2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)亮點(diǎn)試題（函數(shù)）

1、2022年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)亮點(diǎn)試題函數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中充當(dāng)著聯(lián)系 各部分代數(shù)知識(shí)的"紐帶"，同時(shí)也為解析幾何學(xué)習(xí)中所需的數(shù)、形結(jié)合 思想奠定了基礎(chǔ)。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，是每年高考必考查的重點(diǎn) 內(nèi)容之一，函數(shù)與方程、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與不等式的相互滲透和交 叉一直是高考的熱點(diǎn)，近年來(lái)抽象函數(shù)問(wèn)題、函數(shù)與向量結(jié)合、函數(shù) 與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合、探索創(chuàng)新性問(wèn)題又成為新的視點(diǎn)，可以說(shuō)是?？汲?新。隨著新教材課程改革的不斷向前發(fā)展，高考函數(shù)命題已從理論和 實(shí)踐上發(fā)生了深刻的變化，給函數(shù)問(wèn)題注入了生機(jī)和活力，開(kāi)辟了許 多新的解題途徑，拓寬了高考對(duì)函數(shù)問(wèn)題的命題空間。下

2、面結(jié)合2009 年全國(guó)各省的高考試題，探討高考函數(shù)問(wèn)題命題新的趨勢(shì)，供復(fù)習(xí)時(shí) 參考。1對(duì)函數(shù)定義的深化理解與函數(shù)圖象的靈活運(yùn)用的問(wèn)題1.(2009年高考數(shù)學(xué)陜西卷)定義在R上的偶函數(shù)7(x)滿足：對(duì)任意的 ,x2 e(-oo,0(x, * kJ,有(9一士)(/(尤2)-/(E)>。則當(dāng) w/V* 時(shí)，有(A) /(-«)</(«-1) </(n + l)(B)-1)</(-)</(+ 1)(C) /(»+1)< /(-«) < f(n -1)(D)/(« + 1)</(«-1)<

3、/(-«)【答案：】C解析：%，w 6(-oo,0( x2) > (x2 - %1 )(/(x2) - /(%1) > 0o 電Xi時(shí)，/(%2)/(百)u> /(x)在(一°°,0為增函數(shù)/(x)為偶函數(shù)=> /(X)在(0, + 8為減函數(shù)而n+lnnT>0,，f (駕+1) <f(n)< fn-Y) = /(n+1) < f(-n) < f(n-1)2. （2009年高考數(shù)學(xué)山東卷）函數(shù)y =與二的圖象大致為（）.e - e【解析】：函數(shù)有意義需使婷-1，0,其定義域?yàn)椴穦»0,排除C,D,又因

4、為y = 3a = F = l + -所以當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，故選A."5 X X ZX 1I 'e -e e -1 e 1答案:A.【命題立意】：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào) 性等性質(zhì).本題的難點(diǎn)在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜，需要對(duì)其先變形，再在 定義域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行考察其余的性質(zhì).3. （2009年高考數(shù)學(xué)江西卷）如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)F（x,y）在“伽平面上沿 曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在x軸上的投影點(diǎn)Q（x,0）的運(yùn)動(dòng)速度 V = V的圖象大致為Q(x,0)*ABCD答案：B【解析】由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P(x,y)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn) Q(尤,0)

5、的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0,到正，故A錯(cuò)誤；質(zhì) 點(diǎn)P(x,y)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0,故。錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)P(x,y)在 開(kāi)始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)Q(x,0)的速度為常數(shù)，因此C是錯(cuò)誤 的，故選B.4. (2009年高考數(shù)學(xué)江西卷)設(shè)函數(shù)/3=，立+字+ /<0)的定義域?yàn)?D,若所有點(diǎn)(s,/Q)(s,fe£>)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，貝h的值為A. -2B. -4C. -8D.不能確定答案：B【解析】|占 - w 1= ZnaxS)，一產(chǎn)' 1。1=2>/，a = 4 選 B5 .(2009年高考數(shù)學(xué)山東卷)若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且

6、a# 1)有兩個(gè)零點(diǎn)， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 t【解析】：設(shè)函數(shù)y = av(a>0,且”1和函數(shù)y = x+a，則函數(shù) f(x)=a1 -x-a(a>0且ax 1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)> =優(yōu)3>0,且“1與函數(shù) y = x+a有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)0<。<1時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合，當(dāng)。>1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y = *a>l)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),而直線y = x + a所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍 是a> 1答案:a>【命題立意】：本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系，隱含著對(duì)

