, ：.AC±AD,平面

25、ACE_L 平面 ABCD,平面ACED平面ABCD=AC,.AO_L 平面 ACE,；CEu平面 4CE, A CELAD.'：AC=2, AE=EC=y2,：.CE?+AE2=AC2,：.CELAE,.,AEC4£)=4, AD, AEu平面 4OEF,；.CEJ平面 ADEF,；CEu 平面 CDE,：.平面 ADEFL 平面 CDE.(2)解 I平面 ACE_L平面 ABC。，ZCAD=90°,.以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè) AQ=2am>0),則 A(0,0,0), C(2,0,0), £(1,0,1), F(l,充=(2,0

26、,0),亦=(1, -a,l),設(shè)平面AC尸的法向量為m=(x, y, z),m-AC=2r=0,則J取 y=l,得，”=(0,1, a),m-AF=xay+z=0,平面ACE的一個法向量為"=(0,1,0),.二面角E-AC-F的平面角為45。，.mn 1y2c°s 45 |詞|廠疝了一 2，解得a=l,：.AD=2,則 4O=AC=2, AF=CF=, Sxco=；X2X2=2,X2X.(小4- 1 =y2,設(shè)點。到平面 ACT7 的距離為人，則 Vd-acf= Va 4cd> 即，XS<mcfX/i=XSaxcoX 1,解 得 h='/2,.點。到

27、平面ACF的距離為啦.21. (12分)(2021南昌模擬)設(shè)橢圓C：，+g=l(a>6>0),。為原點，橢圓的右頂點和上頂點 分別為A, B,點。(0,2),橢圓C的離心率為叩，且NQ4B=NOD4.(1)求橢圓C的方程；(2)不與x軸平行的直線/與橢圓C交于不同點P, Q,已知點尸關(guān)于x軸對稱點為點M,點 。關(guān)于原點的對稱點為點M且。，M, N三點共線，求證：直線/過定點.y2(1)解橢圓C的離心率為竽， a=yic, b=c,又.NOA8=NOOA,/. tan Z OA8=tan Z ODA,=?,:W=2b, 2廬=2b,故橢圓的方程為5+=1.證明 由題意，可設(shè)直線/:

28、 x=my+n, P(x9 y)9Q(X2, J2)» A/(xi, -yi), N(X2, -yz), x=my-n,聯(lián)立方程 3 .、#(/n2 + 2)y2+2/nny+«22=0,-2mn y'+y2=+i' n22 *二鬲5A=Wn2 - 4(/r+2)(n2 - 2)>0,即 m2+2>n2.DM=(x9 一一2), DN=(X2,一及2), ,:D, M, N三點共線，：.DM/DN, ：.x(-y2-2)=x2(y+2),(wyi + n)(yz-2) = (my2+2),； 2my tj2+(2m+n)(y +”)+4=0.n22(l2mri. 2z2+2+Qm+) ? +