7、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫(huà)出函數(shù)的 圖象解答.2函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用問(wèn)題新課標(biāo)高考中，求函數(shù)的值域(或最值)及活用奇偶性、單調(diào)性、 周期性及對(duì)稱性成為熱點(diǎn)問(wèn)題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù) 函數(shù)、分段函數(shù)及抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，并且利用函數(shù)性質(zhì)靈活解題. 函數(shù)的單調(diào)性常用來(lái)判斷、證明、比較大小，求單調(diào)區(qū)間及有關(guān)參數(shù) 的范圍，奇偶性則經(jīng)常擴(kuò)展到圖象的對(duì)稱性，且與單調(diào)性和周期性聯(lián) 系在一起，解決較復(fù)雜的問(wèn)題.尤其值得注意的是，凡涉及到函數(shù)、方 程和不等式的問(wèn)題，必須首先考慮定義域，這也是學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)容 易忽略的地方.6 .(2009年高考數(shù)

8、學(xué)山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足 /。-4) = -/(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間 -8,8上有四個(gè)不同的根苞,工2，覆，*4，則% +x2+Xj+x4=.【解析】：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足/(x-4) = -/(x),所以 /(x-4) = /(-x),所以，由/(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱 且/(0) = 0,由/。-4) = -)知/(-8) = /),所以函數(shù)是以8為周期的周 期函數(shù)，又因?yàn)?(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間12,0上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程f(x)=m(m0)在區(qū)間-8,8上

9、有四個(gè)不同的 根司,毛,七，巧，不妨設(shè)王 工2 覆與由對(duì)稱性知玉+ %2 = T2覆+X4 = 4所以 Xy + / + 七 + %4 = - 12 + 4 = 8【命題立意】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對(duì)稱性,周期性，以 及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思 想解答問(wèn)題.7 .(2009年高考數(shù)學(xué)山東卷)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)=log2(l-x),x<0/(x-l)-/(x-2),x>0，則/ (2009)的值為(A.-1B. 0C.lD. 2【解析】：由已知得了(-1) = 1嗚2 = 1,/(0) = 0,八1) = /(0)-

10、/(-1) = -1, /= /(1)-/(0) = -1, /(3) = /(2)- /(1) = -1-(-1) = 0, /(4) = /(3)-/(2) = 0-(-1) = 1, /(5) = /(4) 一 /(3) = 1 ,/(6) = /(5) - /(4) = 0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).，所以f (2009) =f (5) =1,故 選C.答案:C.【命題立意】：本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算./(%一4) = -/(此,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ).A./(-25)</(l 1)</(80)B. /(80)</(11

11、)</(-25)C. /(11)</(80)</(-25)D. /(-25)</(80)</(11)解析】：因?yàn)?(%)滿足/(x-4) = -/(x),所以/(x-8) = /(%)，所以函數(shù)是以 8為周期的周期函數(shù)，則/(-25) = /(-1),/(80) = /(0),/(11)=八3),又因?yàn)?/(x)在 R 上是奇函數(shù),/(0) = 0,/(80) = /(0) = 0,/(-25) = /(-I) = -/(D/ 而由 /(x-4) = -/(x)得/(11)=八3) = -/(-3) = -/d-4) = /(D，又因?yàn)?f(x)在 區(qū)間0,2上是

12、增函數(shù)，所以/(1)>/(0)=0 ,所以-/<0 ,即 f(-25)<f(80)故選 D.答案:D.【命題立意】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì), 運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題.3以分段函數(shù)為主線的問(wèn)題r 79. (2009天津卷文)設(shè)函數(shù)/(x)= x、4x + 6,xN0則不等式/(幻>/的 x + 6, x < 0解集是()A (-3,1) u (3,+oo)B (-3,1) u (2,+oo)C (-l,l)u(3,+oo)D (-oo,-3) u (1,3)【答案】A【解析】由已知,函數(shù)先增后減再增當(dāng)xNO, /(x)N

13、2/=3令/=3, 解得x = I,x = 3 o 當(dāng)x<0, x + 6 = 3,x = 3故/(x)>/=3，解得-3<x<l或x>3【考點(diǎn)定位】本試題考查分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的運(yùn)用。以及一元二次不等式的求解。0.1 + 151n,(% < 6)10. (2009年高考數(shù)學(xué)上海卷)有時(shí)可用函數(shù)/(x)="一"x-4.4 , 八-,U>6).x-4描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(xgN*), /表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí) 有關(guān)。(1)證明：當(dāng)xN7時(shí)，掌握程度的增加量/(x + 1

14、)-/(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,(121 121,127,(121,133 o當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí),掌握程度 是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科。證明(1)當(dāng)XN7時(shí)，f(x + )-f(x) = 一- (x-3)(x-4)而當(dāng)x2 7時(shí)，函數(shù)y = (x-3)(x-4)單調(diào)遞增，且(x-3)(x-4) >0故/(X+1) -/單調(diào)遞減當(dāng)XN7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量/(X+D-/(x)總是下降(2)由題意可知 0.1+15ln'-=0.85 a-6整理得，_ = e0°5 a 60.05解得 a = 6 = 20.50 x6

15、 = 123.0,123.0g(121,1 27J e -1由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科4以抽象函數(shù)為主線的問(wèn)題11. (2009年高考數(shù)學(xué)四川卷)已知函數(shù)/(x)是定義在實(shí)數(shù)集/?上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有獷(x + l) = (l + x)/(x),則/(/($)的 值是()()(A.OB.-C.l D.-22【考點(diǎn)定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。(同文12)解析：令* = 一；，則一；/(；)= ；/(一；)= ；/(；)=八；)=0；令x = 0,則 /(0)= 0« I 1_由 (+1) = (1 + 為/(%)得/(*+1) =/(X),所以

16、X53=/(/(1)= /(0) = 0 , 故選擇 Ao2212. (2009年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I )函數(shù)的定義域?yàn)镽,若/(x+1)與 都是奇函數(shù)，貝弘 )(A) /(x)是偶函數(shù)(B) /(x)是奇函數(shù)(C) /(x) = /(x+2)(D) /(x+3)是奇函數(shù)解：/(x+1) 與 /(x-1) 都是奇 函數(shù)，./(-X+1) = -/(x+l),/(-x-l) = -/(x-1),.函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0),及點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱，函數(shù)/(x)是周期7 = 21-(-1)=4 的周期函數(shù)./(一x-l + 4) = /(x-1 + 4), /(-x + 3) = -/(%+3),即/

17、(x + 3)是 奇函數(shù)。故選D13. (2009年高考數(shù)學(xué)江西卷)已知函數(shù)/(x)是(to,收o)上的偶函數(shù)，若 對(duì)于 x2 0,都有/(x + 2) = /(x),且當(dāng) xw0,2)時(shí)，/(x) = log2(x+i),則/(-2008) +/(2009)的值為()A. -2B. -1C. 1D. 2答案：C【解析】/(-2008) + /(2009) = f(0) + f(l) = log"log；=l做選 C.點(diǎn)評(píng)：本題融抽象函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列等知識(shí)于一體，解題 思路是：賦值(化抽象為具體)f作恒等變形f逆用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)關(guān) 系式轉(zhuǎn)化為自變量間的關(guān)系式(數(shù)列中an與S

18、n的關(guān)系)。利用抽象條件, 通過(guò)合理賦值(賦具體值或代數(shù)式)、整體思考、找一個(gè)具體函數(shù)原型等 方法去探究函數(shù)的性質(zhì)。如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等，再 運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)去解決有關(guān)問(wèn)題，是求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常規(guī)思路。其 中合理賦值起關(guān)鍵性的作用。對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的考查在近幾年高考中 有逐年增加數(shù)量的趨勢(shì)。5以三次函數(shù)為主線的問(wèn)題14.(2009年高考數(shù)學(xué)山東卷)已知函數(shù)/(x) = go?+bx2+x+3,其中(1)當(dāng)“力滿足什么條件時(shí),/(x)取得極值？(2)已知a>0,且/(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，試用n表示出b的取值范 圍.解：(1)由已知得八%)=d + 2" + 1

19、,令/”(x)=0,得ar? +2" + 1 = 0,/(%)要取得極值,方程辦2 +次+1 =()必須有解,所以 = 4Z?2 -4 >0,即2 >%此時(shí)方程ar? +2Z?x + l = 0的根為_(kāi) -2b-飛4b2 -4a _jb2 -a_ -2b + “Z? -4a _ 一力 +-a12aa 9 22aa所以/'(x) = (x X )(x-x2)當(dāng)a0時(shí),X(-°0,X1)X1(X1,X2)X2僅2,+8)f'(x)+00+f(X)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以/(X)在X1, X2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)”0時(shí),X(-00,X

20、2)X2(X2,X1)X1(Xl, + 8)f'(x)一0+0一f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以/(%)在x 1, X2處分別取得極大值和極小值.綜上，當(dāng)a力滿足。? >"時(shí)，/(x)取得極值.(2)要使/(%)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，需使fx)=/+ 2版+1 n 0在(0,1上恒 ,p- -1-成乂.即此一與;,X(0,l恒成立，所以2(-與 2 2x2 2xa 2x2:a /、 奴 1 八 a 1設(shè) g(x)= W，g(x) = -5 + * =令屋(x) = ()得x =或工=-舍去), yja yla當(dāng)a>l時(shí),0<!< a1,當(dāng)

21、xe(0,2)時(shí)屋(x)>0,g(x) = -單調(diào)增函數(shù);當(dāng) x e (-L,l時(shí) g '(x) < 0, g(x)= -竺-單調(diào)減函數(shù), yja2 2x所以當(dāng)時(shí)，g(x)取得最大，最大值為=-a .所以之一6當(dāng)0<aWl時(shí),21,此時(shí)g，(x)NO在區(qū)間(0,1恒成立，所以g(x) =-竺-工 Ja2 2x在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x = l時(shí)g(x)最大，最大值為g6 = -,所以2綜上，當(dāng) a>l 時(shí)，b>-y; 當(dāng) 0<aWl 時(shí)，b>-【命題立意】：本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào) 性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單

22、調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符 號(hào)確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程 的思想，化歸思想和分類(lèi)討論的思想解答問(wèn)題.15. (2009年高考數(shù)學(xué)天津卷)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)/(尤)=-；X3 +X2 +(/ -1)X,(XG 4)其中7>0(I )當(dāng)加=1時(shí)，曲線y = /(x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線斜率(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(III)已知函數(shù)/(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0,七,吃，且再<。若 對(duì)任意的xe區(qū),超,/(x)>/恒成立，求m的取值范圍?！敬鸢浮?1)1(2) /(x)在(-oo,l - m)和(1 + m,+<

23、;x>)內(nèi)減函數(shù),在(1 + m)內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)/(%)在x = l + m處取得極大值/(I+ M，且 /(I + w) = m3 + m2 -函數(shù)/(x)在x = l-m處取得極小值/(I-ni),且/(I-=-；疝+m2 - 【解析】解：當(dāng)= 1時(shí)，/'(X)=，尤3(X)= / +2無(wú)，故/''=1所以曲線y = /(x)在點(diǎn)(1, /)處的切線斜率為1.(2)解：/ (x) = -X2 + 2x + /?22 -1,令八幻=0,得至 lX = 1 2,X= 1因?yàn)? > 0,所以1 +m> 1 -6當(dāng)X變化時(shí)，/(x),/1(x)的變化情況如

24、下表：X(00,1 ni)(1 zn,l + z)1 +團(tuán)(1 + 機(jī),+8)/(X)+0-0+f(x)、極小值極大值f(x)在(-00,1 - m)和(1 +m,+8)內(nèi)減函數(shù)，在(1 - /nJ + ni)內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)/(x)在x = 1 + "7處取得極大值/(I + m) 9且/(I + m)=2/+*函數(shù)f(x)在x = 1-zn處取得極小值,且= +療-g (3)解：由題設(shè)，/(x) = x(-x2 +x+ m2 -1) = -x(x-x,)(x-x2)所以方程呈+% +4-1=0由兩個(gè)相異的實(shí)根%,*2,故X + %2 = 3,且 =1+3(加2-)>0,解得加

25、<_!_(舍)，W>1 322因?yàn)橛?v /，所以2% > X)4- x2 = 3,故/ > > J若玉41<片,貝曠=_$1_再)(1_%2)20，而/(為)=0,不合題意若1<$ <松則對(duì)任意的XGpC,/有X-Xx > 0,x-x2 < 0,則 /(x) =-%(%-%)(%-%2) > 0 X /(x,) = 0 ,所以函數(shù)/(x)在彳區(qū), 的最小值為0,于是對(duì)任意的尤，/(x) >/恒成立的充要條件是 /(I) = m2 -g < 0，解得 一 <m<綜上，m的取值范圍是(；，4)數(shù)與方程的根的

26、關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析問(wèn)題和解決 問(wèn)題的能力。16. (2009年高考數(shù)學(xué)福建卷)已知函數(shù)/a) = +辦2+法,且尸(一1)= 0(1)試用含。的代數(shù)式表示b,并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2 )令” =-1 ,設(shè)函數(shù)/(X)在看,工2(須 <r2)處取得極值，記點(diǎn)M (X,/(X), N(x2,/(x2),), % < ? < 9,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：(I)若對(duì)任意的m e(x” x2),線段MP與曲線/(x)均有異于M,P的公 共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；(II)若存在點(diǎn)Q(n/m及x使得線段PQ與

27、曲線/切有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍(不必給出求解過(guò)程) 解法一：(I )依題意，得/。) = /+2"+人由 /(-l) = l-2a + b = O得8= 2a-l.iflj f (x) =x3 + ux + (2a l)x, Ulf (x) = (x + 1)(x + 2a 1).令尸(x) = 0,得x =-1物=1 - 2a.當(dāng) 3>1 時(shí),l-2a<-l當(dāng)X變化時(shí)，f'(x)與/(x)的變化情況如下表：X(-00,1 2。)(1 功,一 1)(-1,4-00)/'(X)+/(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)/(x)的單調(diào)

28、增區(qū)間為(3-2a)和(-l,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(1一2。,一1) o當(dāng)a = l時(shí)，1 -2a = -1此時(shí)有尸(x)>0恒成立,且僅在x = -l處/(x) = 0 ,故函數(shù)/0)的單調(diào)增區(qū)間為R當(dāng)4<1時(shí)，1-為>-1同理可得，函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(Y0,-1)和(l-2a,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-2a)綜上：當(dāng)4>1時(shí),函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(-oo,l-2tz)和(-L+00),單調(diào)減區(qū)間為(1 -;當(dāng)a = l時(shí)，函數(shù)/的單調(diào)增區(qū)間為R;當(dāng)a<l時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-oo,-l)和(1 - 2«,+Q0),

29、單調(diào)減區(qū)間為(-1,1 - %).(H )由 a = - 得 /(x)-x?-3x令/(*)=工2-23一3 = 0得玉=-l,x2 = 3由(1)得/(x)增區(qū)間為(fo,-1)和(3,+oo),單調(diào)減區(qū)間為(-1,3),所以函數(shù)/(x)在處 =-1,=3取得極值，故M (-1,| ) N(3,-9 )o觀察/(x)的圖象，有如下現(xiàn)象：當(dāng)m從-1 (不含-1)變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線/G)在點(diǎn)P 處切線的斜率/(x)之差Kmp-/(M的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。線段MP與曲線是否有異于H, P的公共點(diǎn)與Kmp 一/(的m正負(fù) 有著密切的關(guān)聯(lián)；Kmp一/(加)=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)

30、：滿足Kmp fm) 的m就是所求的t最小值,下面給出證明并確定的t最小值.曲線/在 點(diǎn) P(z, /(?)處的切線斜率 f rri) = M - 2/n - 3 ;線段MP的斜率Kmp 一丁7當(dāng)Kmp /(加)=0時(shí)，解得? = 1或加=2古 r a c -t*工口 斗i/" 4/71 - 5 77廣一477Z直線MP的方程為y = (X +令 g(x) = /(x)-(m 4m-5 nr 4tnXH當(dāng)帆=2時(shí)，g，(x) = x2_2x在上只有一個(gè)零點(diǎn)x = 0,可判斷/(x)函數(shù) 在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減，又g(-l) = g(2) = (),所以g(x

31、)在 (T,2)上沒(méi)有零點(diǎn)，即線段MP與曲線/(x)沒(méi)有異于M, P的公共點(diǎn)。當(dāng)m e(2,3時(shí)，g(0) = -r-4w > 0. g(2) = -(m-2)2 < 0所以存在/e(0,2使得g(5) = 0即當(dāng)me(2,3吐MP與曲線/(x)有異于M,P的公共點(diǎn)綜上，t的最小值為2.(2)類(lèi)似(1)于中的觀察，可得m的取值范圍為(1,3解法二：(1)同解法一.(2)由a = -1得/(%) = 一一x3-x2-3xt 令 fx) = x1-2x-3=0 » 得 =-1,£ =3 由(1)得的/(x)單調(diào)增區(qū)間為(F,-1)和(3,+00),單調(diào)減區(qū)間為(-1

32、,3), 所以函數(shù)在處取得極值。故M(/).N(3,-9)(I )直線MP的方程為丫 =加一4，”-5»心馴得x3 -3x2 - (nr -4/n + 4)x-nr + 4m = 0線段MP與曲線f(x)有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(一 l,m)上有 根,即函數(shù)g(x) = %3 - 3x2 -(m2 - 4m + 4)x -m2 + 4ffl在(T, m)上有 零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).又g(-l) = g(m) = O.因此，g(x)在(-1,山)上有零點(diǎn)等價(jià)于g(x)在內(nèi)恰有 一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，即g'(x

33、) = 3x? -6x-("-4»/ + 4) = 0在(1,利)內(nèi)有 兩不相等的實(shí)數(shù)根.=36 + 12(療-4m + 4) >0r ,-<m<5等價(jià)于 3(-1)2 + 6 -(> -癡 + 4) > 0即 “ 2或m < -1,解得2 <53m2 6w - (m2 - 4m + 4) >07ah>1又因?yàn)?1<桃43,所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.點(diǎn)評(píng)：以上三題融三次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)于一體, 主要考查導(dǎo)數(shù)在三次函數(shù)的極值與單調(diào)性問(wèn)題中的應(yīng)用。新增導(dǎo)數(shù)內(nèi) 容后，近幾

34、年高考卷中陸續(xù)出現(xiàn)考查三次函數(shù)的最值、極值、單調(diào)性、 圖象等內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)為這類(lèi)問(wèn)題的解決提供了新的方法。這類(lèi)問(wèn)題雖然 難度不大，但具有內(nèi)容新、背景新、方法新等特點(diǎn)。6以向量知識(shí)為背景的函數(shù)問(wèn)題17. (2009年高考數(shù)學(xué)四川卷)設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合， 對(duì)于映射KaeV,記。的象為了。若映射/W V滿足：對(duì)所 有a、力eV及任意實(shí)數(shù)尢都有了(而+ 勿=皿(4)+ /(b),則/稱為平面 M上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)/是平面M上的線性變換，a. beV,則/(a+b) =/(a) + /S)若e是平面M上的單位向量，對(duì)a w V,設(shè)/'(a) = a + e ,則/是平面M上

35、 的線性變換；對(duì)aeV,設(shè)，則/是平面M上的線性變換；設(shè)/是平面M上的線性變換，asV,則對(duì)任意實(shí)數(shù)%均有f(ka) = kf(a) o 其中的真命題是 (寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))【答案】【解析】：令丸= =1,則/(a+。) =/(a) +/(b)故是真命題同理，：令2 =匕 =0,則/伏“)=左/(a)故是真命題：V f (a) = -a > 則有/(力=-。f(Aa + jub) = -(Aa + "力=丸 (a) + (-b) = 2f(a) + 麻b)是線性 變換，故是真命題：由/(a) = a + e 9 則有 f(b) = b + ef(Aa + jLib) = (

36、Aa + /jb) + e = /l(a + e) + S + e) - e = Af(a) + 博助e ,e是單位向量，eHO,故是假命題【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對(duì)應(yīng)及高等數(shù)學(xué)線性變換的相關(guān) 知識(shí)，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力，具 有選拔性質(zhì)。點(diǎn)評(píng)：本題融向量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、含參數(shù)的不等式等知識(shí)于一體，解 題思路是：將向量間的幾何(位置)關(guān)系數(shù)量化(坐標(biāo)關(guān)系)，利用導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)的單調(diào)性。由于向量具有幾何表示和代數(shù)表示的特點(diǎn)，這就使 其成為近幾年高考表述函數(shù)問(wèn)題的重要載體。以向量知識(shí)為背景的函數(shù)問(wèn)題常常在高考中作為“把關(guān)題"，對(duì)此，復(fù)習(xí)中我們要引起高度重視。7函數(shù)

37、與其他知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)問(wèn)題現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題解決往往不只是由單一的知識(shí)能解決，而是需 要幾科或一科內(nèi)的幾個(gè)知識(shí)綜合起來(lái)才能解決.考試說(shuō)明明確要求 要注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合，高考命題充分體現(xiàn)了這方面的 要求.函數(shù)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)、其它學(xué)科知識(shí)的結(jié)合，滲透大學(xué)的數(shù)學(xué)知 識(shí)聯(lián)系等，這些綜合問(wèn)題，需要扎實(shí)掌握各部分的知識(shí)，科學(xué)架設(shè)橋 梁，全面分析問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.18. (2009高考數(shù)學(xué)陜西卷)設(shè)曲線y = jcFeN")在點(diǎn)(1, 1)處的切 線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x“，則蒼 .巧Z的值為()(A) -(B)(C)白(D)l答案:B解析：對(duì)y = x"“(eN*

38、)求導(dǎo)得y =( + 1)/,令x = l得在點(diǎn)(1, 1)處的切線 的斜率4= + 1,在點(diǎn)(1, 1 )處的切線方程為y-l = k(x“-l) = (" + l)(x“-l),不妨設(shè) J = 0,= ,7+1 則 %/工2 Xn = X X X.X_-X 11-=,故選 B.234 n n+1 +1【考點(diǎn)定位】本試題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求切線的方程以及錯(cuò)位相消 的數(shù)學(xué)思想。19. 若曲線力=加+而存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.一解析 解析：由題意該函數(shù)的定義域x>0,由/'") = 2如+工。因?yàn)榇嬖?X垂直于y軸的切線，故此時(shí)斜率為0,問(wèn)題

39、轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù) (x) =存在零點(diǎn)。解法1 (圖象法)再將之轉(zhuǎn)化為g(x) = -2依與(力=，存在交點(diǎn)。當(dāng)a = 0X不符合題意，當(dāng)a>0時(shí)，如圖1,數(shù)形結(jié)合可得顯然沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)a<0如圖2,此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有a<0應(yīng)填(f,0)或是a|a<0 o圖1解法2 (分離變量法)上述也可等價(jià)于方程2+： = 0在(0,包)內(nèi)有解,顯然可得。=-5G(-OO,0)20. (2009江蘇卷)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù) f(x) = 2x2 +x-a)x-a.若/(0)21,求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；設(shè)函數(shù)6(x) = /(x),x(a,+oo),稟段

40、寫(xiě)卡(不需給出演算步驟)不等式 力(x) 21的解集.【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等 式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探 索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力。(1)若 /(0)> 1,則一 |1 n °a W -1a >1(2 )當(dāng) xN a, f (x) 3廠一2cuc +。，/(%)f(aa>02a2,a>0當(dāng)xWa時(shí)，f(x) = x2 +2ax-cr. /(x)min =/(-a),6?>0 f(a),a<02。,a 2 0 2a2,a<0-2a2,a>0綜上，*濡=<2/

41、,。< 03(3) xe (a,+oo) 時(shí) ， h(x) > 1 得 3%2一2奴+4-120A = 4a2-12(a2-l) = 12-8a2當(dāng)士當(dāng)或。冷時(shí)，A < 0, X G(4, +00);當(dāng)一巫 <a< 四時(shí)，>(),得：hx-a-)(x-a + )>0 22'J討論得：當(dāng)4G（日，手）時(shí)，解集為（a,+00）；當(dāng)ae（Y，W）時(shí)，解集為3”與紇3里運(yùn),+8）； 2233當(dāng)“小日當(dāng)時(shí)，解集為增運(yùn)，+8）.21. （2009年高考數(shù)學(xué)廣東卷）已知二次函數(shù)y = g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖 像與直線y = 2x平行，且y = g（x）在x =

42、 -l處取得極小值，-1（6工0）.設(shè)（1）若曲線y = /（x）上的點(diǎn)尸到點(diǎn)Q（0的距離的最小值為后,求加的值；(2) Z(&eR)如何取值時(shí)，函數(shù)y = /(x)-依存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).解：(1)依題可設(shè)g(X)= (+1尸+加-1( QWO ), 則g'(x) = 2a(x 4-1) = 2ar+ 2a ;又小的圖像與直線y = 2x平行：,2a = 2 a = g(x) = (x +1)2 -F /n -1 = x2 + 2x + m ,/(x) = x4- - + 2 ,XX設(shè)尸(qJ，則|PQ=x：+(y0-2)2 =x+(x0+)2文()=2x(； H + 2m

43、 N 2y12m + 2m 2V2 | m +2m A 2當(dāng)且僅當(dāng)2/=勺時(shí)，|PQ取得最小值，即|PQ|取得最小值四 癡當(dāng)? > 0 時(shí)，J(2& + 2)m = V2 解得 w = V2-1當(dāng)7<0時(shí)，-J(-2V2 + 2)w = V2解得”=-亞 -1(2 )由 y = /(x)-履= (l-k)x+二+ 2 = O(xhO), -M(l-)x2 +2x+/n = 0 (*)當(dāng)左=1時(shí)，方程(*)有一解了 =4，函數(shù)y = /(x)»有一零點(diǎn)x = W；當(dāng)時(shí)，方程(*)有二解oA = 4-4/(l-Z)>0 ,若機(jī)>0, k > 1-,

44、m函數(shù)y = f(x)-kx有兩個(gè)零點(diǎn)*=-2±44一4皿1心，即 2(1 無(wú))1 i J1 - ?(1 - k)X= k-若6<0，k < 1 -, m函數(shù)y = f(x)-kx有兩個(gè)零點(diǎn)-2土,4-4砥12 ,即m( - k)x =；k-l當(dāng) Z W1 時(shí),方程(*)有一*解u> A = 4-=。/k = l /m函數(shù)y = /(x)-質(zhì)有一零點(diǎn)x = h = 'n綜上，當(dāng) = 1時(shí)，函數(shù)y = /(x)-日有一零點(diǎn)工=-令；k5k< 1- ( /n<0 )時(shí)，mm函數(shù)y=/(x)-"有兩個(gè)零點(diǎn)"1土/；一心；當(dāng)A = l

45、_l時(shí)，函數(shù)y = x)一日有一零點(diǎn)x = _L = _m.mk-22. (2008年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題)設(shè)平面直角坐標(biāo)系丁中，設(shè)二 次函數(shù)f(x) = x2+2x+b(x e R)的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交 點(diǎn)的圓記為C。(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng) 證明你的結(jié)論解：本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法.(I )令x=0,得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0, b)；令/()=£+2%+6 = 0,由題意 bwO 且>(),解得 bVl 且 bwO.(II )設(shè)所求圓的一般方程為/+y2+Dx+Ey+

46、尸=0令y=0得/+瓜+f=0這與寸+ 2+人=0是同一個(gè)方程，故D = 2, F b.令x =0得丁 +3=0,此方程有一個(gè)根為b,代入得出E = b1.所以圓C的方程為f+ V+2x-(b+l)y + Z; = 0.（Ill）圓c必過(guò)定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)（面,打）（如外不依賴于勿，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程, 并變形為片 + y：+2%-%+優(yōu)1-汽）=0（*）為使（*）式對(duì)所有滿足 <1（6x0）的b都成立，必須有1 - %=。， 結(jié)合（*）式得片+ y： + 2xy0=。，解得二：或二：2，經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)（0,1）,（-2,0）均在圓C上，因此圓C過(guò)定點(diǎn)。8現(xiàn)實(shí)生活中函數(shù)

47、的實(shí)際問(wèn)題23. （2009年高考數(shù)學(xué)山東卷）兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣 城外以AB為直徑的半圓弧&上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市 的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度 為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km,建在C處 的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理 廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù) 為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系 數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在&的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為 0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1

48、）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧麓上是否存在一點(diǎn)，使建 在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該 點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。解法一：（1） 如圖，由題意知cr 4 kAC±BC, SC2 =400-x2,y = +-(0<x<20)x 400-廠其中當(dāng)x = 10&時(shí),y=0.065,所以k=9所以y表示成X的函數(shù)為y = 3 + *_ J(0<x<20) x 400 x(2 ) y- 4 I 99x(-2x) =18/-8(40°-/)2 令，=o 得 X2 400-x2 , - x3 (400-x2)2?(400-

49、x2)2'、'18無(wú)4 =8(400-V)2 ,所 以 X2 =160 ,即 x = 4>/io ,當(dāng) 0<x<4歷 時(shí)， 18x4<8(400-x2)2 ,BP1<0所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)4#<x<20時(shí), 18/>8(400-犬)2,即">()所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)X = 4而時(shí)，即 當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為4何時(shí)，函數(shù)y = ： + _(0<x<20)有最小直 r 400-%解法二：(1)同上.(2 )設(shè)機(jī)= /, = 400 - x2,則 m+ n = 400, y = + /所以 m n4

50、 9 z4 9、z + 1 rio An 9機(jī)、11一、 l 止口 m 土y = + - = ( + -)=13 + (一 + ) >(13 + 12) = 當(dāng)且僅當(dāng)m n m n 400400 w n 40016例=%即( =240時(shí)取”=".m n /n = 160下面證明函數(shù)y = 臼 + F在(0,160)上為減函數(shù)，在(160,400)上為增 m 400 m函數(shù).、門(mén)n 4949設(shè) 0<mi<m2<160,貝I %=+-(+)"4 400 -叫 m2 400 - m244 . .99、 4(%-犯)9(犯一%)+ () =- +!叫 m2

51、400-叫 400-根2 mym2 (400 - )(400 -m2)、49i ,、4(400-in,)(400-/n,)-9m.m.)-=(機(jī)。一叫)-tt-77-班機(jī)2 (400-)(400-，%)mxm2 (400 - mx )(400 -m2)因?yàn)?0<mi<m2<160,所以 4(400-nz,)(400-m2)>4x240x2409mm2v。所以4（能需。；贏二普。,所以（嗎-町）>。即y>%函數(shù)尸在4(400 一班)(400 -zn2)- 9，%，%m?(400 一 町)(400 7n2)（0,160）上為減函數(shù).同理，函數(shù)y = & +一在（160,400）上為增函數(shù)，設(shè)160<mi<m2<400,貝IJ m